代数幾何 I 古津先生 (2008/04/17)

# 最初は高校の復習
## ただ、ここらへんは、「解っているもの」として扱うので、ここできっちり抑えておくこと

ベクトル a = PQ
	方向と大きさを持つ
		出発点は特にきまっていないので、
			色々なベクトルを、同じ方向と大きさを持てば、同じベクトルとみなす

	ただし、出発点に拘りたい場合は、
		矢印の出発点を「始点(P)」、お尻の部分の点を「終点(Q)」と呼ぶ

	零ベクトル
		大きさが 0
		方向は「ない」
			特別なベクトル
			# 色々と例外扱いしなければならないので不便だが
                        # あるのだからしかたがない
		始点と終点が同じベクトル
			0 = PP = QQ

	平面ベクトルや空間のベクトルは図形にかけるので、「幾何ベクトル」と呼ぶ
		# 成分が 4 つ以上になったり、複素数になったりすると図に描けない !!
		# 図にかけるので、「幾何」ベクトル

==

[定義]
	V^2 : 平面ベクトル全体の集合
	V^3 : 空間ベクトル全体の集合

	# ここまでは、ベクトルを定義しただけ
	# 今度はベクトルの演算(操作)を考える

	a, b \in V^3 に対して、
		点 P を取り、b の始点 Q を a の終点 Q と重ねることにより
			a = PQ
			b = QR
		と、点 R が定まる。
	この時、
		a + b の和 a + b を PR と定める。


[定理 1.1]
	a + b = b + a
	(a+b) + c = a + (b+c)
	a + 0 = a

	[proof]
		(1) # 平行四辺形の性質 ( つまり「図形の性質」) を利用する
		先の P, Q, R に対して、PR が平行四辺形の対角線になるように S を定める
		すると、平行四辺形の性質より、対辺の長さ(と方向)が同じなので、

			PR = PQ + QR = a + b
			   = PS + SR = b + a

		(2) a, b, c を辺とする四面体を考える
			後は図形の性質から..

		(3) a = PQ = PQ + QQ = a + 0

	# これは、証明できなくても、「成り立つ」とおもって使ってよい

[定義]
	a = PQ に対して、PQ の「逆ベクトル」と呼び -a で表す
	a + (-b) を a-b と書く

[定理]
	a + (-a) = 0	

[定義](定数倍)
	# 平面、空間では、定数倍といっても実数倍しか考えてないことに注意

	a \in V^3, c \in R に対して、a の c 倍を定める

	# c が正、負、零の三つの場合に分けて考える

	c>0 の時
		c a は、a と同じ方向で大きさが c 倍
	c<0 の時
		c a は、a と逆の方向で大きさが |c| 倍
	c=0 の時
		c a は 0 ベクトル

	# 実数ならば何でもよいので \sqrt{2} 倍なども考える

	# 一般のベクトルの場合も、最初に、和と定数倍を定義してから始める
	# 今回はその一番簡単な場合

	# これも、高校と同じだったので、出てくる性質も同じ

[定理 1.2]
	c ( a + b ) = c a + c b
	(c + d) a = c a + d a
	(cd) a = c (d a)

	[proof]
		(1)
		a + b できる三角形と、c 倍した三角形 (相似形) を考える
			=> 三角形の相似の性質から (1) が出る
		(2), (3) => 直線上の図を書き込んで確認する

# ここまでは座標を考えなかったが、ここから座標を入れる
# 本当は、色々な座標が入れられるのだが、今は面倒なので、一つだけ入れて、変えない
# 「直交」も、当然のようだが、実は、直交でない座標を扱うことがあるので、一応、明言する
## 後で、本当に色々な座標を扱うが、一年生の間は、今回いれる座標一つだけを考えればよい。

	空間に「直交座標系」を一つ固定する。

		点 P の座標を ( x_1, y_1, z_1 )
		点 Q の座標を ( x_2, y_2, z_2 )
		点 P' の座標を ( x_1', y_1', z_1' )
		点 Q' の座標を ( x_2', y_2', z_2' )

	で、

		PQ = P'Q'

	の時、

		x_2 - x_1 = x_2' - x_1'
		y_2 - y_1 = y_2' - y_1'
		z_2 - z_1 = z_2' - z_1'

	が言える。

	ベクトルは移動できるので、P(始点), Q(終点) は一つに定まらないが、
	その座標の差は、定まるので、それを用いて、ベクトルを表す。

	即ち、
		      x_2 - x_1
		a = ( y_2 - y_1 )
		      z_2 - z_1

	という形で表す。それぞの座標の差を、このベクトルの成分と呼ぶ

	# 大学では、ベクトルは縦で表すことに注意 ( ここは高校と異なる !! )

# 次は位置ベクトルの話


	{ 空間の点 } ----> V^3
	    \in          \in
	     P                  x
	  (x,y,z)  |---> OP = ( y )
				z

		# ただし、O は原点 (0,0,0) に対応している

	空間の点 P とベクトル OP が一対一で、上への対応になっている

	この時、P に対応するベクトル OP を P の位置ベクトルと呼ぶ


	      x		  x'
	a = ( y ),  b = ( y' ) の時、
	      z	          z'
	
			  x + x'
		a + b = ( y + y' )
			  z + z'

			t x
		t a = ( t y )
			t y

	となる。

	# 証明は、それぞれ軸への射影を考える

[定義] 単位ベクトル

	以下の特別なベクトルを単位ベクトルと呼ぶ

		1		0		0
	e_1 = ( 0 ),    e_2 = ( 1 ),    e_3 = ( 0 ),
		0		0		1


	任意の x \in V^3 は、これらの単位ベクトルの一次(線型)結合として
	一意的に表すこことができる

	# 「一意的に」とい言葉は、大学では、「一通り」の意味

	(proof)

		x
	  a = ( y ) とすれば、 a = x e_1 + y e_2 + z e_3 である。
		z


[定義] (線型独立)

