代数幾何 I 古津先生 (2006/06/15)

三次行列とV^3 の線型(一次)変換

# 空間ベクトルでもほぼ、平面ベクトルと同じだが、取り敢えずやる

線型変換の定義 ( これは、平面の場合と同じ )

[定義](線型変換)
	T : V^3 の変換が、次の二つを満す場合、
		T(x+y)=Tx + Ty
		T(cx)=c(Tx)
	T は V^3 (上)の線型変換と呼ぶ

	線型変換の合成 S・T = ST も同様に定義

	# 線型変換の具体例 ( 原点対称とか、x 軸の周りの回転など.. ) は、後でやる

	線型変換に対応する行列は、3 × 3 になる

			a_11 a_12 a_13
		A =   (	a_21 a_22 a_23 )
			a_31 a_32 a_33

	# 行列とベクトルの積は後で行うとして、まずは、行列同士の掛け算を定義する

	行列 A (上で定義) と次の行列 B が与えられているとき、

			b_11 b_12 b_13
		B =   (	b_21 b_22 b_23 )
			b_31 b_32 b_33

	その積 AB は次のように定義
		# 本当は、Σで定義するのがよいのだが、ここでは、具体的に書く

		AB = ( .. 省略 .. )

		# 将来、行列のサイズが大きくなった場合は、Σででかかないとやってられない

		AB = C

	とし、

			c_11 c_12 c_13
		C =   (	c_21 c_22 c_23 )
			c_31 c_32 c_33

	の時、

		c_ik = \Sum_{j=1}^3 a_ij b_jk  ( i, j = 1, 2, 3 )

	とあらわされる。

		# この形なら、サイズが増えても大丈夫

	同様に、成分をつかって、ベクトルとの積も定義される

		      x_1
		v = ( x_2 )
		      x_3

	に対して

		Av = ( .. 省略 .. )

	となる。

# 平面ベクトルと同様にして以下の性質が成立する ( 証明も同じ )

	(AB)x = A(Bx)
	(AB)C = A(BC)
	A(x+y)=Ax+Bx
	A(cx) = c(Ax)

特に、

	A に対して T_A を次のような変換とする

		T_A : V^3 -> V^3
		      \in    \in
		       x |-> Ax

	すると、T_A は線型変換 # 線型性は、上記の行列とベクトルの積の性質から示される

	# これで、行列から線型変換が作れるが逆も ( V^2 と同様に.. ) いえる。
	# 考え方は V^2 と同じだが、次元が一つ増えている点が異る

	T を V^3 の線型変換
	e_1, e_2, e_3 を、V^3 の単位ベクトルとする
	ここで、

			 a_11
		Te_1 = ( a_12 )
			 a_13

			 a_21
		Te_2 = ( a_22 )
			 a_23

			 a_31
		Te_3 = ( a_32 )
			 a_33

	の時、

		\forall v ( \in V^3 )

			      x
			v = ( y ) = x e_1 + y e_2 + z e_3
			      z

		Tx = T(x e_1 + y e_2 + z e_3)
		   = x T e_1 + y T e_2 + z T e_3

			 a_11	      a_21	   a_31
		   = x ( a_12 ) + y ( a_22 ) + z ( a_32 )
			 a_13	      a_23	   a_33

			 a_11 x	+ a_21 y + a_31 z
		   =  (  a_12 x + a_22 y + a_32 z )
			 a_13 x	+ a_23 y + a_33 z

			 a_11 + a_21 + a_31     x
		   =  (  a_12 + a_22 + a_32 ) ( y )
			 a_13 + a_23 + a_33     z
			        ||
                                A
		   = A v

	よって、T = T_A となる。

# 平面と同様

		 一対一対応
	{三次行列} <------> {V^3 の線型変換}
	   \in               \in
	    A     <------>   T_A

	# ここまでは、座標なしでできたが、これからは座標を入れる
	# 入れかたは、右手系と、左手系の二つがある
	# どちらでも構わないが、混乱しないように一方を選ぶ、ここでは Text に合せて、右手系を採択する。

	[例]
		原点に対する対称
			(x,y,z) -> (-x,-y,-z)
		よって

			Tx = -x

			      -1  0  0
			A = (  0 -1  0 )
			       0  0 -1

		# e_1, e_2, e_3 の行さきで考える !!

		z 軸に関する回転

			      \cos{\alpha} -\sin{\alpha} 0
			A = ( \sin{\alpha}  \cos{\alpha} 0 )
			      0		    0		 1

	[射影子]
		a \ne 0
		a への射影子 T を考えると..

