代数幾何 I 古津先生 (2006/06/14)

# 今回は、空間の線型変換
# 先週やった、平面の線型変換を、空間にしただけ
# だいたい、先週とおなじ話をもう一度する

==

# 線型変換の定義をもう一度する。

[定義] (空間の線型変換)
	T : V^3 の変換
	が、
		T(x+y) = T(x) + T(y)
		T(c x) = c T(x)
	を満す時、V^3 の「線型変換」と呼ぶ。

	[例]
		* 原点に関する対称移動
			x :-> -x
		* z 軸の周りに角αの回転
			# z 軸が手前にむいているとすれば、要するに平面の回転と同じ

[定理] T, S : 空間の線型変換
	=> S・T も空間の線型変換
	[証明] 前回の平面の場合とまったく同じ ( ∵ 前回、平面の性質を利用していない )

# 行列表現を考えると、成分の個数が、3 x 3 = 9 個になる

		a_11  a_12  a_13
	A = (	a_21  a_22  a_23  ) = ( a_ij )
		a_31  a_32  a_23

	# ( a_ij ) という形式は、成分を全部書くのは大変なので、一般形を a_ij として書いたもの ( これは 1 x 1 ではなく、状況に応じて、 n x m になる )

	これを 3 次行列と呼ぶ ( 前回の平面の場合は、2 次行列 )

		      x
		v = ( y )
		      z

			b_11  b_12  b_13
		B = (	b_21  b_22  b_23  ) = ( b_ij )
			b_31  b_32  b_23

	の時、
			a_11 x + a_12 y + a_13 z
		A v = ( a_21 x + a_22 y + a_23 z )
			a_31 x + a_32 y + a_33 z

		AB = ( c_ij )	# ( c_ij ) は 3 次行列

	で、
		c_ik = \sum_{j=1}^3 a_ij b_jk			
			( i = 1, 2, 3, k = 1, 2, 3 )

	と、それぞれ掛け算を定義する。

[定理]
	(AB)v = A(Bv)
	(AB)C = A(BC)

[定理]
	A(v+u) = A(v)+A(u)
	A(c v) = c A(v)

	[証明] # 一番面倒な、 (AB)C = A(BC) だけを示す。

		A = (a_ij), B = (b_ij), C = (c_ij)

	とし、
		AB = ( d_ij ), (AB)C = ( e_ij )
		BC = ( f_ij ), A(BC) = ( g_ij )
	とする。
	目的は、
		e_ij = g_ij
	である。

	仮定より、
		d_ik = \sum_{j=1}^3 a_ij b_jk
	また、
		e_il = \sum_{i=1}^3 d_ik c_kl
		     =\sum_{k=1}^3 (\sum_{j=1}^3 a_ij b_jk) c_kl
		     =\sum_{j=1}^3 ( \sum_{j=1}^3 a_ij b_jk c_kl )
	同様に、
		f_ik = \sum_{k=1}^3 b_jk c_kl
	また、
		g_il = \sum_{j=1}^3 a_ij f_jl
		     =\sum_{j=1}^3 a_ij ( \sum_{k=1}^3 b_jk c_kl )
		     =\sum_{j=1}^3 ( \sum_{j=1}^3 a_ij b_jk c_kl )
	となる。

	共に、3 x 3 = 9 個の和なので、順番を交換すれば、
		e_il = g_il
	となる。

	# 上記の証明は、次元に関らないので、以下、一般の場合も同様に証明可能

[定理] T_A : V^3 の変換 T_A (v) = A v は、線型変換
	∵ 平面と同様

[定理] T : V^3 の線型変換
	=> \exist A:三次行列 s.t. T = T_A
	[証明] # 「平面と同様」としてもよいが、復習のために、もう一度やる。

		e_1, e_2, e_3 を V^3 の単位行列とし、

			  a_11
		T e_1 = ( a_12 )
			  a_13

			  a_21
		T e_2 = ( a_22 )
			  a_23

			  a_31
		T e_3 = ( a_32 )
			  a_33

	とすれば、V^3 の任意のベクトル

		      x
		v = ( y )
		      z

	は、

		v = x e_1 + y e_2 + z e_3

	となるので、

		T(v) = T(x e_1 + y e_2 + z e_3)
		     = x T(e_1) + y T(e_2) + z T(e_3)

			 a_11 x + a_12 y + a_13 z
		     = ( a_21 x + a_22 y + a_23 z )
			 a_31 x + a_32 y + a_33 z

			 a_11  a_12  a_13      x
		     = ( a_21  a_22  a_23  ) ( y )
			 a_31  a_32  a_23      z

