代数幾何 I 古津先生 (2007/01/11)

# 遅刻して、前回の続きは駄目だった

p.71 問 6 A:n 次

# 幾つか、太字の用語があるので、これだけは押えておきたい。

イ) \exist k \in N s.t. A^k = E => A は正則
	proof)
	(A^{k+1})A=A(A^{k+1})=E より (A^{k-1}) が A の逆行列なので..) A は正則

ロ)A^2 = A, A\ne E => A は正則でない
	proof)
	# 背理法による。
		A が正則とすると A^{-1} が存在する。
		これを両辺からかければ、
			A = E
		これは、矛盾

ハ) \exist k \in N s.t. A^k = O => A は正則でない
	# [定義] \exist k \in N A^k = O の時に、A は「羃零」であると言う
	# 背理法による。
		A が正則とすると A^{-1} が存在する。
		これを両辺に、k 回数かけると
			E = O
		これは、明らかに矛盾

二) A:羃零 => E \pm A は、正則
	proof)
	# 具体的に、逆行列をつくってみればよい。
		B = E+A+A^2+..+A^{k-1}
	とおくと、
		B(E-A) = (E-A)B = E - A^k
	ここで、 A^k = O なので、
		= E
	すなわち、B は、E-A の逆行列となるので、E-A は正則
	# 以上は、+ の場合だが、- の場合も同様
		C = E-A+A^2-...+(-1)^{k-1}A^{k-1}
	とおくと、同様に、
		C(E-A) = (E-A)C = E - (-1)^{k-}A^k = E
	となる。

	# E と他の行列が一つしかなければ、これらの計算は、多項式と同じ
	## x, y \in { A, E } => xy = yx が成立するから..
	## 一般には、積の交換ができないので、これほど巧く行くとは限らない

問 7 XY-YX=E_n となる n 次行列 X, Y は存在しない。
	# この問題は、成分表示でやると、大変 !!
	## 両辺の Tr を取る

	Tr(XY-YX) = Tr(XY)-Tr(YX)	# Tr は和に関して分られる
		  = Tr(XY)-Tr(XY)   	# Tr は積を分られないが、交換しても値が変らない
		  = 0

	ところが、等式の右辺は、E_n なので、Tr(E_n) = n なので、この等式が成立するような、X,Y の組は存在しない

	[定義] XY-YX = [X,Y] を X, Y の「交換子積」と呼ぶ

問 11 p:n 次、^tPP = E, P+E は正則の時、
	イ) A = (P-E)(P+E)^{-1} とおくと、^tA = -A
		[定義] ^tA = -A の時、A を「交代行列」と呼ぶ
	proof)
	両辺に (P+E) をかけると
		A(P+E)=P-E
	# これをするのは、両辺の転置が欲いから。
	## 逆行列の転置はやっていないので、それを避けた
	両辺の転置を取る
		^t(P+E)^tA=^tP-E
	ここで、P^t = P^{-1} なので、書き換えると
		(P^{-1}+E)^tA=P^{-1}-E
	よって、
		(P^{-1}+E)^tA=P^{-1}-E
	よって、
		^A = -(E-P^{-1})(P^{-1}+E)^{-1}
	ここで、
		(A-E)(P+E)=(P+E)(P-E)
	なので、両辺の両側から(P+E)^{-1} をかけると、
		(P+E)^{-1}(P-E) = (P-E)(P+E)^{-1}
	よって、
		= -(P-E)(P+E)^{-1}
		= -A

ロ) E-A は正則
	proof)
		E-A = (P+E)(P-E)^{-1} - (P-E)(P-E)^{-1}
		    = {(P+E) - (P-E)}(P-E)^{-1}
		    = 2(P-E)^{-1}
		よって、正則

ハ) (E+A)(E-A)^{-1} = P
	proof)
		E+A	=	(P+E)(P-E)^{-1} + (P-E)(P-E)^{-1}
			=	2P(P-E)^{-1}
	ここで、ロ) より、	
		(E-A)^{-1} = {2(P-E)^{-1}}^{-1} = (1/2)(P+E)
	よって、
		(E+A)(E-A)^{-1} = 2P(P+E)^{-1}(1/2)(P+E)
				= P

問 12 A:n 次
	A^*A = AA^* <=> |Ax|=|A^*x| (\forall x)
		[定義] この時、A は「正規行列」という
	proof)
	# 同値なので、両側を示す必要がある
	(->)
		(A^*Ax,x,)=(AA^*x,x)
	より、
		(A^*x,A^*x,)=(Ax,Ax)
	より
		|A^*x|^2 = |Ax|^2
	より
		|A^*x| = |Ax|
	# 逆がちょっと大変だが、以前にやったことをもう一度行う
	(<-)
		|A(x+y)|^2 = (Ax+Ay,Ax+Ay)
			   = |Ax|^2 + |Ay|^2 + 2Re(Ax,Ay)
		|A^*(x+y)|^2 = (A^*x+A^*y,A^*x+A^*y)
			   = |A^*x|^2 + |A^*y|^2 + 2Re(A^*x,A^*y)
	ここで、仮定より、長さが等しいので、
		2Re(Ax,Ay) = 2Re(A^*x,A^*y)
	こんどは、y を iy で置き換えれば、同様にして
		2Im(Ax,Ay) = 2Im(A^*x,A^*y)
	なので、これから、(実部も虚部も同じなので..)
		(Ax,Ay) = (A^*x,A^*y)
	よって、
		(A^*Ax,y)=(AA^*x,y)
	# 実は、これが、任意の x,y で成立すれば、AA^*=A^*A と考えてよいが、少し丁寧に、先をすすめると..
	よって、
		((A^*A-AA^*)x,y) = 0
	ここで、
		y = (A^*A-AA^*)x
	とすれば、
		|(A^*A-AA^*)x|^2 = 0	(\forall x)
	ここで、x = e_1, .., e_n とすれば、
		A^*A-AA^* = O
	となる。

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# 四角い紙の話し

	+-----------------------+
	|			|
	|	連	(二章)	|	基(2)
	|			|	ク(1)	# 答だけではだめで、途中計算が必要
	|			|
	|	逆	(二章)	|		# 求めるだけ
	|			|
	|	| |	(三章)	|		# タイトル
	|			|
	|	S_n	(三章 1 節)|
	|			|
	|	証明		|
	|			|
	+-----------------------+

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来週は、演習問題を引続き行う。