		# a と x が同一平面上にあれば、実は、平面上とまったく同じ議論ができる
		## 二つのベクトルを含む平面は常に取れるので、結局、どの場合も同じ
		# 図形的に同じなので、式も同じになる

		Tx = \frac{(a,x)}{(a,a)}a

	# 空間なので、平面への射影子というもの考えられる

	# b, c が独立でないと平面が作れないでの、b,c は独立とする

	b,c を独立として、b, c を含む平面 ( b, c の脹る平面 ) への射影子供 S の法線ベクトルを、a とする。

		ベクトル a, b, c, x の始点を平面上で同一の点 O に合せる。
		ベクトル x から、O を始点、平面への垂線の足を終点とするベクトルを x_0 とすれば、
			x_0 = Sx
			x-x_0 // a

		すなわち、
			x - x_0 は、x の a への射影 ( T x )になっている
		よって、
			x - x_0 = Tx = \frac{(a,x)}{(a,a)}a
		すなわち、
			Sx = x_0 = x - Tx = x - \frac{(a,x)}{(a,a)}a

==

	問1 イ)
		e_1, e_2, e_3 がどこにゆくかをみると
			e_2 は移動せず => 移動しないのは軸になるので、y 軸が回転軸
			e_1 = - e_1
			e_3 = - e_3
		よって、
			y 軸に関する角度 \pi の回転
			y 軸に関する対称

	    ロ)
			e_1 = e_1 ( よって、x 軸が回転軸 )
			e_2, e_3 は、α回転
		よって、	
			x 軸に関するα回転

	    ハ)
			Ae_1 = e_2
			Ae_2 = e_3
			Ae_3 = e_1
				# 移動しない要素はないので、この中に軸はない
				# しかし、これら関係から次のように軸をみつけることができる。

			    1       1
			A ( 1 ) = ( 1 )
			    1       1

		つまり、これが移動しないので、軸
			x = y = z という直線

		回転の量だが、三回回転すると元にもどるので、120度 ( 4/3 \pi ) 回転

	問 2

	# 単位ベクトルのいった先を並べるだけ

		         a^2
		Te_1 = ( ab  )
		         ac

		         ab
		Te_2 = ( b^2  )
		         bc

		         ac
		Te_3 = ( bc  )
		         c^2

	より、


		      a^2 ab  ac
		A = ( ab  b^2 bc  )
		      ac  bc  c^2

	となる。

	問 3
		# b と c が垂直なので、独立。よって平面をはる
		# よって、平面への射影子と思ってよい
		T : a への射影子
		S : b, c の脹る平面への射影子
	とすれば
		x = Sx + Tx	# これで、(ハ) が出た
				# 計算してもできるが、図形の性質を利用すると(ハ)から出る
		# 他も示す

		イ) これは、平面と全く同じ ( 式も同じ ) なので、省略

		ハ) より、x = Sx + Tx よって、Sx = x - Tx
			S^2 x = S (S x)
			      = S ( x - Tx )
			      = Sx - STx
		ここで、
			S(Tx) = Tx - T(Tx)
			      = Tx - Tx
			      = 0
		よって、
			S^2x = Sx

		ロ)
			T(Sx) = T(x-Tx)
			      = Tx - T^2x
			      = Tx - Tx
			      = 0

	# かわったのは、平面への射影子だけ。

	# 線型空間の話は来年やる !!

==

行列式 ( 二次の行列式 )

