代数幾何 I 古津先生 (2008/05/08)

# 最初は、少し、教科教科書から離れて、補足の話をする
#	ほぼ、高校の復習だが、忘れていたり、また、やっていない内容もある

==

原点 O と 点 A があり、a = OA とする

	    O    A   P(x)   
	----*----*---*---

	直線 OA 上の点 P の位置ベクトルを x とすれば、
		x = t a  ( t \in R ) ... (1)
	となる。

	# 逆に、t が R 上を自由に動けば、(1) 式は、直線 OA の式

# 今度は、t に制限をかけてみる

	t>0	O から右の半直線
	t<0	O から左の半直線
	0<t<1	OA の間の線分

	同じ (1) 式が、t の範囲を制限することにより、色々な図形を表すことになる

# ここまでは、直線の上(1 次元)なので、簡単だったが、今度は 2 次元

	OA = a と OB = b が独立とする ( 三角形 OAB が潰れない )。

	直線 AB 上の点 P の位置ベクトルを x とすると、
		x = OA + t AB ( t \in R )
		  = a + t ( b - a )
		  = (1-t) a + t b .. (2)
	となる。
	この (2) は、直線 AB の式。

	ここで、s = 1 - t と置けば、(2) は、

		x = s a + t b ( s+t=1, s, t \in R ) ... (3)

	と表すこともできる。

		# この時は、 s+t=1 の条件を必ず書く必要がある

	(2) の式で、t に制限を加えると、

		t>0 は、A から B の方向の半直線
		t<0 は、A から B と反対方向の半直線
		t>1 は、B から A と反対方向の半直線
		t<1 は、B から A の方向の半直線
		0<t<1 とすれば、線分 AB

	(3) の形では、
		s+t=1, 0 < t < 1 とすれば、線分AB
		s+t=1, t > 0, s > 0 とすれば、やはり線分AB

		# 同じ意味で、複数の表現があることに注意

==

[内分/外分]
	# これは高校の復習

[内分]
	線分 AB を m:n に内分する点 P の位置ベクトルを x とすると

		   A	P	B 
		---*----*-------*----
		     m      n


		AP = \frac{m}{m+n} AB

		# t = \frac{m}{m+n} となっていることに注意

	なので、

		x = \frac{n}{m+n} a + \frac{m}{m+n} b

	となる。

		# 特に、m=n=1 の時は、中点の式になっている

[外分]
	線分 AB を m:n に外分する点 P の位置ベクトルを x とすると

	m>n の時

		         m
		   A	B	P
		---*----*-------*----
		     m-n   n

	より、
		AP = \frac{m}{m-n} AB
			# t = \frac{m}{m-n}

	一方、m<n の時

		         n
		   A	B	P
		---*----*-------*----
		     m    n -m

	より、
		AP = - \frac{m}{n-m} AB
			# t = - \frac{m}{n-m}

	
	# この二つの式は異なる形のようにみえるが、実際に計算してみると同じ形になる


		x = - \frac{n}{m-n} a + \frac{m}{m-n} b
		  =   \frac{n}{n-m} a - \frac{m}{n-m} b

	# 特に、外分のことを覚えておくように !!

==
	
	前の (3) の式に戻って、

		x = s a + t b

	の s, t に関して、色々な場合を考えてみる。

		s + t = 0

	の時、t を R から自由に取れば、原点 O を通り、AB に平行な直線上の点になる。 

		s + t = 2

	の時、
		OA' = 2 OA = 2 a
		OB' = 2 OB = 2 b
	とし、
		t' = \frac{t}{2}
		s' = \frac{s}{2}
	とすれば、
		x = s a + t b
		  = \frac{s}{2} (2 a) + \frac{t}{2} (2 b)
		  = s' OA' + t' OB'
			( s' + t' = 1 )
	なので、要するに、直線 A'B' 上の点
		# ここら辺で、規則性質がみえてきた。

		s+t=1 AB 上の点
		s+t>0 AB より O と反対側の半平面
		s+t<0 AB より O と同じ側の半平面
	
		t = 0 の時は、線分 OA 上の点
		t > 0 の時は、線分 OA 上から、B と同じ側の半平面
		t < 0 の時は、線分 OA 上から、B と反対側の半平面

		s = 0 の時は、線分 OB 上の点
		s > 0 の時は、線分 OB 上から、A と反対側の半平面
		s < 0 の時は、線分 OB 上から、A と同じ側の半平面


		  t = 0		   s = 0
		t<0 \  t>0     s>0 / s<0
		     \            /
		      \          /	s + t > 0
		-------*--------*------ s + t = 1
		      A	\      / B	s + t > 0
			 \    /
			  \  /
			   \/
			    * O
			   /\

		特に、三角形の内部は、
			s + t < 1
			t > 0
			s > 0
		で表現できる。

	平行四辺形の内部は、
		0 < t < 1
		0 < s < 1
	で表現される。

	# 平面上の図形を、ベクトル形式で表現できるようにしておくこと

# この他に、平面上の図形で、ベクトルで表し易いのは、円

	点 A を中心に、半径 r の円上の点 P とすると、
		AP = r
	なので、

		| x - a | = r

	が、円の方程式となる。

	# 楕円とか、放物線などは、ベクトルで表すのは大変


# ここで、教科書に戻る

==

[空間内の直線]

