内積
	x, y \in C^n を考える
	これは、n 項目ベクトルなので、(n,1) 型の行列と思うことができる
	すると、これの転置 ^t x は (1,n) 型の行列となる。
	行列の積
		^t x \bar{y} 
	は、(1,1) 型の行列となるが、この行列をその唯一の成分と同一視すると、
	これは、複素数となる。
	この複素数値を x と y の「内積」と呼び、
		(x,y) あるいは x ・ y
	で表す。
		# 講義では、(x,y) の方を利用する

	特に、成分で考えると、

			x_1
		  x = (	x_2 )
			..
			x_n

			y_1
		  y = (	y_2 )
			..
			y_n

	は、

		(x,y) = ^t x \bar{y}
		      = x_1 \bar{y_1} + x_2 \bar{y_2} + .. + x_n \bar{y_n}
		      = \sum_{i=1}^n x_i \bar{y_i}
	となる。

	特に、x, y が実ベクトル ( すなわち、x_i, y_i \in R ) の時、
		\bar{y} = y
	なので、
		(x,y) = \sum_{i=1}^n x_i y_i
	となる。
	以前にやった、平面や、空間のベクトルの内積は、成分が実数となるので、実は、この内積と一致する。
		すなわち、今回の内積の定義は、以前の内積の一般化 ( 複素ベクトルを含めたもの.. )


[定理 6.1]
	(x_1+x_2,y) = (x_1,y) + (x_2,y)
	(x,y_1+y_2) = (x,y_1) + (x,y_2)		-- この二つを (2)

	(c x, y) = c (x,y)
	(x, c y) = \bar{c} (x,y)		-- この二つを (3)

	(y,x) = \bar{ (x,y) }			-- (4)

			# (3) と (4) を合せて「共役線型性」と呼ぶ

	(x,x) \in R
	(x,x) >= 0
	(x,x) = 0 <=> x = 0			-- この三つを (4)

			# (5)を「正値性」と呼ぶ

	proof)
		# (2)
		(x_1+x_2,y) = (x_1+x_2)\bar{y}
			    = ^t x_1\bar{y} + ^t x_2\bar{y}	(行列の線型性)
			    = (x_1,y) + (x_2,y)

		# (3)
		(x, c y) = ^t x \bar{c y}
			 = ^t x \bar{c} \bar{y}
			 = \bar{c} ^t x \bar{y}
			 = \bar{c} (x,y)

		# (4)
		(y,x)	= \sum_{i=1}^n y_i \bar{x_i}
			= \sum_{i=1}^n \bar{x_i \bar{y_i}}
			= \bar{\sum_{i=1}^n x_i \bar{y_i}}
			= \bar{(x,y)}

		# (5)
		(x,x)	= \sum_{i=1}^n x_i \bar{x_i}
			= \sum_{i=1}^n |x_i|^2
				よって、 \in R かつ >=
		更に、
			(x,x) = 0
		とすると、
			|x_i| = 0 ( forall i )
		なので、
			x_i = 0 ( forall i )
		即ち
			x = 0

	# 正値性が示されたので、長さの定義に入る

[定義](長さ)

		|x| = ||x|| = \sqrt{(x,x)} = \sqrt{\sum{i=1}^n |x_i|^2

	をベクトル x の長さ ( ノルム ) となる。

	# 教科書では、||x|| を用いているが、講義では |x| を用いる
	# 普通、長さといえば|x|, ノルムといえば、||x|| を用いることが多い ( が、例外もある.. )


[定理 6.2]
	イ)	|(x,y)| <= |x| |y|	(シュワルツ不等式)
	ロ)	|x+y| <= |x| + |y|	(三角不等式)

	# この不等式は、ここだけでなく、様々な分野で現れる重要な公式

	proof)
	イ) y = 0 なら、Okay、y \ne 0 として、a,b を任意の複素数
		0 <= |ax+by|^2
			= (ax+by,ax+by)
			= a\bar{a}(x,x)+a\bar{b}(x,y)+b\bar{a}(y,x)+b\bar{b}(y,y)
				# ここで、後の定数を前に出す時に\bar が必要なことに注意 (共役線型性)
			= |a|^2|x|^2 + a\bar{b}(x,y)+b\bar{a}\bar{(x,y)} + |b|^2 |y|^2
	となる。ここで、
		a = |y|^2, b = - (x,y)
	とおけば、
		0 <= |y|^4|x|^2(-(\bar{(x,y))(x,y) + |y|^2(-(x,y))\bar{(x,y)}+|(x,y)^2|y|^2
		= |y|^4|x|^2-|y^2|(x,y)|^2
	ここで、|y|>0 なので、
		0 <= |x|^2|y|^2 - |(x,y)|^2
	よって、
		|(x,y)|^2 <= |x|^2|y|^2
	ここで、|(x,y)| >= 0, |x||y| >= なので両辺の平方根をとっても成立するので、
		|(x,y)| <= |x||y|
	となる。

	ロ)
		|x+y|^2 =  |x|^2 + (x,y) + (y,x) + |y|^2
			<= |x|^2 + 2|(x,y)| + |y|^2	( これは後で示す (*) )
			<= |x|^2 + 2|x||y| + |y|^2	( シュワルツの不等式 )
			= ( |x| + |y| )^2
	更に、|x+y|, |x|+|y| が共に非負値なので、平方根を取ってもよい
	よって、
			|x+y| <= |x| + |y|

