代数幾何 I 古津先生 (2006/06/08)

行列と線型(一次)変換

# 今週は、平面の話をし、来週は、それを空間でもう一度、同じ話をする。
# この話では、まず、回転から入ることが多い

	点 P = (x,y) を考え、その位置ベクトル OP = v = (x) とする
						    y

	この点 P を原点を中心に、反時計周りにαの回転をすることを考える。
	その回転した結果の点を P' = (x', y') として
		OP' = v' = ( x' )
			     y'
	とすると、
		# これは、sin/cos の加法定理の所で議論しているはず

		x' = \cos{α} x - \sin{α} y
		y' = \sin{α} x + \cos{α} y

		# この結論が解らない人は、高校の教科書の加法定理の所を読み直す !!
	これの係数部分をぬきだして、次のように形式的に記述する

		(x') = ( \cos{α}  -\sin{α} ) (x)
		 y'      \sin{α}   \cos{α}    y

	この係数を並べものを「行列」と呼ぶ。
		# 角αの回転の行列
	より一般的には、

		( a b ) ( x ) = ( a x + b y )
		  c d     y       c x + d y

	特に、
		
		A = ( \cos{α}  -\sin{α} )
		      \sin{α}   \cos{α}

	とすれば、

		v' = A v

	となる。

	[行列の用語]
		列, 行、成分.. etc .. ( text p.18 参照 )


	[定理] (線型性)
		A(x+y) = Ax + Ay
		A(cx)  = c(Ax)

		# この性質は、このあと嫌になるほど、出てくる (重要 !!)

	## ここで話を回転に戻して..

	同様にして、P' をβだけ回転した結果を P" とすると、

		(x") = ( \cos{β}  -\sin{β} ) (x')
		 y"      \sin{β}   \cos{β}    y'

	特に、
		
		B = ( \cos{β}  -\sin{β} )
		      \sin{β}   \cos{β}

	とすれば、

		v" = B v'

	となる。

	ここで、P を一挙に P" まで、回転させることを考えると... 同様にして..

		(x") = ( \cos{α+β}  -\sin{α+β} ) (x)
		 y"      \sin{α+β}   \cos{α+β}    y

	となる。

	α回転してから、β回転しても、一挙に、α+β回転しても結果は変らないはず !!

	よって、

		C = ( \cos{α+β}  -\sin{α+β} )
		      \sin{α+β}   \cos{α+β}

	とすれば、

		C v = B (A v)

	ということになる。

	そこで、

		C = BA

	と定める (定義する)。
	即ち、
		(BA) v = B(A v)

	# この議論は、回転の図形の性質から導かれたが、より一般に、回転以外の場合の行列の場合の積を定義する、

	[定義] 行列の積の定義

		( a b ) ( p q ) = ( ap+br aq+bs )
		  c d     r s       cp+dr cq+ds

	# 先程の「積」は、図形の性質から、後の「積」は、成分から定義している
	# この二つの定義が「矛盾」していると困るので、そこを確認する

	Proof) (矛盾していないことの証明)
		BA = ( \cos{β}  -\sin{β} ) ( \cos{α}  -\sin{α} )
		       \sin{β}   \cos{β}     \sin{α}   \cos{α}
		   = ( \cos{β}\cos{α}-\sin{β}\sin{α} -\cos{β}\sin{α}-\sin )
			 ...
				# 成分で積を計算
		   = ...
				# 加法定理を使って整理
		   = C

	よって、確かに、後の定義は、前の定義の一般化になっている。
	よって、今後は、行列の積は、全て、成分の方の定義で考える。

	[例] P を x 軸で線対称に写した先を P' とすると

		P = (x,y) の時 P' = (x,-y)

	となるので、
		x = x    = 1 x + 0 y
		y = -y   = 0 x - 1 y
	より行列を使うと

		(x') = ( 1  0 ) (x)
	         y'      0 -1    y
	となる。

	[交換律は成立しない]

	[例] A : 角度 \pi/2 の回転とすると

			A = ( 0 -1 )
			      1  0

	    B : x 軸に線対象な変換 ( 前例 ) とすると、

			B = ( 1  0 )
			      0 -1

	そこで、AB, BA を計算すると...