	点 P_1 (x_1) を通り、ベクトル a に平行な直線の式

		x = x_1 + t a ( t \in R )

		# これは、平面の時と同じ式になっている事に注意	

	これを、

		a = P_2 P_2

	として、各々の点の座標を

		P_1 ( x_1, y_1, z_1 )
		P_2 ( x_2, y_2, z_2 )
		P   ( x, y, z )

	としたら、それぞれの位置ベクトルの関係から

		  x       x_1         x_2 - x_1
		( y ) = ( y_1 ) + t ( y_2 - y_1 )
		  z       z_1         z_2 - z_1

	よって、

		\frac{x-x_1}{x_2-x_1} = \frac{y-y_1}{y_2-y_1} = \frac{z-z_1}{z_2-z_1} ( = t )

	が、直線の方程式

例 1

	  x + 2 y + 3 z =  1
	2 x + 2 y +   z = -1

	# 空間で、一次式が二つあれば、直線
	# 空間で、一次式が一つで、平面だが、二つの平面の共通部分(交線)が空間の直線となる

	連立すると
		z = x + 1
		y = -2x - 1
	となるので、これより、

		x = \frac{-y-1}{2} = z - 1

	で直線の式。

	ベクトル表記したい場合は、適当に、x に値をいれて、この直線上の
	相異なる二点の座標を求める。
	例えば、
		(  0, -1, 1 )
		( -1,  1, 0 )
	これより、

		  x        0         -1
		( y ) = ( -1 ) + t (  2 )
		  z        1         -1

	が得られる。

	# ここで、点の取り方は色々あるので、答も色々でてくる可能性がある。

例 2

	直線 l_1 (a に平行) と l_2 (b に平行) の為す角をθとする
		# 為す角は二通り勘がられるが、小さいを方を取る
		#	0 <= θ <= \frac{π}{2}

	ベクトル a と b の為す角は
		θ か π - θ

	ここで、
		\cos{θ} = \frac{(a,b)}{|a||b|}
	なので、

		\cos{θ} =   \frac{(a,b)}{|a||b|} ( (a,b) > 0 の時 )
			 = - \frac{(a,b)}{|a||b|} ( (a,b) < 0 の時 )

	# 符合によって区別するのは大変なので、一つにまとめると
		
	これより、

		\cos{θ} = \frac{|(a,b)|}{|a||b|}

	となる。

[直線と点の距離]
	# 実は、計算の方法は、空間でも平面と同じ
	# ∵ 空間内に直線と点があれば、それを含む空間上の平面が存在する
	#    後は、その平面上で話をすれば、平面上の話なので、結果も変らない

	l : x = x_1 + t a と、点 P (x_0) との距離を
		PP' = | x_0 - x_0' |
	とすると、

		x_0' = x_1 + t a
		(a, x_0 - x_0' ) = 0

	より、
		(a, x_0 - x_1 - t a ) = 0
	だから
		t = \frac{(a,x_0-x_1)}{(a,a)}}
	これより、

		x_0' = x_1 + \frac{(a, x_0 - x_1)}{(a,a)} a

	よって、

		| x_0 - x_0' | = | x_0 - x_1 - \frac{(a, x_0 - x_1)}{(a,a)} a |

	となる。

	これの両辺を二乗して整理すると、教科書の形になる

		# ここら辺は、前回と全く同じ
		# Text では、ちょっと表現が異なるのは、計算を二乗でやっているから

==

	# 空間内の直線の式を、ベクトル形式と、方程式の形でかけるようになって欲しい !!


問 二点 (1,1,2), (2,3,4) を通る直線の式

	l : \frac{x-1}{2-1} = \frac{y-1}{3-1} = \frac{z-2}{4-2}

より、

	l : x-1 = \frac{y-1}{２} = \frac{z-2}{2}

また、ベクトル表示は、

          x	  1         1
	( y ) = ( 1 ) + t ( 2 )
          z	  2	    2

となる。


問 二点 (1,1,2), (1,3,4) を通る直線の式

	l : \frac{x-1}{1-1} = \frac{y-1}{3-1} = \frac{z-2}{4-2}

ここで、x の項目は、分母が 0 なので、これは分けて、分子を 0 とする。

	l : x = 1, y = z-1

	# 注意が必要 !!
	# ベクトル表示の場合は気にする必要はない。


          x	  1         0
	( y ) = ( 1 ) + t ( 2 )
          z	  2	    2


問 二点 (1,1,2), (1,1,4) を通る直線の式

	l : \frac{x-1}{1-1} = \frac{y-1}{1-1} = \frac{z-2}{4-2}

ここで、今度は、x と y の両方で、分母が 0 なので、これは分けて、分子を 0 とする。
のこりは、式が既に、二つあるので、三つ目は捨てる

	l : x=1, y=1

# 空間の直線の方程式ってやってる ? ==> 確認する。