代数幾何 I 古津先生 (2006/06/01)

# 平面ベクトルと空間ベクトルの話をしていた

# 前回の最後にやったのは、平面上の直線のパラメータ表示、ここから始める。

平面上の直線は二点をきめれば決る。

	二点 P_1, P_2 を通る直線を考える。
	直線上の点 P の位置ベクトル x, P_1, P_2 の位置ベクトルを x_1, x_2 
	P_1P_2 をベクトル a とすれば、

		x = x_1 + t a ( t は任意の実数 )
		  = x_1 + t ( x_2 - x_1 )
		  = (1-t) x_1 + t x_2

	という形で表現できる。 ( この表現には t というパラメータがあるので、パラメータ表現 ) と呼ぶ。

	これにもうひとつパラメータを導入し、次のよう表現することもできる

		  = s x_1 + t x_2 ( ただし s + t = 1 )

	このように、s,t のパラメータに制約を与えた形でも表現できる。

	この形であれば、制約を色々かえると色々な図形になる
		例
			s>0, t>0, s+t < 1 とすれば、三角形の内部
			s+t=1, s>0, t>0 とすれば線分 P_1 P_2
			s+t=1/2 とすれば、OP_1, OP_2 の中点を通る直線

円のベクトル表示

	点 P_1 を中心として、半径 r の円周
		| x - x_1 | = r


直線のもう一つの表現
	直線の一般形は次の形
		a x + b y = c
	とくに原点を通る場合は		(l)
		a x + b y = 0		(l0)

	いま、直線上の点の位置ベクトルを x, v を ( a ) とすれば、
				              b

	(l) は、 (a,x) = c を (l0) は、 (a,x) = 0 をそろぞれ表している。
	特に、(a,x) は、x と a が直交していること意味するので、a を法線ベクトルと呼ぶ

	# これは、直線の内積表示

直線 l と、点 P の距離
	直線 l と、直線上にない点 P との距離を考える。
		P から、 l へ垂線を下し、その足を P' とすると、PP' の長さが P と l の距離

	P, P' の位置ベクトルを、x_0, x_0' とする。

		(I) l の式を x = x_1 + t a とすると、P' は直線上にあるので、
			x_0' = x_1 + t a
		(II) PP' と l が直交するので、
			(a,x_0-x_0')

	この二つの条件から、t を求めると...

		t = (a, x_0 - x_1)/(a,a)

	よって、x_0' は、

		x_0' = x_1 + ((a, x_0 - x_1)/(a,a)) a

	次に PP' の長さの二乗を考えると

		|PP'|^2 = |x_0 - x_0'|^2
		        = ( x_0 - x_0', x_0 - x_0 )
			= ( x_0 - x_1 - ((a, x_0 - x_1)/(a,a)) a, x_0 - x_1 - ((a, x_0 - x_1)/(a,a)) a )
			=   ( x_0 - x_1, x_0 - x_1 )
			  - 2 ( x_0-x_1, ((a, x_0 - x_1)/(a,a)) a )
			  + ( ((a, x_0 - x_1)/(a,a)) a, ((a, x_0 - x_1)/(a,a)) a )
			= ( |a|^2 |x_0 - x_1|^2 - (a,x_0-x_1)^2 ) / |a|^2

	よって、元の長さ |PP'| は

		 |PP'| = \sqrt{|a|^2 |x_0 - x_1|^2 - (a,x_0-x_1)^2} / |a|

		# これが、パラメータ表示の時の公式
	
	# 今度は内積表示の場合

	(b,x)=c の時の点と直線の距離を考える
		x_0 - x_0 = s b
		(b,x) = c
	これより s を求めると
		s = ( (b,x_0) - c) ) / (b,b)
	これより、直線の距離は..

		|PP'| = ( (b,x_0) - c) ) / |b|

		# これが内積表示の時の距離
	
	# 一般の直線の式と、点の距離の公式もある。
	#	これは習っているはず !!

# こっから、空間の話

	空間の場合も、平面の場合と同様直線のパラメータ表示はまったく同じ
		x = x_1 + ta
		# t に関する制限の話も同様
		## この形であれば、空間も平面もまったく同じ

	ただし、成分を使う場合は、当然、平面と空間では異る ( z 座標が入るので.. )

		\frac{x-x_1}{x_2-x_1} = \frac{y-y_1}{y_2-y_1} = \frac{z-z_1}{z_2-z_1}


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交点
	二つの直線 l, l' が交わり、その角度を \theta とすると..
	l, l' の方向ベクトルが a, b であれば、

		\cos{\theta} = \frac{|(a,b)|}{|a| |b|}

	となる

直線と点の距離、
	平面とまったく同じ

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空間内の平面 : 三点 (P_1,P_2,P_3) が決れば決まる

	P_1P = s a + t b	( r, s は任意 )

よって平面は、
	x = x_1 + s a + t b
	  = r x_1 + s x_2 + t x_3
		ただし、r+s+t=1

球面
	P_1 中心半径 r の球面
		|x - x_1| = r

	# ベクトルで考えると、平面と空間が同じように進む (座標でやると、こうは簡単にならない)

空間の平面のもう一つの表現方法 (内積表示)

	一般の平面の公式は
		a x + b y + c z = d
	ここで、
		      a
		v = ( b )
		      c
	とすれば、
		原点を通る直線は、 (x,v) = 0
		一般には、 (x,v) = d
	となる。

	このベクトル v は平面自身と直交する ; 法線ベクトルと呼ぶ

[まとめ]
	平面の直線
		1 パラメータ表示
		内積表示
	空間の直線
		1 パラメータ表示 (上と同じ)
	空間の平面
		2 パラメータ表示
		内積表示 (上と同じ)

点と平面の距離

	|x-x'| = \frac{|(a,x_0) - d}{|a|}

	座標を代入すると、

	\frac{|a x_0 + b y_0 + c z_0 - d|}{\sqrt{|a^2+b^2+c^2|}}

平面の交角
	二つの法線ベクトルの交角

直線と平面の交点
	垂直なら \pi/2
	平行なら 0
	その他
		交点があるので、それを求める。
		P_1 から S への垂線の足を考え、l を含む平面を考える
		その平面と元の平面 ( S への l の射影 ) の交わりは
		直線になるので、その直線と l の交角 \theta を利用する。

		\frac{|(a,b)|}{|a||b|} = \sin{\theta}

		となる。


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問
	x+2y+3z = 1
	3x+2y+z = -1

		# これは二つの平面の連立 (共通部分) なので、直線になる
		# これをパラメータ表示にする。

	これを連立させ、整理すると

		x+1 = (1-y)/2 = z

	が求める直線の式。これから、二点がわかればよいので、例えば
		(0,-1,1)
		(-1,1,0)
	などを取り、これから

		  x        0         -1
		( y ) = ( -1 ) + t (  2 )
		  z        1         -1

	元の式の方向ベクトルは、直線式の係数の逆数になっている


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次回	ベクトルと行列

	ベクトルを行列で移すとベクトルになる
	この行列による変換の幾何学的な意味を考える