代数幾何 I 古津先生 (2006/09/27)

# 前期の復習の話から

後期の話は、全部行列の話

本日の内容 : 前期、行列の話で残った部分から。
来週からは、基本変形の話 ( 共は、その前まで )

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正方行列の話をしていた ( 正方行列は、行と列のサイズが同じ行列 )

	A=(a_i.j)  : (n,n) 型

		a11 .. a1n
	= ( 	 		)
		an1 .. ann

更に、区分けの話をしていたのだが、その中で、対称区分けを考える
	対称区分け : 区分けの中で、縦の区分けも横の区分けも共に、同じ分割をする
		=> 結果的に、小行列は、全て正方行列になる。

	# 正方行列の場合は、この対称行列をよく利用する
	#	行列式 / 逆行列

定理(縦、横はそれぞ二つに分けた場合)

	A = ( A11 | A12 )	を A の対称区分けとする
	      O   | A22

	

		# 左下の小行がたまたま O (ゼロ行列) になった
		#	要素に 0 が多い場合は、問題が簡単になる

この時、

	A11, A22 : 正則 => A も正則になり

		A^{-1} = ( A11^{-1} | -A11^{-1}A12A22^{-1} )
			     O      |          A22^{-2}

	となる。

	proof) A と、上記の式をかけてみれれば E (単位行列) になる ( 実際に計算する ) ことを確認すればよい。

	       # 実は、逆もいえるが、現段階の知識では難しいので後回し

定理

	A = ( A1 | O  | .. | O )
 	      O  | A2 | .. | O
		....
 	      O  | O  | .. | Ap

	が対称区分けの時

		A1 .. Ap が正則 => A も正則

	で、

	A^{-1} = ( A1^{-1} |    O    | .. | O       )
 	           O       | A2^{-1} | .. | O
		     ....
 	           O       |    O    | .. | Ap^{-1}

	# 0 が沢山あると、逆行列は簡単にもとめることができる

	proof)
		(=>) 掛けて、単位行列になる

		(<=) 前の定理の <= が証明できていれば、それを繰り返し使うだけ
			# A12 が O の場合を考えればよい。

定義 ( 対角成分 )

	A = ( a_ij ) の時、 a_ii ( i = 1,..,n ) を対角成分と呼ぶ

定義 ( 対角行列 )

	対角成分以外が全て 0 の時、対角行列と呼ぶ

	# A を縦横に n 個の区分けを行う ( 小さい行列は、成分が一つの行列になる) と対称区分けになっているので、上記の定理が適用できることに注意

定理
	A = ( a_ij ), B = ( b_ij ) が共に、対角行列ならば、

		AB = BA

	proof)
		AB = ( a_ij b_ij ) という、対角行列になる。
		個々の成分は、複素数のかけ算なので、交換可能
		よって、
			 = (b_ij a_ij ) = BA

定理
	対角行列 A : 正則 <=> a_ii \ne 0 ( \forall i )

	proof)
		(<=) 先程の性質から
		(=>) 一個でも 0 があると、正則にならないから


	# 更に特別な場合

定義 (スカラー行列)

	cE の形をした行列をスカラー行列と呼ぶ。


定理
	(cE)X = cX
	X(cE) = cX

	よって、スカラー行列は、全ての行列と交換可能

	# 実は、この逆も言える

定理
	AX = XA ( \forall X )
		=> \exist c \in C s.t. A = cE

	proof)
		A = ( a_ij ) とする
		どんな行列とも交換可能なので、次のような特別な行列 E_pq を考える

			E_pq : (p,q) 成分は、1 だが、それ以外は 0

		すると、A E_pq = E_pq A である。

		これを詳しくみると

			A E_pq = ( 0  .. a1p 0 .. 0 )
				   0  .. a2p 0 .. 0
					...
				   0  .. anp 0 .. 0

				         q 列

		となる。

		一方、

			E_pq A = ( 0    0   .. 0 )
				   0    0   .. 0
				   aq1 aq2 .. aqn    p 行
				   0    0   .. 0


		この二つが等しいので、成分を比較すると、

			api = 0   ( i \ne p の時 )
			    = ajp ( i = p )

			ajq = 0   ( j \ne q の時 )
			    = ajp ( j = q の時 )

		ということで、対角成分以外は、全て 0 になることが判る。
		また、app = aqq となるので、任意の p, q について考えると、

			対角成分は全て等しい
			対角成分以外は全て 0

		よって、対角成分を c とすれば、

			A = cE

		すなわち、スカラー行列である。

		# 全ての行列だけでなく、全ての Epq と交換可能なだけで、スカラーになる


# 以下は、前期でやったが、よく利用するので、もう一度説明する

定義 (固有和 : トレース)
	A : n 次正方行列で、 A = (a_ij) の時、
		A の対角成分の和を A の対角和(トレース)と呼び、Tr A で表わす