	ここで、

			a_11  a_12  a_13
		A = (	a_21  a_22  a_23  )
			a_31  a_32  a_23

	とすると、

		     = Ax
		     = T_A(x)

	よって、

		T = T_A

	# これは、平面の時と同じだが、同様に、具体的な A の求め方にもなっていること注意


==

空間の座標系は二つある

		y
		^
		|
		+---> x

に対し、z 軸が、手前にくる ( 右手系 ) か奥にゆく (左手系 ) かのどちらか。
以下では、右手系でのみ考える。

	[例] 原点に対する対称移動 T

				   -1
		T(e_1) = - e_1 = (  0 )
				    0

				    0
		T(e_2) = - e_2 = ( -1 )
				    0

				    0
		T(e_3) = - e_3 = (  0 )
				   -1

	よって、T = T_A となる A は、これを並べて、

		      -1  0  0
		A = (  0 -1  0 )
		       0  0 -1

	となる。

	[例] z 軸の周りに角α回転

				    \cos{α}
		T(e_1) = - e_1 = (  \sin{α} )
				     0

				   -\sin{α}
		T(e_2) = - e_2 = (  \cos{α} )
				     0

				    0
		T(e_3) = - e_3 = (  0 )
				    1

	よって、T = T_A となる A は、これを並べて、

		       \cos{α}  -\sin{α}  0
		A = (  \sin{α}   \cos{α}  0 )
			0         0        1

	となる。

==

	[定義] (ベクトル[直線]への射影)
		ベクトル a に対し、ベクトル v から、次の条件 v' を求める変換を考える
			v' = t a
			(a, v-v' ) = 0

	# これは、平面と同じ、なぜなら、二本のベクトルなので、結局、両方とも、ある平面にはいっていしまうから。
	# 一応、復習のために、もう一度やる。

	上を、下に代入して整理し、t を求めると、
		(x-ta,a) = 0
	より、
		t = \frac{(a,x)}{(a,a)}
	よって、
		x' = \frac{(a,x)}{(a,a)} a
	すなわち、
		T x = \frac{(a,x)}{(a,a)} a
	ちなみに、これは線型変換になっている
		# 普通に証明してもよい (上記参照) し、内積が線型性を持つことを利用してもよい

	[定義] (平面への射影)
		平面 P 上の独立な二つのベクトル a, b を考え、任意のベクトル v に対し
			v' = t a + s b
			v-v' は、a, b (が張る平面 P) に垂直 
		となる v' を考える時、

			S : v :-> v'

		を a, b (が張る平面 P) への射影子と呼ぶ。

		# これは、平面では考えられないので、空間側で新しい概念

		P に垂直なベクトルを a とすれば、
			x - x' = t a
			(a,x') = 0
		となるので、これから、
			S x = x - \frac{(a,x)}{(a,a)}a
		が得られる。

# 以下、Text の問

[問 1] イ)

	      -1  0  0
	A = (  0  1  0 )	
	       0  0 -1

	# 任意の行列 A に対して、T_A は線型変換にはなるが、A には色々ある
	# 具体的に A が与えられたときに、T_A がどのような図形的意味があるかを考える。
	## A には色々あるので、中には、図形的には、わけのわからない変換が沢山あるが..