		AB = ( 0 1 )
		       1 0

			# これは、y = x に対する線対称 (折り返し)

		BA = (  0 -1 )
		       -1  0

			# これは、y = -x に対する線対称 (折り返し)

	よって、

		AB \ne BA

		# 行列の積は、交換できない !! 交換すると結果が変る !!

	[結合律は成立する]
		(AB)C = A(BC)
	proof)
		A = ( a b ), B = ( p q ), C = ( x y )
		      c d          r s          z w
	として、
		(AB)C と A(BC) をそれぞれ計算して、比較すればよい。

	# この規則を繰り返せば、四つ以上複数の積の場合でも、どこから初
        # めてもよいことが解る。

	# この計算は大変だが、2 x 2 なら書けるので書いた。一般にはΣを使う

	# ここまでは、行列、ここから線型変換の話
	
	[定義]
		A : 行列
			T_A : V^2 ----> V^2 変換
			      \in       \in
			      x  |----> Ax

		# これは、写像だが、変換と呼んでいる

	このように定義された変換 T_A は、行列の性質
		A(x+y) = Ax + Ay
		A(cx) = c(Ax)
	から、
		T_A(x+y) = T_A(x) + T_A(y)
		T_A(cx) = c T_A(x)
	という性質 (線形性) を持つ
	これを、
		T_A の線型性
	と呼ぶ。

		T_A は V^2 の線型変換である

	という。

	[定義] (線型変換)
		T : V^2 --> V^2
	が線型性
		T(x+y) = T(x) + T(y)
		T(cx) = c T(x)
	を満すとき、T は V^2 の線型変換と呼ぶ

	T, S : 線型変換 => S・T = ST も線型変換
		proof) 証明はほぼ明らかなので、省略

	# 行列があれば、それから線型変換が決められたが、実は逆もいえる。
	# つまり、線型変換 T があれば、それに対して、行列 A が存在し、T = T_A である。

	proof)
		T を線型変換とする。
			Te_1 = ( a ), Te_2 = ( b )
			         c             c
		と置く。
		すると、
			\forall v ( \in V^2) v = x ( 1 ) + y ( 0 )
					             0         1
						 x e_1 + y e_2
		これより、
			Tv = T(x e_1) + T(y e_2)
			   = x T(e_1) + y T(e_2)
			   = x ( a ) + y ( b )
				 c         d
		           = ( ax + by )
			       cx + dy

			   = ( a b ) (x)
			       c d    y
		よって、
			A  = ( a b )
			       c d
		とすれば
			Ax = Tx

	この行列 A を 「T に対応する行列(T の行列)」となる、

		線型変換 T からそれに対応する行列を求めるという問題は、良くでる問題

	[定理]
				    一対一
		{ ( a b ) の形の行列 } <-> { V^2 上の線型変換 }
		    c d 

		    \in				 \in

		     A				 T_A


	[問 1]
		v = ( x ) を原点を中心に点対称な点に移す変換を T とすると..
		      y

		T v = ( - x )
		        - y

		よって、
			A = ( -1  0 )
			       0 -1

	[問 2]
		T_B T_A = T_{BA}
	proof)
		(T_B T_A)x = (T_B (T_A x)
			   = T_B (A x)
			   = B (A x)
			   = (BA) x
			   = T_{AB}x

	[例] (射影子)
		ベクトル a に対して、v を射影した結果を v' とする。
		この変換を行う変換を T とすると..

		T : x |--> x'

		(a,x)
		----- a = Tx
		(a,a)

		x' = sa
		(a, x-x')
		(a, x-sa) = 0

		この変換を「射影子」とよぶ。

		x' を x の a への射影

	[定理] この射影子 T は線型
	proof)
		T(x,y) = (a, x+y)
		       = (a,x+y)
		         ------ a
			 (a,a)
			= ...
				# 内積は分られた。
	同様に
		T(cx) = cT(x)
	も成立する。

	[問 1]
		# 略 (_v_)
		# 今回だけ少し丁寧に..

		A = ( a^2 ab  )
		      ab  b^2

	[問 2] [射影子に関する性質]
		a, b \ne 0, (a,b) = 0
		イ) T^2 = T, S^2 = S
			proof) 略
		ロ) TS = ST = O
			proof) 略
		ハ) Tx + Sx = x
			proof) 略


射影子の図形的な意味

	a への射影子 ( 上から光があたった、影 )

	もし、始めから、v が a に平行なら
		変化せず
	もし、v が a に直交していたら
		0 になってしまう。

		＃ 以上は、図形の性質から

	I = 1 : V^2 -> V^2
		\in    \in
		x |---> x (恒等変換)

	対応する行列を考えると..

		x' = 1 x + 0 y
		y' = 0 x + 1 y

	より、

		E = ( 1 0 ) (単位行列)
		      0 1

	O=0  : V^2 -> V^2
		\in    \in
		x |---> 0

	対応する行列を考えると..

		x' = 0 x + 0 y
		y' = 0 x + 0 y

	より、

		O = ( 0 0 ) (零行列)
		      0 0

==

ポイント

	線型変換の証明
	対応する行列の求め方
	射影子

	# 今日は、平面だが、来週は、空間で同じ話をする