代数幾何 I 古津先生 (2008/05/22)

# また、20 分遅刻

## 以下は、去年のメモの一部をコピー

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代数幾何 I 古津先生 (2006/06/07)

# 今週から「線型変換」の話
# 今週は平面、来週は空間の話をするが、内容的には同じような感じ

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平面の線型変換

	平面上の点 P (x,y) ( その位置ベクトルを v ) を原点を中心にαだけ、反時計周りに、回転した点を P'(x'y') ( その位置ベクトルを v' ) としたとき、このような操作を行う変換はどうなるか ?
		# 面倒なので、OP と x 軸がなす角を、θとしておく ( これはちょっと反則 )

	v と v' の関係を考える
		回転なので、長さは変らないはず
			|v| = |v'| = r
		よって、
			x = r \cos{\thita}
			y = r \sin{\thita}

			x' = r \cos{\thita+\alpha}
			   = r \cos{\thita}\cos{\alpha}-r\sin{\thita}\cos{\alpha}
			   = \cos{\alpha} x - \sin{\alpha} y

			y' = r \sin{\thita+\alpha}
			   = r \sin{\thita}\cos{\alpha}-r\cos{\thita}\sin{\alpha}
			   = \sin{\alpha} x + \cos{\alpha} y

		よって、
			( x' ) = ( \cos{\alpha}x - \sin{\alpha} y )
			  y'       \sin{\alpha}x + \cos{\alpha} y
			       = ( \cos{\alpha}  -\sin{\alpha} ) ( x )
			           \sin{\alpha}   \cos{\alpha}     y
		この行列
			( \cos{\alpha}  -\sin{\alpha} )
			  \sin{\alpha}   \cos{\alpha}
		を 角度\alpha だけ回転する、回転の行列と呼ぶ

		この行列を A で表せば、

			v' = A v

		の形で、成分を記述しない形にかける

	# 実は、このようにベクトルと係数を分けて書くために、行列が考え
        # られ、この等式が成立するように、行列とベクトルの積が定義され
        # た。この定義は、もちろん、高校までで学んだ内容と同じである。


	更に、P' を \beta だけ回転させる行列を B とし、その結果を P'' とする。
	また、元の P を、\alpha + \beta だけ回転させる行列を C とすれば、
	当然、結果が等しいので、

		v'' = B v' = B(A v) = (BA)v = C v

	とならなければならない。そこで、この等式

		BA = C

	となるように、行列 A, B の積を定義すればよい。

	( \cos{\alpha}  -\sin{\alpha} ) ( \cos{\beta}  -\sin{\alpha} )
	  \sin{\alpha}   \cos{\alpha}	  \sin{\beta}   \cos{\beta}
		= 	( \cos{\alpha + \beta}  -\sin{\alpha + \beta} )
			  \sin{\alpha + \beta}   \cos{\alpha + \beta}

	# これが、行列の掛け算の本来の由来

	これを一般にすると、

		AB = ( a b ) ( p q )
		       c d     r s

		   = ( pa + qc   pb + qd )
		       ra + sc   rb + sd

	となる ( ように定める = 定義 !! )。

	#!! 行列の積はきちんと計算できるように !!!!

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	定理 (線型性)
		A(x+y) = Ax + Ay
		A(cx)  = c Ax

		# 証明は略 ( 行列の積の定義からすぐにでる )
		# この関係は、今年と来年の講義で、なんども嫌というほど出てくる

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# ここから、今日の話題

## 行列の計算も、結局は、行列とベクトルの積で表現できるので、最小限度、
## 行列とベクトルの積はできるようにしておく !!!

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色々な線型変換

x 軸に関する折り返し ( x 軸に関して、線対称な点へ写す変換 )

	素の点 P を (x,y), それと x 軸に対して、線対称な点 P' を (x',y') とする
	図形の性質から

		x' = x
		y' = -y

	となる、
	これから、変換の行列は、

		( 1  0 )
		  0 -1

	となる。

同様に、y 軸に関する折り返しは、

		x' = -x
		y' = y

	となる、
	これから、変換の行列は、

		( -1 0 )
		   0 1

	となる。

また、直線 y = x, y = -x に対する折り返しを考えると、

	y = x の場合、図形の性質から、x 座標と y 座標が入れ替わるので、

		x' = y
		y' = x

	となる、
	これから、変換の行列は、

		( 0 1 )
		  1 0
	となる。

	y = -x の場合、図形の性質から、x 座標と y 座標が入れ替わり更に符合も変るので、

		x' = - y
		y' = - x

	となる、
	これから、変換の行列は、

		(  0 -1 )
		  -1  0
	となる。

# 実は、原点を通る直線に関する、一般的な折り返し変換の公式があり、それを利用すれば、
# 以上の話題は、一つにまとめて考えることができるが、それは、今回は後回し

# 以上で、線に関する折り返しの話は済んだので、今度は点に関する対称

原点に関する折り返し

	図形の性質から、
		x' = -x
		y' = -y
	これから、変換の行列は、

		( -1  0 )
		   0 -1
	となる。

	# 一方、「平面の場合」(空間の場合は、そうならない..) は、原点の
        # 廻りの 180 度回転とみなすことができるので、先の回転の公式に
	# \pi を代入してもよい

# このように平面上の点の変換は、行列で表すことができるただ、平面上の点
# の変換が、必ず行列で表すことができるわけではない例えば、平行移動など
# は、良く利用するが、これは行列では表現できない

## 実は、ちょっと工夫すれば、できるのだが、それはまた今度

# そこで行列で表現できる変換は特別だと考えてよいので、以下のように行列
# で表現できる変換を定義する。

[定義](線型変換)

