代数幾何 I 古津先生 (2008/06/05)

# 前回の話

	{二次行列}  --> { V^2 の線型変換 }
	   \in	            \in
	    A     |-->      T = T_A

	これは、逆もいえる
		T_A から A を得るには、T(e_1) と T(e_2) を計算すれば良い
			A = ( T(e_1), T(e_2) )

# 今回は、これの 3 次元(空間版)
# 空間の話をするために、まず、空間の線型変換の話から考える

==

[定義] (空間の線型変換)

	V^3 の変換 T が、
		T(x+y) = Tx + Ty		
		T(c x) = c Tx
	を満す時に T を V^3 上の「線型変換」と呼ぶ。
		# この条件は、平面の時と同じ
		#	=> これからも何どもでてくる

[定義] (三次行列)

	      a_11 a_12 a_13
	A = ( a_21 a_22 a_23 )
	      a_31 a_32 a_33

	# 次元が上ると要素が多くなるので大変

[定義] (行列とベクトルの積)

	      x
	v = ( y ) の時、
	      z

	       a_11 x + a_12 y + a_13 z
	Av = ( a_21 x + a_22 y + a_23 z )
	       a_31 x + a_32 y + a_33 z

[定義] (行列と行列の積)

	      b_11 b_12 b_13
	B = ( b_21 b_22 b_23 ) = ( b_1, b_2, b_3 )
	      b_31 b_32 b_33

の時、

	       c_11 c_12 c_13
	AB = ( c_21 c_22 c_23 ) = ( A b_1, A b_2, A b_3 )
	       c_31 c_32 c_33

とすれば、

	c_ik = \sum_{j=1}^3 a_ij b_jk

となる。

	# 数が多くなっても、\sum を利用すれば、毎回同じ
	# 実は、平面の時も \sum でかけるし、また、平面の時にやったことは \sum で成立


[定理] (空間版)
	AB(x) = A(Bx)
	A(BC) = (AB)C

[定理] (空間版)
	A(x+y) = Ax + Ay
	A(cx) = cAx

[定理]
	T_A x = A x
とすれば、
	T_A は線型変換


# 平面と同様、線型変換と、行列が対応する

	{三次行列}  --> { V^3 の線型変換 }
	   \in	            \in
	    A     |-->      T = T_A
	    ||
	  (T e_1, T e_2, T e_3 )

# 単位ベクトルの取りかたは、右手系と左手系がある
#	どちらを選んでも同じ ( 決めておく必要はある )
#	図を書く時には変ってくる
#	テキストでは、右手系なので、講義でも右手系を採択する


[線型変換の例]

	原点に関する点対称
		T x = - x
	に対応する行列は、
					      -1  0  0
		A = (T e_1, T e_2, T e_3) = (  0 -1  0 ) = -E
					       0  0 -1

	# 三角形を変えない変換は、線型変換


	z 軸の回り角αの回転 ( x 軸から y 軸の方向を正とする )

			   \cos α
		T e_1 = (  \sin α )
			     0

			  -\sin α
		T e_2 = (  \cos α )
			     0

			     0
		T e_3 = (    0     )
			     1

	より、

		       \cos α -\sin α 0
		A = (  \sin α  \cos α 0 )
			 0        0    1

	となる、

	# 右手系の時の回転は、
	#	e_1 が e_2, e_2 が e_3, e_3 が e_1 になる方向を正の回転の方向
	# と决めることが多い


	x 軸の回りの回転

		      1    0       0
		A = ( 0 \cos α -\sin α )
		      0	\sin α  \cos α

	y 軸の回りの回転
		        \cos α  0 \sin α 0
		A = (     0      1   0         )
		       -\sin α  0  \cos α 0


[定義] (ベクトルへの射影子)

	a \in V ( \ne 0)

	a への射影子 T

		T x = \frac{(a,x)}{(a,a)}a


	# 平面の時とまったく同じ ( ベクトルが二つあるというだけなので.. )
	# 考え方も式も同じ (図形が変っていない)


[定義] (平面へ射影子)

	u, v \in V : 線型独立

	S  を u, v の張る平面への射影子
		# 原点を通って、u, v の張る平面

	x' を u, v の張る平面への正射影

	# u, v だと表現が大変なので、u, v に垂直な法線ベクトルを利用する

	上記の平面法線ベクトルを a とすると、

		S x = x - \frac{(a,x)}{(a,a)}a = x - T a

	# この式は、点と平面の距離の計算と同じ

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[例] 次の行列に対応する線型変は何か ?

