代数幾何 I 古津先生 (2008/01/17)

これまで 3 章の章末問題をやっていた 8 まできたのだが、都合により
2 章の章末問題を解いてから、戻る
	=> 2 章の章末問題の太字の用語で、後で利用されるものをやっておきたい

P.71. 問 6
	A : n 次
	イ) A^k = E ( \eixst k \in N ) => A : 正則
	proof)
		A^{k-1}A = A A^{k-1} = E
	よって、
		A^{-1} = A^{k-1}
	即ち、正則

	ロ) A^2=A かつ A\ne E => A は正則でない
	# A の行列式が 0 とか、A の rank が n 以下を示してもよいが、こうゆう場合は背理法が簡単
	proof)
		A が正則と仮定する
			A^{-1}A^2 = A^{-1}A
		より
			A = E
		これは、仮定に反するので矛盾。

	ハ) A^k=O ( \exist k \in N ) の時、(この時「冪零(巾零)」と呼ぶ)
			=> A は正則でない
	proof)
		A が正則と仮定する
			(A^{-1})^k A^k = (A^{-1})^k ) O
		より、
			E = O
		これは矛盾。

	ニ) A: 巾零 => E \pm A : 正則
	proof)
		\exist k st. A^k = O
	なので、
		B = E + A + A^2 + .. + A^{k-1}
	とすると、
		B(E-A) = E - A^k
	ところが、
		A^k = O
	より、
		B(E-A) = E
	同様にして
		(E-A)B = E
	よって、
		B = (E-A)^{-1}
	なので、
		E-A は正則

	E+A の場合は、
		C = E - A + A^2 + .. + (-1)^{k-1}A^{k-1}
	とすれば、以下、同様。


[問 7]
	# 用語はでてこないが、思い付かないと大変なので、やっておく

	X, Y : n 次の時、XY - YX = En とはならない。
	# これを成分でやったら、とっても大変
	#	=> うまいアイディアが欲しい..

	proof)
		左辺のトレースを取る
			Tr(XY-YX) = Tr(XY) - Tr(YX)	# 和は分けられる(績は駄目)
				  = Tr(XY) - Tr(XY)	# 交換はしてよい
				  = 0
		一方、右辺のトレースは、
			Tr E = n
		よって、上記の等式は成立しない。

[問 11]
	{}^tA = A の時 A は対称行列
だが、	
	{}^tA = -A の時 A は交代行列と呼ぶ

[問 12]
	A^*A = AA^* の時、正規行列と呼ぶ。

	# 対称行列も、交代行列も、正則行列である。
	# 対称行列かつ交代行列なのは、O 行列のみ

[問 11]
	P : n 次元
		{}^tP P = E ( {}^tP = P^{-1} )
	の時、
		P+E : 正則

	イ)
		A = (P-E)(P+E)^{-1}
	とおくと、
		{}^tA = -A
	proof)
		[補題] ({}^tB)^{-1} = {}^t(B^{-1})
		proof)
			BB^{-1} = E
		なので、両辺の転置を取ると
			{}^t(BB^{-1}) = {}^tE
		なので、
			{}^t(B^{-1}) {}^tB = E
		よって、
			({}^tB)^{-1} = {}^t(B^{-1})
	したがって、
		{}^tA = {}^t((P+E)^{-1}){}^t(P-E)
		      = ({}^t(P+E))^{-1}({}^tP-E)
		      = ({}^tP+E)^{-1}({}^tP-E)
		      = ({}^tP+E)^{-1}E({}^tP-E)
		      = ({}^tP+E)^{-1}(P^{-1}P)({}^tP-E)
		      = (({}^tP+E)^{-1}P^{-1})(P({}^tP-E))
		      = (E+P)^{-1}(E-P)
		      = -(P+E)^{-1}(P-E)

			# 微妙の式の形が、しめしたいことと異なる
			# 行列でなければ、績の交換できて簡単なのだが、そうは行かない
			# ただ、この場合は上手くゆくことを次の補題で示す。

		[補題] (P+E)^{-1}(P-E) = (P-E)(P+E)^{-1}
		proof)
			(P-E)(P+E)=P^2-E=(P+E)(P-E)
		なので、両辺の左右から (P+E)^{-1} をかけると、
			(P+E)^{-1}(P-E) = (P-E)(P+E)^{-1}

	よって、

		      = -(P-E)(P+E)^{-1}

	ロ) E-A は正則
		E-A = (P+E)(P+E)^{-1} - (P-E)(P+E)^{-1}
		    = 2E(P+E)^{-1}
		    = 2(P+E)^{-1}

		(P+E)^{-1} は正則なので、その 2 倍も正則。

	ハ) (E+A)(E-A)^{-1} = P
	proof)
		E+A = (P+E)(P+E)^{-1} + (P-E)(P+E)^{-1}
		    = 2P(P_E)^{-1}
	よって、
		(E+A)(E-A)^{-1} = 2P(P+E)^{-1}(2(P+E)^{-1})^{-1}
				= 2P(P+E)^{-1}(1/2)(P+E)
				= P

	# 行列の抽象的な計算もできるようにしておく
	#	演習を沢山解くしかない !!

[問 12]
	A : n 次元
		A^*A = AA^* <-> |Ax| = |A^*x| (\forall x \in V)
		# 随伴行列の時も同様なことをやったが、証明の方針も同様

	proof) (=>)
		\forall x に対して
			 (A^*Ax,x) = (AA^*x,x)
		よって、
			 (Ax,Ax) = (A^*x,A^*x)
		よって、
			|Ax|^2 = |A^*x|^2
		よって、
			|Ax| = |A^*x|

