[定理 6.4] A=(a_1, .., a_n) : n 次 の時、以下の命題(イ〜ニ) は全て同値 イ) A やユニタリ行列 (A^*A=E) ロ) |Ax|=|x| ( \forall x \in C^n ) ハ) (Ax,Ay)=(x,y) ( \forall x, y \in C^n ) 1 ( i = j ) ニ) (a_i,a_j) = \delta_{i,j} = { 0 ( i\ne j ) # a_i は互いに直交し、更に、自分自身は正規化されている # 証明の方針 ; 以下の形で、証明を行う # # イ => ロ => ハ => イ ( これで、イ、ロ、ハの三つが同値になる ) # イ <-> ニ # proof) ( イ => ロ ) |Ax|^2 = (Ax,Ax) = (x,A^*Ax) = (x,x) [∵ イ] = |x|^2 よって、 |Ax| = |x| ( ロ => ハ ) |x+y|^2 = |x|^2 + (x,y) + \bar{(x,y)} + |y|^2 |A(x+y)| = |Ax|^2 + (Ax,Ay) + \bar{(Ax,Ay)} + |Ay|^2 ところが、ロより |x+y| = |A(x+y)| |x| = |Ax| |y| = |Ay| なので、整理すると、 (x,y) + \bar{(x,y)} = (Ax,Ay) + \bar{(Ax,Ay)} 即ち、 Re(x,y) = Re(Ax,Ay) 同様に、x の処に、i x ( i は虚数単位 ) を代入すると、 (ix,y) + \bar{(ix,y)} = (iAx,Ay) + \bar{(iAx,Ay)} となり、 i(x,y) - i\bar{(x,y)} = i(Ax,Ay) - \bar{(Ax,Ay)} なので、 Im(x,y) = Im(Ax,Ay) よって、実部も虚部も等しいので (x,y)=(Ax,Ay) ( ハ => イ ) (Ax,Ay) = (x,y) [ ∵ ハ ] 処が (Ax,Ay) = (x,A^*Ay) (x,y) = (x,Ey) なので、 (x,(A^*A-E)y) = 0 x は、任意なので、 (A^*A-E)y = 0 y は、任意なので、 A^*A-E = O よって、 A^*A = E ( イ <-> ニ ) {}^t a_1 {}^tA \bar{A} = ( {}^t a_2 ) ( \bar{a_1} .. \bar{a_n} ) ... {}^t a_n {}^t a_1 \bar{a_1} {}^t a_1 \bar{a_2} .. {}^t a_1 \bar{a_n} = ( {}^t a_2 \bar{a_1} .. {}^t a_2 \bar{a_n} ) .. {}^t a_n \bar{a_1} .. {}^t a_n \bar{a_n} (a_1,a_1) (a_1, a_2) .. (a_1,a_n) = ( (a_2,a_1) .. (a_2,a_n) ) .. (a_n,a_1) .. (a_n,a_n) ところが、 イ) <-> A^*A = E <-> {}^tA \bar{A} = E <-> (a_i,a_i) = 1 (\forall i) (a_i,a_j) = 0 ( \forall i \ne j ) <-> ニ) # ここまではユニタリ行列の話、これに続けて、直交行列の話も考えるが [定理 6.4'] A=(a_1, .., a_n) : n 次 の時、以下の命題(イ〜ニ) は全て同値 イ) A や直交行列 (A^*A=E) ロ) |Ax|=|x| ( \forall x \in C^n ) ハ) (Ax,Ay)=(x,y) ( \forall x, y \in C^n ) 1 ( i = j ) ニ) (a_i,a_j) = \delta_{i,j} = { 0 ( i\ne j ) # 証明も、ロ => ハ が半分で済むだけで、後は同じ [例] 平面の回転 ( cos θ -sin θ ) sin θ cos θ は、2 次直交行列 [問 1] 2 次直交行列を全て求めよ A : 2 次直交行列とすると |A| = \pm 1 ( 直交行列は長さを変えない ) {}^tAA = E ( AA^t = E ) という性質があるので、これより、 A = ( cos θ \pm sin θ ) sin θ \mp cos θ となることが解る。 図形的な意味は、 |A| = 1 の場合は回転 |A| = -1 の場合は(原点を通る直線 [ y = \tan{\frac{θ}{2}} y ] に対する ) 線対称 => 各自やる !! # 図形は回転しても、線対象移動しても、図形の形は変らない !! [問 2] A : (m,n) 型 A^*A : n 次 は エルミート ( X^* = X ) AA^* : m 次 proof) (A^*A)^* = A^*A^{**} = A^*A # 一般に、エルミート行列の対角要素は、実数になるが、更にここでは、対角要素が正になることを示す。 A^*A の (i,i) 成分を考えると = \sum_{j=1}^n ( A^* の (i,j) 成分 ) \times ( A の (j,i) 成分 ) = \sum_{j=1}^n \bar{a_ji} a_ji = \sum_{j=1}^n |a_ji|^2 \ge 0 # ここまでで、前回の内積の話が終り # ここからは、合同変換の話をして、それが終れば、2 章も同じ == [定義] 合同変換 平面(空間)の変換 ( V^2 or V^3 で考える ) で、二点間の距離を変えないもの # 注意 !! : 線型変換とは限らない # [例] 「平行移動」は、合同変換であるが、線型変換ではない # 平行移動は、原点が原点以外に移動してしまう # 線型変換は、原点が必ず原点に移動する # 最初に特別な合同変換を考える [定義] (原点を動かさない合同変換) T_o : 合同変換で、原点 O を O に移す 直線上にある P,Q,R に関しては PQ + QR = PR となる。 