代数幾何 I 古津先生 (2006/06/28)

# 前回まで

	|a b| = ad-bc
	 c d

	外積 u,v \in V^3. w = u × v \in V^3

# 外積と内積の違い : 外積は、ベクトルになるが、内積はスカラーになる

	外積の性質
		1) u ↓ w, v ↓ w
		2) u, v, w は右手系
			# この 1), 2) で、方向と向きが決る
		3) |w| = u, v の脹る平行四辺形の面積
			# 平行六面体の体積

==

3 次元の行列の行列式

	      a_11 a_12 a_13
	A = ( a_21 a_22 a_23 ) = ( v_1, v_2, v_3 )
	      a_31 a_32 a_33
	      ^^^^ ^^^^ ^^^^
	      v_1  v_2  v_3

の時に、
	( v_1 × v_2, v_3 )
を
	A の行列式
と呼び、
	
	      | a_11 a_12 a_13 |
	      | a_21 a_22 a_23 |, |A|, det A, det(v_1,v_2,v_3)
	      | a_31 a_32 a_33 |
で表す。

	# 成分で表示することもできるが、それは後で行う。

[定理]
	det(v_1,v_2,v_3) は v_1,v_2,v_3 の脹る平行六面体の体積 × \pm 1 (符号)

	# 符号はどうなるか ? 単位ベクトルで考える

		( e_1 × e_2, e_3 ) = 1

	# 独立性、すなわち、途中で、行列式が 0 にならないように「連続的」に移動すれば、右手系は右手系に移動し、その場合の符号は変わらない。

		符号は、右手系なら +1, 左手系なら -1 になる

[定理]
	v_1,v_2,v_3 の内二つの順序を交換すると、
		det(v_1,v_2,v_3)
	は、符号が変り、大きさは変らない
		# ∵ 交換しても、作る平行六面体は同じなので、体積は変らない
		# 交換した場合は、右手系が左手系に変るので符号が変る

	[例]	det(v_2,v_1,v_3) = - det(v_1,v_2,v_3)


[定理]
	det( v_1+v_1', v_2, v_3 ) = det( v_1, v_2, v_3 ) + det( v_1', v_2, v_3 )
	[証明]
		det( v_1+v_1', v_2, v_3 )
		= ( (v_1+v_1')× v_2, v_3 )		# 行列式の定義
		= ( v_1 × v_2 + v_1' × v_2, v_3 )	# 外積は分けられる
		= (v_1×v_2, v_3) + (v_1'×v_2, v_3)	# 内積は分けられる
		= det( v_1, v_2, v_3 ) + det( v_1', v_2, v_3 )

[定理]
	det( c v_1, v_2, v_3 ) = c det( v_1, v_2, v_3 )
	[証明]
		det( c v_1, v_2, v_3 )
		= ( (c v_1)× v_2, v_3 )		# 行列式の定義
		= ( c (v_1 × v_2), v_3 )		# 外積は外に出せる
		= c (v_1×v_2, v_3)			# 内積は外に出せる
		= c det( v_1, v_2, v_3 )

	# この話の詳しい話題は後期に学ぶ

# 行列式の成分表示を考える

	det( v_1, v_2, v_3 )


		  | a_21 a_22 |
		  | a_31 a_32 |      a_13

	 =   ( (  | a_31 a_32 | ), ( a_23 ) )
		  | a_11 a_12 |
	
		  | a_11 a_12 |      a_33
		  | a_21 a_22 |

	= a_11 a_22 a_33 + a_12 a_23 a_31 + a_13 a_21 a_32
	- a_11 a_23 a_32 + a_12 a_21 a_33 + a_13 a_22 a_31

	# 項目は六つあることに注意 ( 2 次の時は、 2 つだった )
	# 右下がりの場合は + の符号を、左下がりの場合は - の符号を付ける

	# !! 行列式の計算ができること !! => 前期試験に出す

	[例]
		| 1 2 3 |
		| 2 3 4 | = -4
		| 3 4 9 |

	# 後期は、もっと多次元の行列式をやるが、多次元は次元を下げて、
	# 2, 3 の行列式にしてから、解くので、これができないと話になら
	# ない

[定理] |AB| = |A| |B|
	# 証明は計算が大変なので、証明の方針だけのべる
	## 方針は、両側を成分表示し、計算した結果を比較するだけ
	## 書くのは大変なので省略
	# 教科書に「多少複雑な計算」とあるが、その場合は、「とっても計算が大変」ということ

	# 将来は、n 次元でやることになるが、それを成分でやると大変なの
        # で、成分を使わない方法で、証明する。

	# [Q] 行列式って何 ?
	# [A] 定義は、外積と内積で定義される。意味を考えると、体積に符号をつけたもの
	#     数学の色々な所で、行列式がでてくるので、ここでしっかり覚えておくこと
	#	cf. 重積分の変数変換

	# 行列の掛け算もできること !!

==

	# 行列 A に対応する平面間の線型変換 T_A は、面積を |det T_A| 倍
        # した、空間の場合はどうか ?

	      x_11 x_12 x_13
	X = ( x_21 x_22 x_23 ) = ( u_1, u_2, u_3 )
	      x_31 x_32 x_33

とすると、

	AX = A( u_1, u_2, u_3 ) = ( A u_1, A u_2, A u_3 )

