# 20 分ほど、遅刻

三次元の内積
	A = ( a_1, a_2, a_3 )
の時
	|A| = det A = ( a_1 x a_2, a_3 )
	|A| は、a_1, a_2, a_3 の脹る平行六面体の体積に符号とつけたもの
		右手系列の時 +
		左手系列の時 -

	[定理]
		det(a_1,a_2,a_3) = 0 <=> a_1, a_2, a_3 は線型従属
	[定理]
		(1) a_1, a_2, a_3 の二つの順序を入れ替えると -1 倍
			平行六面体は変らないが右手系、左手系が変るので符号だけ変る
		(2) det(a_1+a_1',a_2,a_3)=det(a_1,a_2,a_3)+det(a_1',a_2,a_3)
		(3) det( c a_1,a_2,a_3) = c det(a_1,a_2,a_3)

	成分表示による三次行列式の計算

		|a_11 a_12 a_13|
		|a_21 a_22 a_23|
		|a_31 a_32 a_33|
			= a_21 a_32 a_13 - a_31 a_22 a_12
			+ a_31 a_12 a_23 - a_11 a_32 a_23
			+ a_11 a_22 a_33 - a_21 a_12 a_33

		# たすきがけの計算方法で覚えよう !!

	[定理]
		|AB| = |A| |B|
			# 二次の時には証明したが、三次では大変なので省略
			# やりかたは同じ

	三つの三次元ベクトル
			x_1
		v_1 = ( y_1 )	
		        z_1

			x_2
		v_2 = ( y_2 )	
		        z_2

			x_3
		v_3 = ( y_3 )	
		        z_3

	を考え、

		X = (v_1,v_2,v_3)

	とすると、

		|AX| = det(A v_1, A v_2, A v_3)
		||
		|A||X| = |A| det(v_1,v_2,v_3)
			行列 A をかけると、平行六面体の体積(符号付き) は |A| 倍される

	ここで、
		T:V^3 上の線型変換とすると
			座標を一つ入れると、その行列表現は A
				T=T_A によって、平行六面体は、|A| 倍される
			別の座標を一つ入れると、その行列表現は B ( A と異る )
				T=T_B によって、平行六面体は、|B| 倍される
	ところが、元の体積は、座標系と無関係に決るし、また、写した先の体積も、T に
	によって、定まり、これも座標系列と異る
	したがって、
			|A| = |B|
	でなければならない。
	すなわち、
		線型変換 T に対応する行列は、座標の取りかたによらず、その行列式は等しい


	例:
		二つの直線
			l_1 : x + x_1 + t a
			l_2 : x + x_2 + t b
		が、ねじれの位置にある ( 平行でもなく、交わりもしない ) とする
		この時、
			P_0Q_0 が最短の時、P_0Q_0 垂直 l_1, P_0Q_0 垂直 l_2
		[証明]
			背理法による
			P_0Q_0 が l_2 と直交していないとする。
			P_0Q_0' が l_2 と直交するように線を引けば、こちらの方が短い
			これは、P_0Q_0 の最短性に反する

		この二つの直線の距離は |P_0Q_0| と定義する。
		その値は、

		# 二次元の係数行列の行列式が 0 でないことが、連立方程式が一意の解を持つことの必要十分条件

		P_0, Q_0 の位置ベクトルを p, q とすれば
			p = x_1 + t a
			q = x_2 + s b
		これに対して
			(a,q-p) = 0
			(b,q-p) = 0
		これから、t, s に関する連立方程式
			(a,a)t-(a,b)s = (a,x_2-x_1)
			(b,a)t-(b,b)s = (b,x_2-x_1)
		これが一意の解を持つ場合は、係数行列が 0 でないことだが、

			| (a,a) -(a,b) |
			| (b,a) -(b,b) | = -|a|^2|b|^2 (a,b)^2
					 = |a|^2|b|^2 ( 1 - \cos{\thita} )
				l_1, l_2 は捻れなので、\thita \ne 0
				よって、この行列式は \ne 0

		よって、唯一の解 t_0, s_0 を持つ		
			c = P_0 Q_0 = p - q
		とすれば、
			x_2 - x_1 = c + t_0 a - s_0 b
		なので、
			(c,x_2-x_1) = (c,c) + (c,a)t_0 - (c,b)s_0
				    = (c,c)
		また、
			c = k a × b, ( k\ne0 )
		とすると
			|c| = \frac{|(c,c)|}{|c|} = \frac{(c,x_2-x_1)}{|k||a × b|}

	[定理]
		l_1, l_2 が捻れの位置
			<=> det(a,b,x_2-x_1) \ne 0

		[証明]
		(=>) 上記より、
			捻れの位置にあれば距離は 0 でない
			距離の分子は 0 でない
		すなわち、
			det(a,b,x_2-x_1) \ne 0
		(<=) (対偶を取る)
			捻れの位置になければ、平行か、交わるかどちらか
			交わる場合
				距離が 0 なので、分子は 0
			すなわち、
				det(a,b,x_2-x_1) = 0
			平行の場合は、
				a // b
			よって、
				a × b = 0
			よって、
				det(a,b,x_2-x_1) = 0

# 以上で、一章は一応終りだが、章末問題も解いてみる

	章末問題 8.

		| (a,a) (a,b) (a,c) |
		| (b,a) (b,b) (b,c) | = det(a,b,c)^2
		| (c,a) (c,b) (c,c) |

	# これは、左右をそれぞれ計算して、結果を比較すれば済むが、その
        # 方法だと、計算が面倒なので、別の方法を考える

		      a_1
		a = ( a_2 )
		      a_3

		      b_1
		b = ( b_2 )
		      b_3

		      c_1
		c = ( c_2 )
		      c_3

	とし、
		A = (a,b,c)
	とする。

	この
		      a_1 b_1 c_1
		A = ( a_2 b_2 c_2 )
		      a_3 b_3 c_3

	に対して

		       a_1 a_2 a_3
		tA = ( b_1 b_2 b_3 )
		       c_1 c_2 c_3

	とすると、


		|tA A| = 上記の式

	となる。
	ここで、
		|tA| = |A|
	となる ( ことは、実際に、|tA| を計算して確かめる ) ので、

		上記の式 = |tAA| = |tA| |A| = |A|^2 = det(a,b,c)^2

	となる。

	# この方法は、何次の場合でもできるという意味でもスマート


	章末問題 5.
		三次元内の平面 S; (a,x) = 0 に対する折り返し変換 T を考える。
		# この平面の法線ベクトルは a で、しかも原点を通る平面であることに注意

		# この T が線型変換出歩ことを示す

		まず、x の a への正射影 v は

			v = \frac{(a,x)}{a,a}a

		で与えられた。

		折り返しは、x を v の逆方向に二つ分進めた形なので、

			Tx = x - 2v
			   = x - 2\frac{(a,x)}{a,a}a

		これは、明らかに線型変換

		# 次に対応する行列を計算すると..

		--- 間に合わず ---

# 今日はこのへんでおしまい。
# 次回は、これまでの二次元や三次元から離れて N 次元の話に進む

## 前期の残りは、 N 次元の行列の話をしている途中で中間試験
## 後期は、N 次元の行列と、N 次元の行列の行列式をやる予定