代数幾何 I 古津先生 (2006/11/29)

行列式の定義を、置換を利用して行った
	ややっこしいが、一般に n の場合はしょうがない

行列式の性質として、
	n 重線型性
	交代性
をやった。

# 実は、この「逆みたい」なことをやる
#	n 重線型性と交代性が成立すれば、ほとんど、行列式 ( 実は行列式のスカラー倍 )

==

[定理 2.6] x_1, .., x_n : n 項列ベクトル
	F(x_1,..,x_n)
が、
	n 重線型性
	交代性
を満せば、
	F(x_1,..,x_n) = F(e_1,..,e_n) det(x_1,..,x_n) (12)
となる。

	proof)
		x_j = \sum_{i=1}^n x_{ij} e_i ( j = 1 .. n )
	と表せる。
		F(x_1,..,x_n) = F(\sum_{i_1=1}^n x_{i_1,1} e_i, .., \sum_{i_n=1}^n x_{i_n,n} e_i )
	n 重線型性より、
		\sum_{i_1=1}^n..\sum_{i_n=1}^n x_{i_1,1}..x_{i_n,n} F(e_{i_1},..,e_{i_n})
	ここで、
		F(e_{i_1},..,e_{i_n})
	を考える。
	もし、この、i_1,..,i_n の内、同じものがあれば、これは交代性より 0 となる。
	逆に言えば、F(e_{i_1},..,e_{i_n}) が 0 でないのは、i_1,..,i_n が異なる
	場合だけである。
		# i_1 〜 i_n は n 個あり、全て異なるので、i_1 〜 i_n は 1 〜 n が全部でてくる。
		よって、
			(  1   2  ..  n  ) = \sigma \in S_n
			  i_1 i_2 .. i_n
		となる

	すなわち、上記の式は、
		\sum_{\sigma \in S_n} x_{\sigma{i},1}..x_{\sigma{n},n} F(e_{\sigma(1)},..,e_{\sigma(n)})
	となる。
		F(e_{\sigma(1)},..,e_{\sigma(n)})
	を考えると、交代性より
		sgn \sigma F(e_1,..,e_n)
	となる、すなわち、上記の式は
		\sum_{\sigma \in S_n} sgn \sigma x_{\sigma{i},1}..x_{\sigma{n},n} F(e_1,..,e_n)
	これは、行列式の定義と微妙に異なる ( x の添字が逆 )。これは、転
	置の行列式になっているが、先週学んだように、転置しても行列式の値
	は変らないので、これは、
		F(e_1,..,e_n) det(x_1,..,x_n)
	に等しい。

	# 教科暑によっては、この形で行列式を定義するものもある。
	#	即ち、F が多重線型性と交代性を満す時に、det(A) = F(A)/F(E) とする

[例] (バンデルモンドの行列式)

	|     1        1      ..     1     |
	|    x_1      x_2     ..    x_n    | 
(※)	|  x_1^2     x_2^2    ..   x_n^2   | = Δ(x_1,..,x_n) (差績)
	|	..			   |
	| x_1^{n-1} x_2^{n-1} .. x_n^{n-1} | 

		# これは、 n 変数の多項式

	# 証明は帰納法でもよいが、ここでは、剰余(因数)定理を用いて証明する

	proof)
		i < j とする
		x_i = x_j ならば、(※)の左辺 i 列目と j 列目が等しいので、0 となる
		すなわち、左辺は、(x_i-x_j) で割切れる ( 剰余定理 )
		i,j は任意なので、左辺は、差績で割ることができる。
		次に次数を比較すると、左辺の次数は、n(n-1)/2 であり右辺の次数も同じである
			よって、商は定数項
		更に、x_2 x_2^1 .. x_n^{n-1} の項目の次数を比較すると、共に 1
			左辺は sgn 1_n
			左辺は、差績の績で、左側だけの項を取らないといけない。
		結局、左辺=右辺

	# これは、良く使うので、覚えておくように !!

# 次の定理もよく利用する。

[定理 2.7] |AX| = |A| |X|
	# 2 次では、具体的にやってみせた
	# 3 次では、大変なのでサボった
	# n 次では、重要なので、やってみる。証明は二通り示す。

	proof) [その 1] ( 定理 2.6 を利用する方法 )
		X=(x_1,..,x_n)
	とする。
	この時、
		F(x_1,..,x_n) = det(A x_1,..,A x_n)
			# これの左辺は |AX|
	とする。
	すると、この F は
		多重線型性
		交代性
	を満すので、定理 2.6 より
		F(x_1,..,x_n) =  F(e_1,.,e_n) det(x_1,..,x_n)
	ところが、
		F(e_1,..,e_n) = det(Ae_1,..,Ae_n) = |A|
	よって、
		|A||X| = |AX|

