代数幾何 I 古津先生 (2006/10/25)

一次方程式系

	    Ax   = c     (1')
	( \~A\~x = 0     (1'') 

で、
	c = 0 の時、斉次方程式
	    Ax   = 0     (4)

を考える。

[定理 5.7] m - n の時、(4) が自明でない解を持つ
	<-> A が正則でない

	[proof] 自明でない解を持つ
			<-> 自由度 n - rank A >= 1
			<-> rank A <= n - 1
			<-> A が正則でない


[定理 5.8] A : n 次正方行列
	A : 正則 <-> 「x\ne0 -> Ax \ne 0」

	[proof] Ax = 0 は自明でない解を持たない
			<-> A は正則 ( 定理 5.7 )

[定義]
	A x = c (1')
にに対し
	A x = 0 (4)
を、
	(1') に対応する斉次方程式
と呼ぶ。

[定理 5.9] (1') の解 x_0 を固定すると、(1') の任意の解法
	x_0 + (4) の解
の形である。

	[proof]
		# 証明する内容は、
		#	上記の形が、解になること
		# と
		#	解が上記の形になること
		# の二つあることに注意

		y を (4) の解とすると
			A(x_0+y) = Ax_0 + A(y) = c + 0 = c
		よって、x_0+y は (1') の解
			# よって、上記の形は解になった

		x を (1') の解とし、
			x - x_0 = y
		とする。
		すると、
			A(y) = A(x-x_0) = Ax - Ax_0 = c - c = 0
		よって、
			y は (4) の解
		x = x_0 + y
			# よって、解は、上記の形になった

	# 自由度の計算は n - rank A なので、定数項は無関係
	# ただ、定数項目次第では、解なし(不能)になる可能性はある。
	## 解があれば、自由度は、定数項に無関係に等しい

==

[内積]
	x, y \in C^n の時の内積を考える
		# 内積の定義方法は二つある
		#	角度を使う => これは n 次元では難しい
		#	成分を使う => こっちで拡張することにする

	# \bar{\vec{x}} と\vec{\bar{x}} は区別するのは面倒なので同じ意味だと思う


	x, y の内積 (x,y) を次のように定義する ( 複素成分であることに注意 )

		      x_1
		x = ( ... )
		      x_n

		      x_1
		y = ( ... )
		      y_n

	の時、

							    \bar{y_1}
		(x,y) = {}^t x \bar{y} = ( x_1, .., x_n ) (     ..    )

							    \bar{y_n}

		= x_1\bar{y_1} + x_2\bar{y_2} +..+ x_n\bar{y_n}

		= \sum_{i=1}^n x_i\bar{y_i}

		= (x,y) = x・y

	# \bar を忘れると、ベクトルの長さが負になったりする
	## 「長さ」が負になるのは、可笑しいので、変であることに気が附かねればならない !!

		V^2, V^3 の場合の定義も同じ


[定理 6.1]
	(x+x',y) = (x,y)+(x',y)
	(x,y+y') = (x,y)+(x,y')
	(cx,y) = c(x,y)
	(x,cy) = \bar{c}(x,y)		# \bar が出ることに注意
	(x,y) = \bar{(y,x)}		# \bar が出ることに注意
					# この二つは間違え易い

	# 内積で、y 側は \bar が付くので、忘れないようにする

	(x,x) >= 0
	(x,x) = 0 <-> x = 0
	[proof]
		(x,x) = \sum_{i=1}^n x_i\bar{x_i}
		      = \sum_{i=1}^n |x_i|^2 >= 0

[定義]
	||x|| = |x| = \sqrt{(x,x)}
		    = \sqrt{ |x_1|^2 + |x_2|^2 + .. + |x_n|^2 }

	を x の 長さ/ノルム と呼ぶ
		# || || の時、ノルム、 | | の時に長さと呼ぶことが多い

[定理 6.2] ( 有名かつ、よく利用する不等式 )
	イ) |(x,y)| <= |x| |y| ( シュバルツの不等式 )
	ロ) |(x,y)| <= |x| |y| ( 三角不等式 )

	[proof] (イ)
		まず、y が 0 の場合を考える
			この場合は、両辺が 0 なので、等号が成立する
		次に y \ne 0 の場合を考えると
			\forall a, b \in C
		に対して
			0 <= |ax+by|^2 = (ax+by, ax+by)
			   = |a|^2|x|^2 + a\bar{b}(x,y)+\bar{a}b(y,x) + |b|^2|x|^2
		ここで、a = |y|^2, b = -(x,y) を代入すると、
			# 上記の不等式は、どんな a,b に関しても成立するので
			# 上記の特別な a, b でも不等式が成立する

			0 <= |y|^4|x|^2 - |y|^2\bar{(x,y)}(x,y) - (x,y)|y|^2\bar{(x,y)} + |(x,y)|^2|y|^2
			   = |y|^4|x|^2 - |y|^2|(x,y)|^2
		両辺を |y|^2 ( > 0 ) で割れば
			0 <= |x|^2|y|^2 - |(x,y)|^2
		移項して、
			|(x,y)|^2 <= |x|^2|y|^2
		両辺とも正なので平方根をとっても不等号はかわらないので、
			|(x,y)| <= |x||y|

		(ロ)
			|x+y|^2 = |x|^2 + (x,y) + \bar{(x,y)} + |y|^2
				<= |x|^2 + 2|(x,y)| + |y|^2
					# この複素数の性質は後で示す
				<= |x|^2 + 2|x||y| + |y|^2
				   	 # (イ)より
				<= (|x|+|y|)^2
		両辺とも正なので平方根をとっても不等号はかわらないので、
			|x+y| <= |x| + |y|