	が、どのような図形の変換に対応するかを考える。
	まず、単位ベクトルがどこに移るかを考える。

		A e_1 = -e_1
		A e_2 =  e_2
		A e_3 = -e_3

	このことから、y は変らないので、y 軸が、「移動の軸」になっていることが解る。
	x, z の符号が変るので、「移動の軸」に対する、対称移動、あるいは、180 度の回転になる。
	すなわち、
		y 軸に関する線対称
	または、
		y 軸に関する 180 度の回転
	となる ( 答は、どちらでもよい )

[問 1] ロ)

	       1  0         0
	A = (  0  \cos{α} -\sin{α} )
	       0  \sin{α}  \cos{α} 

	同様に、e_1, e_2, e_3 の変換結果を考える

			  1
		A e_1 = ( 0 ) = e_1
			  0

			   0
		A e_2 = (  \cos{α} )
			   \sin{α}

			   0
		A e_3 = (  \sin{α} )
			   \cos{α}

	よって、x 軸は移動しないので、これが、軸。y, z に関しては、回
	転となっているので、結局、

		x 軸に関するαの回転

	となる。

	# [注意] 同様にして、y 軸での回転もついでにやってみると

	       \cos{α}  0      \sin{α}
	A = (  0         1      0        )
	       -\sin{α}        \cos{α} 


	# これで、x,y,z 軸に関する回転の変換をすべて紹介するので、「覚えておく」こと

[問 1] ハ)

	       0  1  0
	C = (  0  0  1 )	
	       1  0  0

		C e_1 = e_3
		C e_2 = e_1
		C e_3 = e_2

	よって、x, y, z の内動かない軸はない。
	しかし、良くみると、

		    1	    1
		C ( 1 ) = ( 1 )
		    1       1

			        1
	となっている、即ち、この ( 1 ) が移動の軸
				1

	更に、このベクトルと平行で、原点を通る l ( x = y = z ) を考えると、l 上の点が移動しないので l が軸となる。

	更に、e_1, e_2 e_3 の挙動をみると、C によって、3 度うごかすと、同じ所に戻る。
	すなわち、C は l の周りに、時計回りに 1/3 回転、すなわち、反時計周りに -120 度すなわち、240 度の回転となる。

[問 2]
	      a
	v = ( b )	( ただし、|v|^2 = a^2 + b^2 + c^2 = 1 )
	      c

	の時、v への射影子に対応する行列を求める

			   a^2
		T e_1 = ( ab  )
			  ac

			  ab
		T e_2 = (  b^2 )
			  bc

			  ac
		T e_3 = ( bc  )
			   c^2

	なので、

		       a^2  ab    ac
		A = ( ab     b^2  bc   )
		      ac    bc     c^2

	となる。

[問 3] a,  b, c は互いに直交で、0 でないベクトル

	T は a への射影子
	S は、b, c がはる平面 ( a に垂直 ) への射影子

すなわち、

	Tx = \frac{(a,x)}{(a,a)}a
	Sx =  x - \frac{(a,x)}{(a,a)}a = x - Tx

の時、

	イ) T^2 = T, S^2 = S であることを示す。

	[証明] ( T^2 = T ) # これは前回と同じ

		T^2 x = T ( T x )
		      = T ( \frac{(a,x)}{(a,a)}a )
		      = \frac{(a,x)}{(a,a)}\frac{(a,a}{(a,a)}a
		      = \frac{(a,x)}{(a,a)}a
		      = T x

		( S^2 = S )
		S^2 x = S ( S x )
		      = S x - TS ( x )
		      = ( x - T x ) - T ( x - T x )
		      = x - T x - Tx + T^2 x
		      = x - T x - Tx + T x
		      = x - T x
		      = S x

	ロ) (TS = SX = O)
		TS(x) = T(x-Tx)
		      = Tx -T^2x
		      = Tx -Tx
		      = 0
		ST(x) = Tx-T(Tx)
		      = Tx -Tx
		      = 0
	ハ)
		Sx = x - Tx より x = Sx + Ts

		# ここで、b と c が直交していることはつかっていない
		# つかっているのは、a と b, a と c だけなので、b と c は独立だけでよい

	# 線型変換に対応する行列の求めかた
	#	e_1, e_2, e_3 の変換先を調べるだけ

==

次回は、行列式の話