代数幾何 I 古津先生 (2006/06/21)

# 今日の話題は、2 次の行列式
# 来週 3 次の行列式をするが、より一般に n 次の行列式は、後期の後半で行う

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[定義]
	2 次の行列 A = ( a b ) に対して ad-bc を A の「行列式」と呼び、
        	        c d

		| a b |, |A|, det A
		  c d

	で表す ( 行列式は、英語で detaminant )
	とくに、二つのベクトル

		x = ( a ), y = ( b )
		      c          d

	とするときに、

		det(x,y)

	も行列式

# 以下、行列式の様々な性質

[定理]
	x, y が線型独立ならば、det(x,y) \ne 9
		# 対偶を証明する

	[証明]
		x = ( a ), y = ( b )
                      c          d
	とする。
		x, y が従属 <-> \exist k s.t. x = k y
			   <-> a = kb, c = kd
			    -> ad-bc = (kb)d - b(kd) = 0
			   <-> det(x,y) = 0
	よって、
		x, y が従属 -> det(x,y) = 0
	逆に、
		det(x,y) = 0 <-> ad-bc=0
			     <-> a:c = b:d (成分の比が等しい)
			     <-> x // y ( x, y は平行 )
			     <-> x, y は従属
	以上により、対偶が示せたので、元の命題も正しい

[定理]
	det(x,y) = - det(y,x)

	[証明]
		左辺 = det(x,y)
		     = ad-bc
		     = - ( bc-ad )
		     = - det(y,x)

[定理]
	det(x+x',y) = det(x,y)+det(x',y)
		# (前の)足し算は分けることができる
		# 後ろも当然同様にして示せる
	[証明]
		# それぞれ成分を指定して、計算してみればよい

[定理]
	det(k x,y) = k det(x,y)
		# (前の)掛け算は、外に出せる
		# 後ろも当然同様にして示せる
	[証明]
		# それぞれ成分を指定して、計算してみればよい

	# これは、「線型性」

	# 後の部分は、前後をひっくりかえして、外にだし、また引っくりかえせばよい

[定理]
	|AB| = |A||B|
		# 行列の積も分けられる !!
		# この性質は、他にない重要な性質なので、是非覚える !!
	[証明]
		# それぞれ成分を指定して、計算してみればよい

	# この式を利用して、文字列の式に関する公式(因数分解)を導くことができる。

[注意!!]
	|A+B| は必ずしも |A| + |B| とはならない !!
		# 行列の積はわけられる
		# 前のベクトルの和はわけられる
		# だけど、行列の和はわけられない !!

[定理]
	ベクトル x, y の作る平行四辺形の面積 S は
		S = |ad-bc|
	だった、よって、今回の行列式を利用すると、
		S = | det(x,y) |
	となる。

	# det(x,y) は正にも負もなる。符号はどのように決るか ?

	[例]
		det(e_1,e_2) = 1 > 0
		det(e_1,-e_2) = -1 < 0
		det(e_1,-e_1) = 0
	この結果から、
		x から y へと計った角度が、0 〜 \pi なら正、\pi 〜 2\pi は負
	となることが予想され、実際にそうなる。

		# 厳密には、中間値の定理をつかって示す必要があるが、ここではやらない
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[定理]
	u = (x_1), v = (x_2), X = ( u, v ) = ( x_1 x_2 ) とする
	     y_1        y_2                    y_1 y_2


この時、
	AX = A(u,v) = (Au, Av) # 注意。これは内積と同じ記号だが、今回は内積でない

	[証明]
		# 成分を比較する

[例] これから、

		|AX| = det(Au,Av)
		 ||
		|A||X| = |A| det(u,v)
よって、

		|A| = \frac{det(Au,Av)}{det(u,v)}

これを図形的に解釈すると、


	元の u,v がつくる面積を S とすると、u,v が T_A に変換された先の図形の面積が | det A | 倍になる

		det A は、線型変換 T_A によって、面積が何倍になるかを表している


# 後期で、いっぱんの連立方程式と行列式の関係を学ぶが..

[例] (後期で学ぶクラーメルの公式の一番単純な形)
	連立一次方程式
		a x + b y = d
		c x + d y = f
	は ad-bc \ne 0 の時、唯一の解をもち、

		x = \frac{ | e b | }{ | a b | }
			   | f d |    | c d |

		y = \frac{ | a e | }{ | a b | }
			   | c f |    | c d |

	[証明]
		実際に計算してもとめる

	# 実際の計算は、これでやらない方がよいが、抽象的な計算の場合はこっちがよい

	特に、
		u = ( a ), v = ( b ), w = ( e )
		      c          d          f
	とすれば、u, v は独立の時
		x u + y v = w
	と一意に表現できることをいみしている。

