代数幾何 I 古津先生 (2006/12/13)

# 20 分程、遅刻した

==


色々な問題と基本操作

	rank		逆		連立		行列式
	=		->		->		=

P	◯		△(行)		△(行、列)	◯(-1 倍)
Q	◯		△(行)		△(行)		◯(1/c 倍)
R	◯		△(行)		△(行)		◯


行列式の計算

# 途中の計算は略

問
	ハ) -438
	ニ) 2222


[方針]
	行/列の共通は、外に出す (Q を使う)
	できるだけ、1 (-1) の項目を探す
		なければ、R で作る
		# 交換はしない (Pは使わない)
	軸を利用しないでも、R の c が小さいものを撰択する

	# やり方は色々あるが、答は同じ
	#	自分のやり方を身に付ける ( 試験の時には、時間がないので注意 )

変数を含む場合は、無理に、軸を作らなくてもよい
	# 変数を含む式でわらなければならない場合が生じる
	#	変数を含む式でわると、(分母が0になる場合の..) 場合分けが必要になる
	#		=> 変数を含む場合は、項目がふえてもよいので、そのまま展開する	

[例]
	Text P.90 問 1 の イ)

	|  x    -1       0    ..  0    0 |
	|  0     x      -1    ..  0    0 |
	|  0     0       x    ..  0    0 | = A_n ( a_0, .., a_n )
	|  0     0       0    .. -1    0 |
	|  0     0       0    ..  x   -1 |
	| a_n a_{n-1} a_{n-2} .. a_1 a_0 |

	これを一列目で展開すると

		A_n ( a_0, .., a_n )
		= (-1)^{1+1} x A_{n-1} + (-1)^{n+1+1} a_n | -1  0 .. 0  0 |
					 		  |  x -1 .. 0  0 |
							  |  0  x .. 0  0 |
							  |  0  0 .. x -1 |

		=  x A_{n-1} + a_n
			# 漸化式になっている !!

		= ( A_{n-2} x + a_{n-1} ) x + a_n
			...
		= a_0 x^n + a_1 x^{n-1} + .. + a_{n-1} x + a_n

	# 証明は一般式を予想して、帰納法で示す

	ロ)

	|  x  a_1 a_2 .. a_n |
	| a_1  x  a_2 .. a_n |
	| a_1 a_2  x  .. a_n |
	|        ..          |
	| a_1 a_2 a_3 ..  x  |

		# この式は x の n + 1 次式であることに注意

	第 1 列に、第 2 列から、第 n+1 を加える
		-> 第一列が全て同じになる。
	( x + a_1 + .. + a_n ) で括る

	|  1 a_1 a_2 .. a_n |
	|  1  x  a_2 .. a_n |
	|  1 a_2  x  .. a_n | ( x + a_1 + .. + a_n )
	|       ..          |
	|  1 a_2 a_3 ..  x  |

	2 列目から n 列目には、 n-1 列目の -a_{n-1} 倍を加える
		=> 下三角行列になる
			行列式の結果は、対角要素の績となるので

		(x+a_1+..+a_n)(x-a_1)..(x-a_n)


	[別解]
		f(x)=与式とする
		f(x) の x^{n-1} の項目を考えると、対角要素の場合なので
			係数は 1 となる
		f(x) の x^n の項は、0 となる
		一方、 f(a_1) は、1 列目と 2 列目が同じなので 0
		同様にして、a_n まで、 0 なので、f(x) は (x-a_i) という因数を持つ
		よって、
			f(x) = (x-a_1)..(x-a_n)(x-α)
		問題はαだが、x^n の係数が 0 であることを利用すると
			α=a_1 + .. + a_n
		であることが解る

	ハ)

		p_n =	| 1+x^2   x     0    ..   0   |
			|  x     1+x^2  x    ..   0   |
			|  0      x    1+x^2 ..   0   |
			|      ..		      |
			|  0                 x  1+x^2 |


		# n が小さい処で、計算し、答の形を予想する !!

		p_1 = | 1+x^2 | = 1 + x^2

		p_2 = | 1+x^2   x   | = 1 + x^2 + x^4
		      |  x    1+x^2 |

		# だいたい、一般形がみえてきたので、元の形から漸化式を作るために一列目で展開

		p_n = (-1)(1+x^2)p_{n-1} + (-1)^{2+1} x q_n 

			|  x      0     0    ..   0   |
		q_n =	|  x     1+x^2  x    ..   0   |
			|  0      x    1+x^2 ..   0   |
			|      ..		      |
			|  0                 x  1+x^2 |


		    = x p_{n-1}

		よって、
			p_n = (1_x^2)p_{n-1} - x^2 p_{n-2}
				# 漸化式ができた

		ここで、
			p_n - p_{n-1} = x^2 ( p_{n-1} - p_{n-2} )
				      = x^4 ( p_{n-2} - p_{n-3} )
				      ..
				      = x^{2n}  ... (*1*)
		よって、
			p_n = 1 + x^2 + .. + x^{2n}
		と予想すれば、後は帰納法

	[別解] (直接帰納法を利用してもよいが..)

		p_n - x^2 p_{n-1} = p_{n-1} - x^2 p_{n-2}		
		    	          = ..
		    	          = p_2 - x^2 p_1 = 1 .. (*2*)

		(*1*) - (*2*) より
			(x^2-1) p_{n-1} = x^{2n}-1
		よって、
			p_{n-1} = \frac{x^{2n}-1}{x^2-1} = 1 + x^2 + .. + x^{2n}

		# よって当然同じ結果だが、途中 (x^2-1) で割っているので、
		# x が \pm 1 の時は場合分けして、別に示す必要があるので面倒

		## やりかたは色々あり、どれでもよいのだが、面倒が少いものを選ぼう


	ニ)

	# 答え方
	#	「展開せよ」=> 展開したまま
	#	「因数分解せよ」=> 因数分解をする

		| 0   a^2 b^2 1 |
		| a^2  0  c^2 1 |
		| b^2 c^2  0  1 |
		|  1   1   1  0 |

	=	
		| 0     a^2     b^2   1 |
		| a^2  -a^2   c^2-a^2 1 |
		| b^2 c^2-b^2  -b^2   1 |
		|  1    0        0    0 |

		..

	= -4a^2b^2 + ( c^2 - a^2 - b^2 )^2
		# 「展開せよ」ならここまで
		# 「因数分解せよ」はさらに
	= (a+b+c)(a-b-c)(b-c-a)(c-a-b)
		# と、ここまでやって答

	# 「行の和が全部同じ」というのは、よくあるので、テクニックとして覚える