		(<=)
 			|Ax| = |A^*x|
		と仮定し、前の証明の逆を辿ると
			 (Ax,Ax) = (A^*x,A^*x)
		である。
		これが任意の x について成立するので、x の代りに x+y を代入しても成立する
			 (A(x+y),A(x+y) = (A^*(x+y),A^*(x+y))
		よって、
			(Ax,Ax)+(Ax,Ay)+(Ay,Ax)+(Ay,Ay)
			= (A^*x,A^*x)+(A^*x,A^*y)+(A^*y,A^*x)+(A^*y,A^*y)

		ここで、仮定より、
			(Ax,Ax)=(A^*x,A^*x)
			(Ay,Ay)=(A^*y,A^*y)
		なので、
			(Ax,Ay)+(Ay,Ax) = (A^*x,A^*y)+(A^*y,A^*x)
		一方、
			(Ay,Ax) = \bar{(Ax,Ay)}
		なので、
			(Ax,Ay)+(Ay,Ax)=(Ax,Ay)+\bar{(Ax,Ay)} = Re (Ax,Ay)
		どうようにして、
			(A^*x,A^*y)+(A^*y,A^*x) = Re (A^*x,A^*y)
		すなわち上記の式は、
			Re (Ax,Ay) = Re (A^*x,A^*y)
		を意味する。
		同様にして、
			x+yi
		を使うと
			Im (Ax,Ay) = Im (A^*x,A^*y)
		これから、実部と虚部が等しいので、
			(Ax,Ay) = (A^*x,A^*y)
		これから、
			(AA^*x,y) = (A^*Ax,y)
		より
			((AA^*-A^*A)x,y) = 0
		よって、
			AA^* - A^*A = O
		となる。
		# より詳細には、y に(AA^*-A^*A)xを入れたあと、順番に x に e_j を代入すれば、これは 0 だが、(AA^*-A^*A) の j 番目の縦ベクトルとなりこれが常に 0 となるのことから導ける。

# ここまでで、2 章の問題はおわり、3 章に戻る。

[P.91 問 9]
	3 点 P_i (x_i,y_i,z_i) ( for i = 1,2,3 )
	を通る平面の式は、

		|  x   y   z  1 |
		| x_1 y_1 z_1 1 | = 0
		| x_2 y_2 z_2 1 |
		| x_3 y_3 z_3 1 |

	proof)
		一行で展開すると
			\~a_11 x + \~a_12 y + \~a_13 z + \~a_14・1 = 0
		となる。
		これは、x,y,z の一次式 ( 余因子には変数がふくまれないので )
		よって、これは平面の式
		一方、x, y, z に p_i を代入すれば、これは、左辺が 0 となる ( 同じ列ができるので ) ので、確かに、
		p_i を通ることが解る
		すなわち、上記は三点を通る平面の方程式を表す。

		# なので、平面の方程式そのものは簡単に表せるが、最終的に、行列式の展開をする必要があるので、この方法が簡単かどうかはわからない。

[問 10] Aの要素が全て整数の時、A を整数行列と呼ぶ。
	A:正則かつ、A:整数行列 <=> |A| = \pm

	proof) (=>)
		|A| が整数かつ、|A^{-1}| も整数
		|A| |A^{-1}| = |AA^{-1}| = |E| = 1
	よって、
		|A| = \pm 1

	(<=)
		|A| \ne 0 よって、正則
		A^{-1}の (i,j) 成分は、\~a_ji / |A| = \pm \~a_ji これは整数

[問 11] \sigma \in S_n
	A_\sigma : ( \sigma{j), j ) 成分が 1 他は 0 となる行列を考えると
		A = ( e_\sigma{1}, e_\sigma{2}, .., e_\sigma{n} )
	と、単位ベクトルが並ぶ行列となる。

	イ) A_\sigma は直交(実ユニタリ) 行列
	proof)
		成分は 0, 1 のみなので、実行列である
		よって、
			{}^tA_\sigma A_\sigma = E
		を示せばよい。
		実際、
			{}^tA_\sigma A_\sigma = E

	ロ)
		A_{\sigma} A_{\tau} = A_{\sigma\tau}
	proof)
		B=(b_1,..,b_n)
	としたとき
		BA_\tau = B(e_\tau{1},..,e_\tau{n})
			= (Be_\tau{1},..,Be_\tau{n})
			= (b_\tau{1},..,b_\tau{n})
	となることに注意して、B に A_{\sigma} を代入すると
		A_{\sigma} A_{\tau} = ( e_{\sigma(\tau(1))},..,e_{\sigma(\tau(n))})
				= A_{\sigma\tau}

	ハ) sgn \sigma = \pm <-> det A_{\sigma} = \pm
	proof)
		\tau = (p,q) とすれば、A_{\tau} = P(p,q) となるので
			|A_{\tau}| = |P(p,q)| = -1
		となる。

		\sigma = \tau_1\tau_2..\tau_k

		よって、
			A_{\sigma} = A_{\tau_1\tau_2..\tau_k}
				   = A_\tau_1 A_\tau_2.. A_\tau_k
		よって、
			|A_{\sigma}| = |A_\tau_1| |A_\tau_2| .. |A_\tau_k|
				     = (-1)^k
		一方、
			sgn \sigma = (-1)^k
		よって、
			sgn \sigma = |A_{\sigma}|

==

大きな四角い紙の話

	+-----------------------+
	|	ランク x 2	|
	+-----------------------+
	|	連立 x 2	| <= 基本変形/クラーメルの解きかたが指定される
	|	    x 1		|	基本変形の場合は、最後の変形した結果を書く
	+-----------------------+	クラーメルの場合は行列式の値を書く
	|	逆 x 2		|
	+-----------------------+
	|	det x 2		|
	+-----------------------+
	|	置換		|
	+-----------------------+