代数幾何 I 古津先生 (2006/05/31)

# 本日の内容を大雑把にいうと、曲線と平面 ( と曲面 )

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1. 平面の直線

平面上の異る 2 点 P_1, P_2 を取ると、それを通る直線 l が一つ決る ( 点が異れば、必ず一つ決ることに注意 )。
平面上の原点を O とし、直線上の任意の点を P とし、夫々の位置ベクトルを
	v_1 = OP_1
	v_2 = OP_2
	v = OP
とし、更に、直線 l に平行な ( 0 でない.. ) ベクトルを a とすれば、

	点 P が、l 上にある
		<=> P_1P // P_1P_2
		<=> P_1P = t P_1P_2 ( t \in R )
		<=> v - v_1 = ta  ( t \in R )
		<=> v = v_1 + ta  ( t \in R )

	l: v = v_1 + ta  ( t \in R ) を「直線のベクトル表示」と呼ぶ
		# 実は、直線をベクトルを用いて表す方法はもう一つあるが、こちらを取りあえず、「ベクトル表示」と呼ぶことにする。
	a : l の方向ベクトル

	# ここで、更に、成分がわかっていれば、成分を用いても l を表現できる

		v_1 = ( x_1 ), v_2 = ( x_2 ), v = ( x )
			y_1	       y_2	    y

	とすると、上記の式に代入して、

		x - x_1 = t(x_2 - x_1)
		y - y_1 = t(y_2 - y_1)

	これより、t を消去して、

		(t=) \frac{x-x_1}{x_2-x_1} = \frac{y-y_1}{y_2-y_1}

			これが、l の直線の方程式

	これより、

		y = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}(x-x_1) + y_1

	となる。

定義(内積表示)

	直線 l の一般形式は、
		l : a x + b y = c
	特に、原点を通る場合は、
		l_0 : a x + b y = 0
	となる。

	この式の右辺は、

		o = ( a )
		      b

	とすれば、内積

		(v,o) = 0

	の形になっている。

		# これも、ベクトルを用いての表現であるが、区別するために、こちらは、「内積表示」と呼ぶ。

	o と直線上のベクトルは、直交している ( 内積が 0 なので.. )

	一般の直線 l の式は、
		a x + b y = c
	なので、
		(o,x) = c
	で表現できる。

		o は、l と垂直なので、「法線ベクトル」と呼ぶ

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[距離の公式]
	# 距離の公式は、直線の表現によって、それぞれ対応する形で作られる

	直線 l と l 上にない点 P との距離を求める。
		P から、 l への垂線の足を P' とする。
		# 位置ベクトルは、それぞれ x_0, x_0'

		求める距離は、 |PP'| = | x_0 - x_0' | である。

		# 直線との距離は、垂直の足との距離
		#	別の点だと、直角三角形になり、そっちの方が長い

	(1) [ベクトル版] l : x = x_1 + t a の時
		P' は l 上の点なので
			x_0' = x_1 + t a	( となる t が存在する )
		a は PP' と垂直なので、
			(a,x_0-x_0') = 0
	この式から、t を求めると
		t = \frac{(a,x_0-x_1)}{(a,a)}
	よって、
		x = x_1 + \frac{(a,x_0-x_1)}{(a,a)} a
	これから、
		|PP'|^2 = ( x_0 - x_0', x_0 - x_0' )
			= \frac{|a|^2|x_0-x_1|^2 - (a,x_0-x_1)^2}{|a|^2}
	がいえるので、
		|PP'| = \frac{\sqrt{|a|^2|x_0-x_1|^2 - (a,x_0-x_1)^2}}{|a|}
	これが、ベクトル表記の直線と点の距離の公式

		# ベクトルの計算ができるようにしておくこと !!

	(2) [内積版] l : ( o, x ) = c の時
		P' は l 上の点なので
			( o, x_0' ) = c
		o は PP' と平行なので、
			o // x_0-x_0'
		より、
			x_0 - x_0' = s o	( となる s が存在する )
	これより、s を求めると
		s = \frac{(o,x)-c}{(o,o)}
	よって、
		|PP'| = \frac{|(o,x_0)-c|}{|o|}

	(3) [方程式版] l : a x + b y = c, P = (x_0,y_0) の時、

		|PP'| = \frac{|a x_0 + b y_0 - c|}{\sqrt{a^2+b^2}}
			# 上の内積版から、直に出る。

	# 直線と点の距離は、三つの版があるので、注意 !!

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# この他の平面のベクトルによる図形の表示

	円のベクトル表記
		円の中心の位置ベクトルを c, 半径を r, 演習上の点の位置ベクトルを x とすれば、
			|x-c| = r

	二点間の線分のベクトル表記
		OA と OB が線型独立 ( 三点 O, A, B が直線上にない ) 場合、

			x = t a + s b

		を考えると...

			s+t = 1 という条件をつけると、直線 AB 上
			s+t = 1, 0 <= t <= 1 とすると、線分 AB 上
			s+t <= 1, s >= 0, t>= 0 とすると三角形 OAB の内部及び辺の点