一般に合同変換で、P,Q,R を写して P', Q', R' になると、 合同変換は、長さを変えないので PQ = P'Q' QR = Q'R' PR = P'R' である。すなわち、 P'Q' + Q'R' = P'R' となるから、 P', Q', R' も直線上にある。 すなち、合同変換は、直線を直線に移す 合同変換は、点の写像だが、位置ベクトルの変換と考えれば、合同変換をベクトル上の変換と考えることができる。すなわち、 x = OP であり、P が T_o によって、P' に写る時 x' = OP' とすれば、 T_o x = x' と対応が決る。 x \in V^3, c \in C の時 x = OP, cx = OQ x' = OP', cx' = OQ' とすれば、 |OP| = |OP'| |OQ| = |OQ'| |PQ| = |P'Q'| よって、 OQ' = c x = c OP' = c T_o(x) = T_o(cx) より T_o (cx) = c T_o (x) x, y \in V^3 の時 x = OP y = OQ x + y = OR とすれば、 OR' = OP' + OQ' = T_o(x) + T_o(y) = T_o(x+y) よって、 T_o(x+y) = T_o(x) + T_o(y) T_o は、線型変換なので、ある行列 A が存在し、 T_o = T_A のはず。 |Ax| = x なので、 A は直交行列 逆に A が直交行列ならば、 T_A が合同変換になることが解る # 直交行列の集合と、原点を変えない合同変換の集合は対応する # これで、原点を変えない合同変換の正体がわかったので、今度は原点を動く方を考える T_1 : 平行移動とする 原点 O を O' ( \ne O ) に移すとする。 a = OO' とすれば、 T_1(x) = x + a となる。 # 平行移動の変換も簡単、ついでなので、逆変換を考えると # T_1^{-1}(x) = x - a # となる # ここまでが準備で、これを利用して、一般の合同変換を考える T を 一般の合同変換とし、O を O' に移すとする。 a = OO' とすれば、 T_o = T_1^{-1}・T とすれば、これは合同変換でかつ、原点を移動しない # 合同変換の合成は合同変換になることに注意 よって、 \exist A : 直交行列 s.t. T_o = T_A よって、 T = T_1・T_o すなわち、 T x = T_1(T_o x) = T_1(Ax) = Ax + a # これで、一般の合同変換の形が解った。 # ここで、合同変換の形をみると、a が足されているので、線型にならない # そこで疑似的に線型変換のようにみせるために次のような形で扱う \~A = ( A | a ) --+--- 0 | 1 \~x = ( x ) # 非斉次位置ベクトル (アフェンベクトル) 1 # これの性質は、3, 4 年生にならないとやらない この形にすれば、 \~A\~x = ( Ax+a ) = ( Tx ) ---- -- 1 1 となり、合同変換 T を 線型変換のように扱うことができる。 T の逆変換 T^{-1} ( A^{-1} | A^{-1}a ) -------+-------- 0 | 1 S = ( B | b ) --+-- 0 | 1 の時、 S・T = ( BA | Ba + b ) ----+------- 0 | 1 となる。 また、 T = T_1 ・ T_o より、 ( A | a ) = ( E | a ) ( A | 0 ) ---+--- ---+--- ---+--- 0 | 1 0 | 1 0 | 1 # 以下、合同変換を、少しずつ制限してゆく [定義] (運動) 合同変換 T が、図形を裏返しにしないとき、T を運動と呼ぶ 平面 : 正の角 -> 正の角 空間 : 右手系 -> 右手系 [例] x 軸に関する対象移動は、運動ではない T = T_1 ・ T_o を考えると、T_1 は運動なので、 T_o が運動かどうかによって、T が運動かどうかが決る。 T_o = T_A で、A が右手系を右手系に移すためには |A| > 0 でなければない 一方、A は直交行列だったので |A| = \pm 1 だった 結局、この二つから、T が運動になる必要十分条件は、T = T_1 ・ T_A で、|A| = 1 の時である。 [定義] (回転) 運動が、原点を動かさない場合は、回転と呼ぶ # この定義は、従来の意味と矛盾していないかどうかを調べる確認する必要がある 平面の場合 T_o = T_A で |A| = 1 の場合を考える すると、A は 2 次直交行列で |A| = 1 とすると、結果的に従来と同じ意味になった。 空間の場合 原点を通る直線を軸とした回転となる => 5 章で示せられる ( 2 年生の終に学ぶ ) 「3 次の直交行列は固有値 1 を持つ」 平面の運動 T は次のようなアフェィン行列で定義される ( \cosθ -\sinθ | a ) \sinθ \cosθ | b ) ----------------+---- 0 0 | 1 # パラメータは、a,b,θの三つ 運動でない場合も含む一般系列は ( \cosθ \pm\sinθ | a ) \sinθ \mp\cosθ | b ) ------------------+---- 0 0 | 1 空間の場合 | a ( A | b ) | c -----------+-- 0 0 0 | 1 A の部分は複雑、cf. 教科書 p.168 == これで二章は、終りにし、次は三章の行列式の話。ただし、初回は、行列式の話はなく 置換群の話。置換群の詳細は、2 年生で学ぶ