	T : V^2 --> V^2 変換が

		T(x+y) = T(x) + T(y)
		T(c x) = x T(x)

	を満す時に、「T は、V^2 の線型変換」という

# 「変換」というのは、「写像」の内、「値域」と「定義域」が同じもの
# だから、「変換」は、常に「写像」でもある

	# この式は、この後いやというほどでてくる !!

[定理]
	T_A : V^2 --> V^2 (変換, A は、実 2 次行列) を、

		T_A(x) = Ax

	とすると、 T_A は、線型変換である。

	(proof)
		T_A(x+y) = A(x+y) = Ax + Ay = T_A(x) + T_A(y)
		T_A(c x) = A(c x) = c (Ax) = c T_A(x)

[定理]
	上記のことは

	{ 実2次行列 } ----> { V^2 上の線型変換 }
	   \in			\in
	    A |----------------> T_A

	となる対応があること意味するが、実は、逆も成立する。

	# これは重要 !!
	# 「次の変換に対応する行列を求めよ」という問題が出る !!!

	逆に T を V^2 お線型変換とする

		e_1 = ( 1 ),    e_2 = ( 0 )
			0		1

	に対して、

		T e_1 = ( a ), T e_2 = ( b )
		  	  c		 d

	とすれば、
		V^2 の任意の元 v = ( x )
				   y
	に対して

		v = x e_1 + y e_2

	なので、

		T ( v ) = T ( x e_1 + y e_2 )
			= T(x e_1) + T(y e_2)
			= x T(e_1) + y T(e_2)
			= x ( a ) + y ( c )
			      b         d
			= ( ax + by )
			    cx + dy
			= ( a b ) ( x )
			    c d     y

		よって、
			A = ( a b )
			      c d
		とすれば、

			= A x
		よって、

			T = T_A

	# 単位ベクトルの行き先を並べれば行列が得られる

	{ 実2次行列 } ----> { V^2 上の線型変換 }
	   \in			\in
	    A <----------------| T_A

	# つまり、逆対応ができたので、一対一対応になっている

	# 有限なら数が同じと言いたいが、無限なので、「一対一対応になる」としか言えない

[定理]
	T_B T_A = T_{BA}

	proof)
		（T_B T_A) x = T_B( T_A(x) )
			     = T_B( Ax )
			     = B( Ax )
			     = (BA)x
			     = T_{BA}(x)

==

射影子

[定義] (正射影)
	ベクトル a を固定し、任意のベクトル x に対して、
		 始点を一致させ、x の終点から、a へ下した垂線の足を H とする
		 そして、始点から H へのベクトル x' を x の a への「正射影」と呼ぶ


	# 二次元の場合は一つしかないので簡単
	# 三次元になると、直線や平面への射影子が出てくるのややっこしい


[定義] (射影子)
	変換

	T : V^2 ---> V^2
	    \in      \in
	    x |-----> x'

	を、a への「射影子」と呼ぶ

	具体的に T を求めてみると..,

		# 点と線分の距離の公式と同じことをやっている

		x' = ta
		(a, x-x') = 0

	となるので、
		(a, x -ta ) = 0
		(a,x) = t(a,a)
	より、
		t = \frac{(a,x)}{(a,a)}
	よって、

		x' = \frac{(a,x)}{(a,a)}a = Tx

	これは、x の a への正射影を求める式になっている。


[定義]
	射影子は、線型変換

	proof)
		T (x,y) = \frac{(a,x+y)}{(a,a)}a
			= \frac{(a,x)}{(a,a)}a + \frac{(a,y)}{(a,a)}a
			= T(x) + T(y)

		T (c x) = \frac{(a,c x)}{(a,a)}a
			= c \frac{(a,x)}{(a,a)}a
			= T (x)

# 射影子は、線型変換なので、それに対応する行列があるはずなので、それを求める


	a = (a) ( =/= 0 ) とすると
	     b

	T e_1 = \frac{(a,e_1)}{(a,a)}a = \frac{a}{a^2+b^2} ( a )
							     b

	T e_2 = \frac{(a,e_2)}{(a,a)}a = \frac{b}{a^2+b^2} ( a )
							     b

	よって、

	A = ( \frac{a^2}{a^2+b^2} \frac{ab}{a^2+b^2} )
	      \frac{ab}{a^2+b^2} \frac{b^2}{a^2+b^2} )

# この話をややっこしくしたものを後期にやる。ただし、その話は 4 章にある

==

アンケート : Web で行う

	古津先生のコード		1190
		# アンケートに答えてくれた人は、ちょっとボーナスがある !!

	利根川先生のコード	1191
	
	二週間以内に行うこと !!