		# ここで、さっき利用した複素数の性質を示す
			z + \bar{z} <= 2 |z|
		[proof]
			z = x + yi
		とすれば、
			z + \bar{z} = (x+yi) + (x-yi)
				    = 2x
				    <= 2|x|
				    <= 2\sqrt{x^2+y^2}
				     = 2|z|

		# この不等式は、あっちこっちで(解析の方でも)出てくるので覚える !!!

[定義]
	(x,y) = 0 の時、x と y は 直交する と呼ぶ
		# 複素係数のベクトル同士の角度というのは良くわからないが、
		# とにかく内積が 0 なら、「直交」と呼ぶことにする

[問1]
	|x+y|^2 + |x-y|^2 = |x|^2 + (x,y) + (y,x) + |y|^2
			  + |x|^2 - (x,y) - (y,x) + |y|^2
			  = 2(|x|^2 + |y|^2)

		# この問題は、この展開ができるかどうか ? をきいているだけ


[問2]
	(x,y) = 0 => |x+y|^2 = |x|^2 + |y|^2
		# x と y が直交すれば、ピタゴラスの定理が成立する
		# => は言えるが、<= は言えるかどうか解らない

	[proof] (=>)
		|x+y|^2 = |x|^2+|y|^2+(x,y)+(y,x)
			= |x|^2+|y|^2

		(<=)
		|x+y|^2 = |x|^2+|y|^2+(x,y)+(y,x)
			= |x|^2+|y|^2 + 2 Re (x,y)
		よって、
			Re (x,y) = 0
			# 実は、この式が、|x+y|^2=|x|^2+|y|^2 の必要十分条件
			# (x,y) = 0 => Re(x,y) = 0 はいえるが逆はいえない

		x,y が実ベクトルなら逆がいえるが、複素ベクトルの時は逆がいえない。

[問3] x, y \in R^n ならば
	(x,y) = 1/4 ( |x+y|^2-|x-y|^2 )
		(proof)
		|x+y|^2-|x-y|^2 = 4 Re(x,y) = 4(x,y) ( x,y \in R^n なので..)

		# Re (x,y) = 1/4 ( |x+y|^2-|x-y|^2 ) は常に成立 ( x,y \in C でも成立 )


[定理]
	A : (m,n) 型、x \in C^n, y \in C^m とすると、
		(Ax,y) = (x, {}^t\bar{A}y )
	逆に、
		(Ax,y) = (x,By) ( \forall x, y )
			=> B = {}^t\bar{A}
	[proof]
		(左辺)	=	{}^t(Ax)\bar{y}
			=	{}^tx{}^tA\bar{y}
			=	{}^tx\bar{\bar{{}^tA}y}}
			=	(x, \bar{{}^tA}y )
			=	(右辺)

	逆に、
		(Ax,y) = (x,By)
	とすると、
		(x,\bar{{}^tA}y) = (x,By)	( 上の結果 )
	より
		(x,(\bar{{}^tA}-B)y) = 0
	ここで、
		x = (\bar{{}^tA}-B)y
	とすれば	
		((\bar{{}^tA}-B)y,(\bar{{}^tA}-B)y) = 0
		|(\bar{{}^tA}-B)y|^2 = 0n
	よって、
		(\bar{{}^tA}-B)y = 0 (\forall y)
	よって、
		\bar{{}^tA} - B = 0
	すなわち
		\bar{{}^tA} = B

[定義] 行列 A に対して \bar{{}^tA} を A^* で表わし、随伴行列と呼ぶ

[定理]
	(A^*)^* = A
	(A+B)^* = A^* + B^*
	(cA)^* = \bar{c}A^*
	(AB)^* = B^*A^*

	# この随伴行列を利用して次の二つの行列を定義する ( 共に正則 )

[定義]
	A : n 次正方行列の時、
		A = A^*
	ならば A はエルミート行列であると呼ぶ。
	特に A が実エルミート行列の場合、A を実対称行列と呼ぶ。
		<=> (Ax,y) = (x,Ay) (\forall x, y)

	A = (a_ij) とすると A^* = (\bar{a_ji}) となる
	A がエルミート行列ならば、これらの成分が等しいので
		a_ij = \bar{a_ji} ( \forall i, j )
	特に、対角成分は、
		a_ii = \bar{a_ii} ( \forall i )
	すなわち、
		a_ii は実数

	A が実対称行列の時は、
		a_ij = a_ji	( A = {}^tA )
	となる。

	# この行列に関して、色々やるのは、来年になっている
	# エルミートとユニタリは、正規行列なので、対角化ができるという話を来年する
	# 今年は、名前だけ覚える

	
[定義]
	A^*A = E の時、A をユニタリ行列と呼ぶ
	実ユニタリ行列を、直交行列と呼ぶ

[定理]
	A : ユニタリ => A は正則
		(proof)
			A^{-1} = A^*

	A, B : ユニタリ => AB : ユニタリ
		(proof)
			(AB)^*(AB)=B^*A^*AB = B^*EB = B^*B = E

	A : ユニタリ => A^{-1} : ユニタリ
		(proof)
			(A^{-1})^* A^{-1} = (A^{*})^* A^{-1}
				    	  = A A^{-1}
					  = E

	AA^* = E

	# A^*A = E <-> {}^tA\bar{A} = E
	#	なので、定義として右辺を利用することもある


	# ユニタリ行列は、積がユニタリで、E も入っているので、群になる
	# この話は、来年度以後やる

==

ユニタリの必要十分条件が、三つある、次回はその話
次回で 2 章を終えて、来週からは 3 章の行列式にはいり