		Tr A = \sum_{i=1}^n a_ii

定理
	Tr (cA) = c Tr(A)
	Tr (A+B) = Tr(A) + Tr(B)
	Tr (AB) = Tr(BA)
	# 注意 Tr(AB) は必ずしも Tr(A)Tr(B) と等しくならない。


	# 最後の式の証明は、前期に、具体的な 3 次元の行列で示したが、今回は一般的に示す

	proof)
		A = ( a_ij ) : ( m,n ) 型
		B = ( b_ij ) : ( n,m ) 型
	とし、
		AB = C = ( c_ij ) : (m,m) 型
	とすれば、
			c_ii = \sum_{j=1}^m a_ij b_ji
	となる。
	この時、
		Tr (AB) = \sum_{i=1}^m c_ii
			= \sum_{i=1}^m ( \sum_{j=1}^m a_ij b_ji )
	一方、

		BA = D = ( d_ij ) : (n,n) 型
	とすれば、
			d_ii = \sum_{i=1}^m b_ji a_ij
	となる。
	この時、
		Tr (BA) = \sum_{j=1}^n _ii
			= \sum_{j=1}^n ( \sum_{i=1}^m b_ji a_ij )
	ここで、
		a_ij, b_ij は複素数なので、交換可能
		また、和が有限和なので順番も交換してよい
			# 和の項目が無限の場合は、交換してよいとは限らないことに注意 !!
	よって、
		Tr(AB)=Tr(BA)

[定義] (冪乗)

	A : 正方行列の時、

		AA = A^2
		AAA = A^3

		A .. A = A^k
		 k 個

	とする。


[定理]
	A^k A^l = A^{k+l}
	(A^k)^l = A^{kl}

[定理]
	AB = BA の時
	(AB)^k = A^k B^k
		# 証明は帰納法で行う

	# l が自然数の時はよいが、l が負の整数ならどうするか ?
	#	=> この場合は、正則の場合だけ考える。


[定理]
	A : 正則の時
		A^0 = E
		A^{-k} = (A^{-1})^k
	とする。

	# この様に定義すれば、上記の定理も、整数の場合で成立する

==

# 以前、線型変換と行列の関係をのべたが、こんどは、線型写像と行列の関係を学ぶ

§ 行列と線型写像

[定義]
		C^n = { n 項列ベクトル }
		T : C^n --> C^m : 写像	# 以前は n = m なので、変換だった..
	が、次の性質 ( 線型性 : 何ども出て来たあれ )

		T(x+y) = T(x) + T(y)
		T( c x ) = c T(x)

	をみたすとき、
		T は C^n から C^m の線型写像と呼ぶ


[定理]
		A : (m,n) 型

	T_A : C^n --> C^m を

		T_A(x) = Ax

	で定義すれば、T_A は、線型写像

	proof) 略

[定理]
	\forall T : C^n --> C^m : 線型写像
	\exist! A : ( m,n ) 行列
		s.t. T = T_A

	proof)
		# 実際に A をもとめてしまおう。

		e_1 ,..,e_n : n 項単位ベクトル

	とし、

		T(e_j) = a_j	( \forall j )

	として、

		A = ( a_1, .., a_m )

	とすれば、この A は、(m,n) 行列になる。

	ここで、

		T_A(e_j) = Ae_j = a_j = T(e_j)

	であることに注意し、T = T_A を示すために、C^n の要素の全ての要素 x に対し
		T(x) = T_A(x)
	を示せればよい。

	実際、
		\forall x = ( x_1 ) ( \in C^n )
			      x_2
			      ..
			      x_n

	に対し、

		x = \sum_{j=1}^n x_j e_j

	となるので、

		T_A(x)	= T_A(\sum_{j=1}^n x_j e_j)
			= \sum_{j=1}^n T_A( x_j e_j)
			= \sum_{j=1}^n x_j T_A(e_j)
			= \sum_{j=1}^n x_j T(e_j)
			= \sum_{j=1}^n T( x_j e_j)
			= T(\sum_{j=1}^n x_j e_j)
			= T(x)

	すなわち、
		T_A = T
	また、A の一意性は、A の作り方から明か。

[定理]

	     T=T_A      S=T_B   
	C^n ------> C^m -----> C^l
         \                    /
          *------------------*
                S・T

	の時
		S・T = T_(BA)

	proof)
		S・T(x) = S(T_A(x))
			= T_B(T_A(x))
			= B(Ax)
			= (BA)x
			= T_(BA)(x)

[定理]
	A : n 次正則

		     T_A
		C^n -----> C^n
                   \     /
                    *---*
		     T_{A^{-1}}

	
	proof)
		T_A ・ T_{A^{-1}} = T_{AA^{-1}} = T_E = I

		よって、	T_{A^{-1}} は T＿A の逆変換


==

	R^n = { n 項実列ベクトル }

		R^2 = V^2
		R^3 = V^3

==

来週 : 創立記念日で休み / 再来週 : 基本変形