	# 先程の (*) を示す ( 複素数の性質 )
		z \in C => z + \bar{z} <= 2|z|
	proof)
		z = x + y i ( x, y \in R ) とおくと
		\bar{x} = x - y i
	となるので、
		z + \bar{z} = 2 x = 2 Re z
	一方
		|z| = \sqrt{ x^2 + y^2 } >= |x|
	なので、
		z + \bar{z} <= 2 |z|

	# シュワルツは人の名前
	# 三角不等式は、「三角形の辺の長さの関係」を示しているので、図形的な性質から..

[定義] (直交)
	(a,b) = 0 の時、a, b は「直交する」という
		# a と b のどちらか、あるいは両方が 0 ベクトルの時には、二つのベクトルの角度は定義されないが、そのような場合でも、「直交する」と考えることにする。
	この時
		a ↓ b
	で表す。

問 1
	|x+y|^2 + |x-y|^2 = 2 ( |x|^2 + |y|^2 )

	proof)
		(左辺)	= |x|^2 + (x,y) + (y,x) + |y|^2
			+ |x|^2 - (x,y) - (y,x) + |y|^2
	    		= 2 ( |x|^2 + |y|^2 )
			= (右辺)

問 2
	x ↓ y => |x+y|^2 = |x|^2 + |y|^2

	proof)
		|x+y|^2 = |x|^2 + 2 Re(x,y) + |y|^2
			= |x|^2 + |y|^2			(∵ Re(x,y) = 0 )

	特に、x,y \in R^n ならば、
		|x+y| = |x|^2 + |y|^2 => x ↓ y
	も成立する

		proof)
		|x+y| = |x|^2 + |y|^2 より Re(x,y) = 0
		ところが、x, y \in R^n より Re(x,y) = (x,y)
		よって、
			(x,y) = 0
		なので、
			 x ↓ y

	[注意]

		x ↓ y			|x+y|^2 = |x|^2 + |y|^2
		  ⇔			⇔	
		(x,y) = 0	=>	Re (x,y) = 0
				<= は実の時

		[反例]		1	i
			  x = ( 0 ) y= (0)
				..      ..
				0	0

		では、|x+y|^2 = |1+i| = 2, |x| = |y| = 1 なので、
			|x+y|^2 = |x|^2 + |y|^2
		となるが、
			(x,y) = -i \ne 0
		なので、直交しない

	# 複素数の計算は、今後も度々利用するので、もう一度復習しておくこと !!

問 3
	x, y \in R^n => (x,y) = 1/4 ( |x+y|^2 + |x-y|^2 )

	proof)
	問 1 より
		(左辺)	= Re (x,y)
			= (x,y)		( x, y \in R^n なので )

		[反例] 上記の 例 2 の x, y
			右辺の値は (x,y) = -i だが、
			|x+y|^2 = 2, |x-y|^2 = 2 なので、右辺は 0 となってしまう

[定理 6.3]
	A : ( m, n ) 型

		( A x, y ) = ( x, ^t A y )	( \forall x \in C^n , y \in C^m )
					-- (9)

	逆に
		( A x, y ) = ( x, B y )		( \forall x \in C^n , y \in C^m )
					-- (10)
	ならば、
		B = ^t \bar{A}

	proof)
	# (9)
		(Ax,y)	= ^t(Ax) \bar{y}
			= ^t x ^t A \bar{y}
			= ^t \bar{^t A y}
			= ( x, ^t\bar{A} y )
	よって、
		( A x, y ) = ( x, ^t A y )

	# (10)
		( A x, y ) = ( x, B y )
	なので、(9) より
		(x, ^t\bar{A}y) = (x, By)
	よって、
		(x,(^t\bar{A}-B)y ) = 0
	ここで、
		x = (^t \bar{A} B ) y とすると

		((^t\bar{A}-B)y ,(^t\bar{A}-B)y ) = 0
	よって、
		(^t\bar{A}-B)y = 0
	よって、y に順番に e_i を代入すれば、^t\bar{A}-B の i 列目がでるが、それがいずれも 0 なので、元の行列は0 すなわち
		^t\bar{A} = B

[定義]
	^t\bar{A} を A の随伴(アジョント) 行列と呼び A^* で表す。

[定理]
	(A^*)^* = A
	(A+B)^* = A^* + B^*
	(cA)^* = \bar{c}A^*
	(AB)^* = B^* A^*
	

[定義]
	A が正方行列で、
		A = A^* 
	を満す時、
		A はエルミート行列
	と呼ぶ
		<=> (Ax,y) = (x,Ay)
	特に、
		実エルミート行列を、実対称行列と呼ぶ

	ここで、
		A = ( a_ij )
	とすると、
		A^* = ( \bar{a_ji} )
	よって、
		a_ij = \bar{a_ji}
	特に、
		a_ii = \bar{a_ii}
	なので、
		対角成分は、全て、実

[定義]
	A が正方行列で、
		A A^* = E
	を満す時、
		A はユニタリ行列
	と呼ぶ

	特に実ユニタリ行列を直交行列と呼ぶ


[定理]
	A : ユニタリ => A : 正則、A^{-1} = A^*
	proof)
		定義より明らか

	A, B : ユニタリ => AB : ユンタリ
	proof)
		(AB)^*(AB) = B^* A^* A B
			   = B^* B
			   = E

[定理]
	A : ユニタリ => A^{-1} = A^* もユニタリ
	proof)
		(A^*)^* A^* = A A^* = E

# ユニタリ行列は、実は「群」になる ( 代数学入門 (2) か、代数学 (3) で学ぶ )