代数幾何 I 古津先生 (2006/10/05)

# 何をやっていたかというと...

一次方程式系

	Ax = c			(1)

あるいは、これと同値な

	\~A\~x = 0		(1')

を、基本変形を利用して、解くことを考える。

	\~A ---(行の基本変形)---> \~B
		ただし、最後の列以外との「列の交換」は認める ( 変数の交換になる )

# \~B への変形までは、前回行った。


		   r 個
		 1   0     b_{1,r+1} ... b_{1,n} d_1
                  1        b_{2,r+1} ... b_{2,n} d_2
	\~B = (    ..		     ...
                 0   1     b_{r,r+1} ... b_{r,n} d_r
		   0                  0          d_{r+1}
						...
						 d_{m}

		# ここで、 r = rank A

この変換により、

		\~Bx = 0	(2')

を考えると、この解は、(1'), (1'') と同じである。
実は、(1') より (2') の方が解きやすい。実際に、この (2') を方程式の形に書き換えると..


	x_1           +    b_{1,r+1}x_{r+1} ... + b_{1,n}x_r = d_1
	   x_2        +    b_{2,r+1}x_{r+1} ... + b_{2,n}x_r = d_2
	     ..                             ...
		x_r   +    b_{r,r+1}x_{r+1} ... + b_{r,n}x_r = d_r
						           0 = d_{r+1}
							   ...
						           0 = d_{m}

となる。

	a) d_{r_1} から d_{m} に 0 でなりものがある場合
		=> 不能

		# 解の個数は 0 であり、「解なし」でもよい

	b) d_{r_1} から d_{m} が、全て 0 
		=> 次のような解となる


	x_1             =    -b_{1,r+1}α_{r+1} ... + b_{1,n}α_r + d_1
	   x_2          =    -b_{2,r+1}α_{r+1} ... + b_{2,n}α_r + d_2
	     ..                             ...
		x_r     =    -b_{r,r+1}α_{r+1} ... + b_{r,n}α_r + d_r
		x_{r+1} = α_{r+1}
			..
		x_{n}   = α_{n}

	ここで、
		b-1) r = n の時
			解は一通りに定まる。

			# 解の個数は 1

		b-2) r < n の時
			解は、 α_{r+1} から α_{n} の n - r の自由度がある

			# 解の個数は無限
			# 高校では、「不定」としたが、大学では上記の形にしないと駄目

	次のベクトルの形の表現でもよい

	    x_1		d_1              b_{1,r+1}                 b_{1,n}
	    x_2		d_2              b_{2,r+1}                 b_{2,n}
	    ...	     	...	     	   ...	     	            ...
	x=( x_r    )=(  d_r     ) - α_1( b_{r,r+1} ) - .. - α_n ( b_{r,n} )
	    x_{r+1}     d_{r+1}              1                        0
	     ...	...                 ...			     ...
	    x_{n}	d_{n}                0			      1


	# ここまでが、定理 5.3

==

例 1.

		0  3  3 -2 -4
	\~A = ( 1  1  2  3  2 )
		1  2  3  2  1
		1  3  4  2 -1


	# 途中、3 列と 4 列を交換した上で	


		1  0  0  1 -7
	\~B = ( 0  1  0  1 -2 )
		0  0  1  0 -1
		0  0  0  0  0

	# rank A は 3 ということが解った。
	# ここで、3 列と 4 列の交換を行ったことを思い出しながら、元の方程式に戻すと


		x_1           + x_3 =  7
		     x_2      + x_3 = -2
			  x_4       = -1

	なので、x_3 = α_3 とすれば、


		x_1 =  7 - α_3
		x_2 = -2 - α_3
		x_3 = α_3
		x_4 = -1

	となる。

例 イ)

		 1  2  3  4
	\~A = (  2  1  3  0 )
		-2  3  1  1


	# これから、基本変形を使って、\~B を求めると..


		 1  0  1 -4/3 	  	  
	\~B = (  0  1  1  8/3 )
		 0  0  0 -29/3


	# これを元の方程式に戻すと


		x_1     + x_3 = -4/3
		    x_2 + x_3 =  8/3
		            0 = -29/3 <- 有得ない

		不能 ( 解なし )

例 ロ)

		 1 -1  0 -2
	\~A = (  3 -1  1 -2 )
		 2 -1  2 -1
		 0  1 -1  1

	# これから、基本変形を使って、\~B を求めると..

		 1  0  0 -1/3
	\~B = (  0  1  0  5/3 )
		 0  0  1  2/3
		 0  0  0  0

	# これを元の方程式に戻すと

		x_1           = -1/3
		    x_2       =  5/3
		        x_3   = 2/3

	これは、解が唯一つの例

例 ハ)