		A = ( a b )
		      c d

	に対して、
		ad - bc
	を
		A の行列式
	と呼び

		|A|

		| a b |
		  c d

		det A

	で表す。

		v = ( a ), u = ( c )
		      b          d

	の時、
		A = (a,b)	# これは、内積のかきかたと同じなので混同しやすい
				# 将来はベクトルの本数が増えて、区別できるようになる
				# 混同するのは、二次元の場合のみ
	と書き

		det(a,b)

	とも書く。

	[定理]
		イ) a, b が線型独立 <=> det(a,b) \ne 0
		ロ) det(a,b) = - det(b,a)
		ハ) det(a+b,c) = det(a,c)+det(b,c)
			# イ) と ハ) を組合せれれば後ろも分られることが解る
		二) det(ca, b) = c det(a,b)
		ホ) |AB| = |A| |B|
			# この最後は非常に重要

	proof)
		イ) 対偶をを示す
			ad-bc = 0
		<->	a : b = c : d
		<->	v // u
		<->	v, u は従属

		ロ), ハ), ニ) は、両辺を計算して、比較するだけ

		ホ) これも原則、計算するだけ ( 省略 )

	実は、

		v = ( a ), u = ( c )
		      b          d
n
	とすると、v, u の作る平行四辺形の面積 S は、

		S = |ad-bc|

	だった。
	よって、

		S = |det(u,v)|

	つまり、逆にいえば、det(u,v) は S に符号を付けたもの
		# この符号はどうなる ?

	前から後計った角度が 0 - \pi の時は、正, \pi から 2\pi は負の数になる。
		行列式は、0 の時と \pi の時だけ 0 になり、それ以外で 0 にならない
		\pi を越るまえは正のまま\pi を越るた後は負のまま

==

		v = ( a ), u = ( c )
		      b          d
	に対して

		X = (v,u)

	とすると、

		|AX| = det(Au,Av)
		     = |A| |X|
		     = |A| det(u,v)
	よって、

		|A| = \frac{ det(Au,Av) }{ det(u,v) }

	つまり、面積費

	この平行四辺形の面積は、座標の取りかたによって、変らない。

		変換 T に対して、座標をかえるとそれに対応する行列は変る
		しかし、行列式は面積比なので、変らない
			つまり、座標がかわって、行列は変っても、行列式は変らない
			行列式は、変換 T にのみ依存する量だということが解る

		# これは、後にもっと高い次元の立場から示される。


	[例] (クラーメルの公式)

		ad-bc \ne 0 の時、連立方程式

			a x + by = e
			c x + by = f

		に対して、


			x = \frac{ | e b | }{ | a b | }
				   | f d |    | c d |

			y = \frac{ | a e | }{ | a b | }
				   | c f |    | c d |
==

	[定義] 外積

	a, b が独立に対して、

		\exist 1 c \in V^3
			s.t
				1) c は、a, と b に垂直
				2) a, b, c は右手系
				3) |c| は a, b 脹る平行四辺形の面積

		proof)
			# 具体的に一つあり、かつただ一つであることを示す必要がある
			-- 省略 --

	なので、c を a と b の外積 (ベクトル積) とよび、a × b で表す。

	a, b が独立でない時は、a × b は 0 と定義する。

	[定理]
		a × b = - b × a
		c ( a × b ) = (c  a) × b =  a × ( c b )


	[定理] (外積の成分表示)

		      a		 a'
		u = ( b ), v = ( b' )
		      c	         c'

	とすると、

			  | b b' |
			    c c'
			 
		u × v = ( | c c' | )
			     a a'
		
			   | a a' |
			     b b'

	となる。

	proof)
		(a, c) を計算すると、0 になるので、a, c は直交、b も同様
		|c|^2 を計算すると
			|a|^2|b^2|-(a,b)^2
		で、これは平行四辺形の面積なので、長さも大丈夫

		# あとは、向き (右手系) だけ

		e_1 × e_2 = e_3 であることは外積の定義からでる。

		これを上記の形で計算すると、一致する。

		右手系の性質は、

	# 外積は、空間固有の性質で、この後一般的なベクトルを学ぶ