代数幾何 I 古津先生 (2008/04/24)

# 大幅に、遅刻して、11:20 位から...

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# 直線のベクトル表現 ( 平行なベクトルを利用する場合と、垂直なベクトルを利用する場合 )

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直線と点の距離

	直線 l と、直線上にない点 P の距離を考える
		# 点 P が l 上のあれば、距離は 0 なので、それ以外の場合を考える

		l は、 P_1 を通り a に平行な直線

	P から l への垂線の足を P' とする
	P, P_1, P' の位置ベクトルをそれぞれ x_0, x_1, x_1' とすれば、
		距離
			d = |x_0 - x_0'|
		P' は l 上の点なので
			x_0' = x_1 + t a .. (1)
		PP' ( = x_0 - x_0' ) と a は垂直なので
			(a, x_0 - x_0' ) = 0  .. (2)

	(1) の t は入らないので、(2) に代入して整理すると、

		(a, x_0 - x_1 - t a) = 0
		(a, x_0 - x_1) = t (a,a)

		# ここで a は 0 ベクトルでない ( 0 ベクトルなら、直線にならない )

		t = \frac{(a, x_0 - x_1)}{(a,a)}

	よって、
		x_0' = x_1 + \frac{(a, x_0 - x_1)}{(a,a)} a
	これから、
		d = | x_0 - x_1 0 \frac{(a, x_0 - x_1)}{(a,a)} a |
	これを更に整理すると、
		
		d = \frac{\sqrt{|a|^2 |x_0-x_1|-(a,x_0-x_1)^2}}{|a|}

	ここで、
		x_0-x_1 = b
	とすれば、
		d = \frac{\sqrt{|a||b|-(a,b)^2}}{|a|}
	となる、
		# sqrt の中は、a, b が作る平行四辺形の面積 !!

# 今度は、直線の表現を、法線ベクトルで表現することを考える

	直線 l は、点 P_1 を通り、b に垂直
		(b,c)=c

	同様にして、
		(b,x_0') = c
		x_0 - x_0' - s b
	代入して s を求めると
		s = \frac{(b,x_0)-c}{(b,b)}
	よって、
		d = \frac{(b,x_0)-c}{|b|}

	ここで、
		b = (a), x_0 = (x_0)
		     b          y_0
	とすると、
		l : a x + b y = c
	となる。

	この時は、
		d = \frac{|a x_0 + b y_0 - c |}{\sqrt{a^2+b^2}}

	# 実は「平面と点の距離」の話もあり、これは、垂直な場合の公式と同じ形になる
	# この話は、空間の処で詳しくやる

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[問 2]
	イ) 次の形で、ベクトル表記されている直線をベクトルを利用しない形に直せ
	    (x) = ( 1) + t ( 2) 
             y     -1        1

	これより、
		x = 1 + 2t
		y = t - 1
	これより、t を消去すれば、
		x-2y=3

	ロ)
		(x) = (-1) + t (1)
		 y     -2       0
	これより
		x = -1 + t
		y = -2
	ここでは、無理に t を消去せず
		y = -2
	が答となる。