		 1  2 -2  1  3  2
	\~A = (  2  1  2  0  1  3 )
		-2 -3  2 -1  2  1

	# これから、基本変形を使って、\~B を求めると..
	# 途中、3 列目と 4 列目の交換が必要になる。

		 1  0  0  2   6  6
	\~B = (  0  1  0 -2 -11 -9 )
		 0  0  1  0  19  14

	# 途中、3 列目と 4 列目の交換をしたことを考慮しながら元の方程式にすると..

	x_1		+ 2 x_3 + 6 x_5 =  6
	     x_2	- 2 x_3 -11 x_5 = -9
	          x_4            19 x_5 = 14


	x_3 = α, x_5 = βとおけば、答は

	x_1 =  6 - 2 α - 6 β
	x_2 = -9 + 2 α -11 β
	x_3 = α
        x_4 = 14 - 19 β
	x_3 = β


==

[系 5.3]
	(1) が解を持つ
		<->
			rank A = rank \~A

	proof)
		rank A = rank B = r
		rank \~A = rank \~B

			1         |		|
		     	 1  r 個  |       *     |  *
		\~B = (   ..      |		|     )
			    1     |		|
			----------+-------------+-----
				  |		| d_{r+1}
			     0	  |       0	|  ...
				  |		| d_m

	この \~B の rank を計算してみる。
		# rank の計算は列の掃き出しも使えるので、* の部分は掃き出せる


			1         |		|
		     	 1  r 個  |       0     |  0
	rank\~B = rank(   ..      |		|     )
			    1     |		|
			----------+-------------+-----
				  |		| d_{r+1}
			     0	  |       0	|  ...
				  |		| d_m


	ここで、

		a) d_{r+1} 〜 d_m の中に 0 でないものがある
			=> rank ~B = r + 1 \ne r
				この時、解なし

		b) d_{r+1} 〜 d_m は全て 0
			=> rank ~B = r 
				この時、解がある

	よって、同値であることが解る


[系 5.4]
	m = n で、 A: 正則ならば、(1) はただ一つの解を持つ
		proof)
			A : 正則より
				rank A = n
				rank \~A <= min(n,n+1) = n
			よって
				rank A = rank \~A
			即ち、自由度 n - r = 0 となるので、ただ一つの解

==

[定義] 斉次一次方程式
	定数項 c = 0 の場合の方程式

		A x = 0			(4)

	# 一般に方程式は、解があるかどうか割らからないのだが...

	(4) は必ず、

		x = 0

	という解を持つ。

	この解を (4) の自明な解と呼ぶ

	[定理]
		x_1, .., x_k が (4) の解ならば、
			a_1 x_1 + a_2 x_2 + .. + a_k x_k
		も (4) の解

		proof)
			A ( a_1 x_1 + a_2 x_2 + .. + a_k x_k )
		=	a_1 A x_1 + a_2 A x_2 + .. + a_k A x_k
				ところが、x_1, .., x_k が (4) の解なので、
					A x_1 = .. = A x_k = 0
				よって、
		=	a_1 0 + .. + a_k 0
		=	0

			よって、解

	[定理 5.5] (4) において、
		rank A = r
	ならば、
		(4) は n - r 個の特別な自明でない解
			x_{r+1} + .. + x_n
		を持ち、
			(4) の任意の解は、上記の線型結合
			上記の解は、線型独立

	proof)
		定理 5.2 (これは斉次方程式でも成立することに注意) より

			 	- b_{1,r+1}	 	    - b_{1,n}
		x = α_{r_1} (    ...        ) + .. + α_n (    ...     )
				   1				0
				   0				0
				 ...				...
				   0				1

		となり、ここのベクトルを x_i とおけば、確かに線型結合で表される
		またこれらのベクトルは、r+1 〜 n の部分から 線型独立であることがわかる
		また、α_i = 1, α_j = 0 ( i \ne j ) とすれば、x_i が解になる

	[系 5.6]
		n > m ならば (4) は自明でない解を持つ
	proof)
		rank A <= min ( m, n ) = m < n
		よって、
			自由度 n - r = n - m > 0

	[定理 5.7]
		n = m の時
			A が正則でない <=> (4) が自明でない解を持つ
	proof)
		A が正則でない <=> rank A < n
			     <=> 自由度 n - r > 0
			     <=> 自明でない解を持つ

	[定理 5.8]
		n = m の時
			A が正則 <=> ( x \ne 0 => Ax \ne 0 )
	proof)
		[定理 5.7]の対偶を取れば
		A が正則 <=> 自明でない解を持たない
			<=>  ( x \ne 0 => Ax \ne 0 )

	[定理 5.9]
		(1') の解 x_0 を固定すると、(1) の任意の解は、x_0 に (4) を
		加えることによって得られる。

	proof)
		まず、y を (4) の解とすると、
			A ( x_0 + y ) = A x_0 + A y
				      = c + 0
				      = c
		よって、
			x_0 + y は、(4) 解

		逆に、x を (1) の解とし、y = x - x_0 とすると、
			A ( x - x_0 ) = A x - A x_0
				      = c - c
				      = 0
		よって、y は、(4) の解となる。

			x = x_0 + y

		となる。

==

	方程式は、代入でも解けるが試験の時には、\~B も要求するので、ちゃんと、
	基本変形を利用した方程式の解法を身に付けておくこと

==

来週は、内積に入る