			0 <= t, s <= 1 とすれば、平行四辺形 OACB 内部ならび辺

			# このような形で、色々なものが、ベクトルで表記できる

		
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# 空間のベクトル表記

[空間内の直線]
	[定義] (空間の直線のベクトル表記)
	空間内部の異る点 P_1, P_2 を通る空間上の直線 l を考える。
	同様に、方向ベクトルを d とすれば、平面と全く同じように、

		l : v_1 + t a

	となる。

	# ベクトル表記では、平面と空間は同じ形でかけることに注意
	# 方程式にすると、当然 z 成分が増えているので、表現が異る

	## 空間内の直線に関しては、内積形式はない ( 考えれば作れるが面倒なのでやらない )

		      x_1
		v_1 ( y_1 )
		      z_1

		      x_2
		v_2 ( y_2 )
		      z_2

		      x_3
		v_3 ( y_3 )
		      z_3

	とすれば、

		(t=) \frac{x-x_1}{x_2-x_1}=\frac{y-y_1}{y_2-y_1}=\frac{z-z_1}{z_2-z_1}

	となる。

	[距離の公式]
	同様にして、
		x_0' = x_1 + t a	( となる t が存在する )
		(a,x_0-x_0') = 0

		# 始めの二つの式が同じなので、結果も同じ
		# これも平面と同様、空間でも、ベクトルでの操作は同じなので、

		|PP'| = \frac{\sqrt{|a|^2|x_0-x_1|^2 - (a,x_0-x_1)^2}}{|a|}

		# 平面版と同じ !!

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[空間内の平面]
	[定義] (平面のベクトル表記)
	空間内の同一直線上にない三つの点を P_1, P_2, P_3 とすると、この三つの点を含む平面は、一つしかない。これを S とする。
		P_1P_2 = a
		P_1P_3 = b
	とすれば、
		P が S に含まれる <=> P_1P = t a + s b ( t, s \in R )
				<=> x = x_1 + t a + s b ( t, s \in R )
					平面のベクトル表示

	[定義] (平面の内積表記)
		平面の方程式の一般形は、
			S : a x + b y + c z = d
		S で平行な平面で、原点を通る平面 S_0 は、
			S_0 : a x + b y + c z = 0

			      a		 x
			o = ( b ), v = ( y )
			      c		 z

		とすれば、
			S_0 : (o,x) = 0
			S : (o,x) = d	( 平面の内積表示 )

			S, S_0 と o は垂直

		となる。
			o : 法線ベクトル

	[定義] 平面の交角

		二つの平面 S, S' が垂直ならば、その法線ベクトル o, o' も垂直
		特に、平面の交角は、その法線ベクトルの作る角のことである。

	       # 直線間の交角は、普通に定義するが、これは方向ベクトルの交角でよい

	[公式] (内積表示版) 平面と点の距離の公式
		平面 S と点 P の距離を考える。
		S の法線ベクトルを o, P から S への垂線の足を P' とすると、

			求める距離 : |PP'|
			平面の内積表示 : S : (o,x) = d

		# 以下は、直線の内積の場合と同じなので、結果も同じ

			|PP'| = \frac{|(o,x_0)-d|}{|o|}

	[公式] (方程式版) 平面と点の距離の公式

		S : a x + b y + c z = d , P = (x_0,y_0,z_0) の時、

		|PP'| = \frac{|a x_0 + b y_0 + c z_0 - c|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}
			# 上の内積版から、直に出る。

	[定義] 平面と直線の成す角

		l と S が直交していないとする。すると、l の各点から、S への垂線の足を考えると、これは、直線になる ( これは証明が必要だが、あきらか.. ) ので、この直線を l' とする。
		この l' と l の交角が、l と S の交角
			# l と l' を含む平面を S' とする。

		ここで、
			a を S の法線ベクトル
			b を l の方向ベクトル
		とする。

		今、0 <= \thita <= \frac{\pi}{2} とすると


		      \frac{(a,b)}{|a||b|} = \cos{\frac{\pi}{2}-\thita}=\sin{\thita}
		or
					   = \cos{\frac{\pi}{2}+\thita}=-\sin{\thita}
		よって、

			\sin{\thita} = \frac{|(a,b)|}{|a||b|}

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# 応用

	[公式] 空間の球面の方程式
		|x-c| = r

	O, A, B, C が同一平面上にない、すなわち、
		OA = a
		OB = b
		OC = c
	が線型独立の時、

		x = r a + s b + t c ( r, s, t \in R )

	は、空間上の全ての点を表している。

		r + s + t = 1 ならば、ABC を含む平面
		r + s + t = 1 かつ r, s, t >= 0 ならば、三角形 ABC の内部ならび周
		r + s + t <= 1 かつ r, s, t >= 0 ならば、四面体 OABC の内部

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本日の内容は、一部、高校の話の復習
次回は、今後はこれに行列が関る