	proof) [その 2] (問題 : 行列式の定義に基いて証明する)
		AX = B = (b_ij)
	とする。
		|AX| = |B|
		= \sum_{\sigma \in S_n} sgn \sigma b_{1,\sigma(1)}b_{21,\sigma(2)}..b_{n,\sigma(n)}
			(行列式の定義)
		=\sum_{\sigma \in S_n} sgn \sigma
			 (\sum_{j_1=1}a_{1,j_1}x_{j_1,\sigma(1)})..
			 (\sum_{j_n=1}a_{1,j_n}x_{j_n,\sigma(n)})
		= \sum_{j_1}^n..\sum_{j_n}^n a_{1,j_1}..a_{n,j_n}
			 (\sum_{j_1=1}x_{j_1,\sigma(1)})..
			 (\sum_{j_n=1}x_{j_n,\sigma(n)})
		# ここでも、行列式みたいなものが出てくる
	ここで、
		j_1,..,j_n の中で同じものがあれば、0 になってしまうので
		0 でないものは、
		  	\tau = ( 1 .. n )
				j_1 .. j_n
		としたときの、
			sgn \tau |X|


	# この問を一人でやらせるとなかなかできない(レポートにしてもだめ)

# 以下、行列式の計算に利用する性質を学ぶ

[定理 2.8]
	対称区分けをしてみた結果次のようになったとする

	A = ( A_11 | A_12 )	または、	( A_11 |  O   )
	     ------+-----		 ------+-----
	       O   | A_22		  A_21 | A_22

	の時、
		|A| = |A_11| |A_22|

	# 基本変形で、左下に 0 を集めれば、行列式の計算が簡単になる

	proof) ( 一方の場合は、他方の場合の転置で、転置の行列式は同じだから一方だけを示す )

	まず、A_22 = E_n の場合を考える

			        m       n
		A = (a_ij) = ( A_11 |   0      )
			      ------+---------
			       A_21 | 1 0 .. 0
			            | 0 1  . 0
			            | 0 0 .. 1

	ここで、
		|A| = \sum_{\sigma \in S_n) sgn \sigma a_{1,\sigma{1}}
	だが、後の方は、\sigma が次のような特別な場合以外は、0 になってしまう。

		\sigma = (  1 ..  m  m+1 .. m+n )
		           i_1   i_m m+1 .. m+n
   				     # m + 1 以後は、変化しない

	これは、S_m の要素と考えてよい
	よって、上の式は

		|A| = \sum_{\sigma \in S_m) sgn \sigma a_{i,\sigma{i}}

	これは、定義により、 |A_11| に等しい。
	即ち

		|A| = |A_11| = |A_11| 1 = |A_11| |E_n|

	となるので、A_22 が E_n の時は示せた。

	A_22 が一般の時、

		A_22 = X = ( x_1,..,x_n )
	の時、
		F(x_1,..,x_n) = | A_11 O |
				| A_22 X |
	とすると、
		F(x_1,..,x_n)
	は多重線型性と、交代性を満す ( なぜなら、 X の上は O なので、x_i を上の要素まで含めて考えても、成分が 0 なので、和に影響しない )
	よって、定理 2.6 より

		F(x_1,..,x_n) = F(e_1,..,e_n) det(x_1,..x_n)
			      = |A_11| |X|
				# 前半でやった

	よって、一般の場合も示せた。

	# これによって、行列式の次数を下げることができるので、大変便利
	# 更に、これの特別な次の場合も便利

[系 2.9]
	イ) | a_11| a_12 .. a_1n  |
	    | ----+-------------- | = 
	    |  0  | a_22 .. a_2n  |	    a_11  | a_22 .. a_2n  |
	    |  .. |      ..       |	          |      ..       |
	    |  0  | a_n2 .. a_nn  |	          | a_n2 .. a_nn  |

	ロ) | a_11 a_12 .. a_1n  |
	    |  0   a_22 .. a_2n  |  = a_11 a_22 .. a_nn
	    |  ..   0   ..       |
	    |  0    0  0.. a_nn  |

		(上三角行列)

		# cf. 以前に対角行列の行列式は学んだ

==

# 次に、行列式と rank の関係をやりたいが、時間がないので、準備だけ

[定義] ( p 次小行列 )

	A : (m.n) 型とする

	行と列から、それぞれ p 個の行と、列を選び、その行、列に所属する要素だけを抜き出す
		=> p 次行列ができる

		p 次行列式の個数は、行と列の取りかたが色々 ( mCp, nCp ) あるので、沢山 ( mCp \times nCp 個 ) ある。

	[例]
		A = ( a_11 a_12 a_13 a_14 ) : (3,4) 行列の 2 次行列は 18 個ある
		      a_21 a_22 a_23 a_24
		      a_31 a_32 a_33 a_34
		      a_41 a_42 a_43 a_44

		# 具体的な例は省略

	## 「具体的なものを並べる」ことは「場合分け(虱つぶし)」の練習になる

	# これを何に使うかというと、次の定理のために利用する
	#	=> また、逆行列式を計算するにもやる

[定理]
	A の rank は、A の小行列式の中で 0 でない最大の次数に等しい


==

来週は、上記の定理の証明のあと、具体的な行列式の計算方法を学
	=> そのためには、[系 2.9] を使えるようにしておくこと !!

621C