	また、
		A = ( a b ), q = ( x ) 
		      c d          y

	とすれば、

		Aq = w

	を表している。

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外積 ( ベクトル積 )
	# <=> 内積 (スカラー積)
	# 外積は、空間ベクトル(三次元ベクトル)のみ定義される

	[定義] 外積 ( ベクトル積 )
		u, v \in V^3 で、u, v が独立 ( 独立でない場合は定義が異る ) の時
			\exist 1 w \in V^3
		s.t.
			1) u 垂直 w, v 垂直 w
e				# これで方向は決るが向きが決らない(二択)
			2) u, v, w は、右手系
				# これで向きも決る
				# 後は、長さが定義されればよい
			3) |w| = ( u, v の張る平行四辺形の面積 )
	この w を u, v の外積とよび u × v で表す

		u, v が線型従属ならば、w は 0 で定義する

	[定理]
		u × v = - ( v × u )

		[証明]
			u × v = w
		とすれば、定義より、
			u, v, w は右手系
		これから、
			v, u, w は左手系
		よって、
			v, u, -w は右手系
		また、
			-w は、u, v と直交し
			|-w|=|w|=u,v の作る平行四辺形の面積
		となるので、
			-w は v, u の外積となる

	[定理]
		k(u × v) = ku × v = u × kv
		[証明]
			# k が正の時には当りまえなので、負の場合を考える

			w = u × v とすれば、
				u, v, w は右手系
				ka, v, w は左手系 ( k<0 なので..)
				ka, v, kw は右手系
			あとは、直交性と、長さをそれぞれ調べれば良い

			# kw が、ku と v 外積の三つの条件を満す。

		# 正の場合は、ずっと右手系なので簡単

		# 左の部分も同様

# 外積と成分の関係を考える

	      a          a'
	u = ( b ), v = ( b' )
	      c          c'

の時、

		   | b b' |
		   | c c' |       b c' - c b'

	u × v = ( | c c' | ) = ( c a' - a c' )
		   | a a' |

		   | a a' |       a b' - b a'
		   | b b' |


となる。
	[証明] # この結果が外積の三つの条件をみたすかどうかを調べればよい
		1) 直交しているかどうかは、内積を計算して 0 になることを示す
		3) |w|^2 を計算してみればよい。
			|w|^2 = |u|^2|v|^2 - (u,v)^2
			      = |u|^2|v|^2 - (|u|^2|v|\cos)^2
			      = |u|^2|v|^2 (1-\cos^2)
			      = |u|^2|v|^2 \sin^2
			      = |S|^2
		2) 右手系かどうか ( 真面目にやると大変なので例で確認する )
			e_1 × e_2 = e_3 
				よって、右手系
		# 右手系から左手系に移すには、途中０になる必要がある (中間値の定理) が、その場合は、独立が崩れる。したがって、独立を保ったまま、右手系から左手系に移ることはできない。


[定理]
	u × ( v_1 + v_2 ) = u × v_1 + u × v_2
		# 前も分配できる

	[証明]
		# 成分を比較
		# 途中で、行列式の分配を利用する



[定理]
	空間上の三つのベクトル u, v, w を考えると
		u, v, w が作る平行六面体を考えることができる
	この平行六面体の体積 V を考えると

		V = | (u × v, w) |

		u × v と w のなす角度をθとする

		V は底面積 × 高さで求められるので
			V = | u × v | (|w| |\cosθ|)
			  = | (u × v, w) |
		となる。

	三つのベクトルが作る四面体の体積は、V の 1/6 となる !!

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残り ( 三次の行列式 ) は、次回やる

後で、一般の n 次の計算をやる。
	n 次の計算には、2, 3 次を使うので、計算できるようにしておくこと !!

# 今年は、rank までゆかない