なので、
	|AX| = det( A u_1, A u_2, A u_3 )
	 ||
	|A||X| = |A| det( u_1, u_2, u_3 )
 すなわち、
	|A| = \frac{det( A u_1, A u_2, A u_3 )}{det( u_1, u_2, u_3 )}
		# 行列 A に対応する空間間の線型変換 T_A は、体積を |det T_A| 倍する

	[例] 平面上の直線の関係は、三つ ( 同じ, 交わる, 平行 ) あるが、空間上では更に、「捩れの位置」が加わる。

		[定義] 二つの直線 l_1, l_2 が同一平面にないとき、l_1 と l_2 は捩れの位置にあるという。

		l_1, l_2 が捩れの位置にあるとし、次のような形であるとする

			l_1 : x = x_1 + t a
			l_2 : x = x_2 + t b

			# これから l_1, l_2 間の距離や、それらに共に垂直な直線を求める

		l_1, l_2 が捩れの位置にあれば、a, b は独立
			# a, b が独立でないということは、平行だということなので l_1, l_2 も平行になっていしまう。
		よって、
			|a|^2|b|^2 - (a,b)^2 \ne 0

		l_1 上の点を P, l_2 上の点を Q とした時、その位置ベクトルは、
			p = x_1 + t a	 
			q = x_2 + s b
		と表現できる。

		P,Q を結ぶ直線 l が、l_1, l_2 と直交である条件は、
			l ↓ l_1, l ↓ l_2
		より、
			(p-q,a)=0
			(p-q,b)=0
		ここで、
			p-q = x_2 - x_1 - ta + sb
		なので、これを代入すると
			(x_2 - x_1,a)= t(a,a)-s(a,b)
			(x_2 - x_1,b)= t(a,b)-s(b,b)
		これは、t, s に関する連立方程式
		これが唯一の解を持つには、傾きが等しくないことを示せばよいが、これは
			(a,a)(b,b)-(a,b)(a,b)
		が 0 にならないことだが、これは、上記ですでに確認してあるので、0 でない
		よって、上の連立方程式は唯一の解をもつので、その結果を
			t_0, s_0
		をとすれば、
			p_0 = x_1 + t_0 a
			q_0 = x_2 + s_0 b
		となる。この位置ベクトルが表す点をそれぞれ P_0, Q_0 とすれば
			|P_0Q_0| が l_1, l_2 の距離

		# 実は、この p_0, q_0 が、l_1, l_2 上の点で、互いに最短距離にある点
		#	=> よって、|P_0Q_0| が l_1, l_2 の距離
		#	[証明] (背理法)
		#		上記と異る点 P_1Q_1 が最短と仮定する。
		#		すると、P_1 と Q_1 のどちらかは垂線の足になっていない ( なっていたとすると P_0, Q_0 に一致してしまう。これはこの条件を満す唯一の解だったので..)
		#		垂線でない方の点(P_1) とすると、Q_1 から l_1 へ下した点を P_1' とすれば、三角形 P_1Q_1P_1' は直角三角形で、P_1Q_1 は斜辺すなわち、|P_1'Q_1| < |P_1Q_1| となる、これは、矛盾

		# 次に直線を求める

			c = P_0Q_0= (x_2+s_0b)-(x_1+t_0a)
		とすると
			x_2 - x_1 = c + t_0a - s_0b

		c ↓ a, c ↓ b より ( c, は a, b の外積と同じ方向 )

			( c, x_2 - x_1 ) = ( c, c + t_0a - s_0b )
					 = (c,c) + t_0(c,a) - s0(c,b)
					 = (c,c)

		一方、
			c = k a × b
		より
			|c| = \frac{|(c,c)|}{|c|}
			    = \frac{|(c,x_2-x_1)|}{|k||a×b|}
			    = \frac{|(k(a × b),x_2-x_1)|}{|k||a×b|}
			    = \frac{|det(a,b,x_2-x_1)|}{|a×b|}
		となる。

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	# 別のクラスで、以下の計算の略証をしたので、それもやっておく

	a,b,c \in V^3 の時

	| (a,a) (a,b) (a,c) |
	| (b,a) (b,b) (b,c) | = det(a,b,c)^2
	| (c,a) (c,b) (c,c) |

	[証明] 成分表示して、あとは両辺を計算した結果を比較する

	# 別の方針
	#	A=(a,b,c) とすれば、与式は、|{}^tAA| = |{}^tA||A| で表現できる
	#	ところが、|{}^tA|=|A|=det(a,b,c) なので、与式は det(a,b,c)^2
	# この方法ならば、簡単だが思い付くのは大変なので、まずは、「展開」で、できるようにしておく

	# 兎に角、行列の計算ができるようにする。

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ここまでで、一章の内容はおわり。来週からは、もっと一般の行列 ( 次元が 2, 3 より大きな n でやる )