	<<平面の場合>>
	零ベクトルでないベクトル a, b \in V^2 が平行でない時、
		a, b は線型(一次独立)

	[別表現] a = OP, b = OQ としたときに、O,P,Q が一直線上にない時
		# この表現だと、零ベクトルを区別しなくてもよいので便利


	<<空間の場合>>
	零ベクトルでないベクトル a, b, c \in V^3 が同一平面の矢印で表示されない時
		a, b, c は線型(一次独立)

	[別表現] a = OP, b = OQ, c = OR としたときに、O,P,Q, R が同一平面上にない時

	[例] e_1, e_2, e_3 は独立


[定義] (線型従属)
	線型独立でないときには「線型従属」であると呼ぶ


[定理]	
	a, b, c が独立ならば、
		\forall x \in V^3 は
			u a + v b + w c
		の形で、一意に書くことができる。

	# これの証明は今は面倒なので、後回しにする

[問 1]
	a = OP, b = OB, PQ の中点を M としたとき
		OM = (a+b)/2
	である。

	(proof) # これは図形の性質から明かだが、敢て、今回学んだことだけで示す

		OM = OP + PM
		   = OP + 1/2 PQ
		   = OP + 1/2 ( b - a )
		   = (a + b)/2

	# どの部分が何処に出ていたかを確認しよう !!

[問 2]

	三角 P,Q,R の重心を G としたとき、
	     OP = a, OQ = b, OR = c
	ならば
		OG = ( a + b + c ) / 3

	(proof) # これも高校で学んだことだが、忘れていたらこの時に覚える !!
		# こちらは、今日学んだことだけでやろうとすると、ちょっと面倒
		# そこで、幾何学の知識をちょっと利用する
		#	=> G が、 MR を 1 対 2 に分割するという性質を利用すると簡単

		OG = OM + MG
		   = OM + 1/3 MR
		   = OM + 1/3 ( OR - OM )
		   = 2/3 OM + 1/3 OR
		   = 2/3 ( 1/2 ( a + b ) ) + 1/3 c
		   = ( a + b + c ) / 3

[定義] (長さ)
	ベクトル a の 長さ/大きさ/ノルム を
		|| a || または | a |
	で表す。
		# ノルムの時は || a || を、長さ/大きさの時は | a | を使う事が多い
		# これらはどちらも同じと考えてよい ( ここでは区別する必要がない )

	[定理]
		      x
		a = ( y )  の時、 |a| = \sqrt{x^2+y^2+z^2}
 		      z


		# proof: 三平方の定理から



[定義] (内積)

	a と b との交角 \thita ( 0 \ge \thita \ge \pi ) とする時
		a と b の内積を
			|a| |b| \cos{\thita}
		で定義する。
		実は余弦定理より
			= 1/2 { |a|^2 + |b|^2 - |a-b|^2 }
		なので、こちらを定義とする場合もある
			# こちらだと「角度」がいらない

	内積は、
		(a, b)
	で表す。
		# a ・ b というやりかたもあるが、この講義では上の形

	[定理]
		(a, a) = |a|^2

	[定理]
		      x		 x'
		a = ( y ), b = ( y' )
		      z		 z'
	の時、

		(a, b) = x x' + y y' + z z'

	である。

	[定理]
		\cos{\thita} = \frac{(a,b)}{|a| |b|}

	[定義]
		a, b が直交する
			( a 垂直 b ) <-> \cos{\thita} = 0
				    <-> (a,b) = 0

[定理 1.3]
	|(a,b)| \ge |a| |b|
	|a+b| \ge |a| + |b|
	c(a,b) = (c a, b) = (a, c b)
	(a, b_1 + b_2) = (a, b_1) + (a, b_2)
	(a_1 + a_2, b) = (a_1, b) + (a_2, b)
	(a,b) = (b,a)


[問]
	      1
	a = ( 1 ) との交角が \pi/6
	      1

	      1
	b = ( 1 ) との交角が \pi/4
	      4

			     x
である、長さ 1 のベクトル a = ( y ) を求めよ。
			     z


	[答] (まず、上記の三つの条件を式で表現すると..)

		(a,x) = |a| |x| \cos{\pi/6}
		(b,x) = |b| |x| \cos{\pi/4}
		|x| = 1

	これより、
		x + y + z  = \sqrt{3} 1 \sqrt{3}/2 = 3/2
		x + y + 4z = \sqrt{18} 1 \sqrt{2}/2 = 3
		x^2 + y^2 + z^2 = 1
	が成立するので、これから x, y, z を求める。
		# 二次の項があるので、一次方程式ではないが、変数個数も 3 , 式も 3 なので答がでそう。
		# まず、上の一次の式を利用して.. ( このような時は低次の式からやるのが良い)

		z = 1/2
		x + y = 1

		三つ目の式から、z, y, を消すと
			x^2 - x + 1/8 = 0
		これから
			x = (2 \pm \sqrt{2})/4
			y = (2 \mp \sqrt{2})/4
		
		答は二つ。

==

[まとめ]
	まだ、ここまでは高校と同じ内容。
	大事なのは、「表現」と「言葉」


[伝言]
	コンピュータ概論
	来週から、
		1211 で行う
		Note-PC を毎回もってくる