(イ)
	 -1  0  0
	( 0  1  0 )
	  0  0 -1

	e_1 -> - e_1
	e_2 -> e_2
	e_3 -> - e_3

	これは、
		y 軸に関する、線対称
	あるいは
		y 軸の回りの 180 度の回転	

(ロ)		
	省略 ( x 軸に関する回転なので.. )

(ハ)
	  0  1  0
	( 0  0  1 )
	  1  0  0

	e_1 -> e_3
	e_2 -> e_1
	e_3 -> e_2

	# これは、回転くさい
	#	回転ならば、軸(動かないもの)があるはず。..

	e_1 + e_2 + e_3 を考えてみると...
		e_1 + e_2 + e_3 -> e_1 + e_2 + e_3
	と変化しない ( これが軸だ.. )
	# 回転なので、軸がわかれば、あとは、回転の量
	三度回転すれば、元に戻る
		回転角度は、-120 ( か、 240 )
	# よって結論
		x = y = z を中心に -120 (240) 度の回転

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[射影子の行列]

	      p
	a = ( q ) ( \ne 0 ) \in V^3 への射影子 T の行列を考える
	      r

		A = ( T e_1, T e_2, T e_3 )

					  			         a
		T e_1 = \frac{(a,e_1)}{(a,a)}a = \frac{a}{a^2+b^2+c^2} ( b )
						  			 c

	よって、

					    a^2 ab   ac
		A = \frac{1}{a^2+b^2+c^3} ( ab  b^2  bc  )
					    ac  bc   c^2

[平面への射影子の性質]

	a, b, c (\ne 0) \in V^3 が互いに直交する
	T : a への正射子
	S : b, c の張る平面への正射子
		# a は、b, c の張る平面の法線ベクトルになっていることに注意

		T x = \frac{(a,x)}{(a,a)}a
		S x = x - \frac{(a,x)}{(a,a)}a

	(1) T^2 = T, S^2 = S
		# これは、図を描けば当りまえだが、式でもやっておく

		T^2 x = T(T x)
		      = \frac{(a,T x)}{(a,a)}a
		      = \frac{(a,\frac{(a,a)}{(a,x)}a)}{(a,a)}a
		      = \frac{(a,a)}{(a,x)}\frac{(a,a)}{(a,a)}a
		      = \frac{(a,a)}{(a,x)}a
		      = T x
		# S^2 の方も同様

	(2) TS=ST=O
		# これも図形から明かなのだが、やはり、計算でやってみる

		S x = x - T x なので
			TS x = T ( S x )
			     = T ( x - T x )
			     = T x - T^2 x
			     = T x - T x
			     = 0

	# 射影子の話は、一般的な形で、後期後半にもう一度やる

==

# 残りの時間で行列式の話
# 真面目にはなしをすると、大変なので、実際には、後期の後半でまとめてやる
## 一般論を展開すると、要素が多いので大変。今回は、平面と空間だけでやる

[定義] (行列式)

	A = ( a b ) = ( u, v )
	      c d

の時、
	ad - bc を A の「行列式」と呼び、
		| a b |, |A|, det A, det(u,v)
		  c d
	などで表す。

	# 二次元だと、「襷掛け」となる
	#	＋が一つ、−が一つ
	# 三次元だと、
	#	＋が三つ、−が三つ
	# 次元があがると、どんどん、複雑になる


[定理]
	u, v が独立 <-> det(u,v)

	det(u,v) = - det(v,u)			# 反対称性

	det(u+u',v) = det(u,v) + det(u',v)	# 和が外にでる
	det(c u,v) = c det(u,v)			# 定数倍が外に出る
		# この二つの性質は、前のベクトルに対する線型性を意味する
		# 更に、上記の反対称性を利用すれば、後のベクトルに対して、線型性がいえる

[定理] ( 行列式の積が分けられる )
	|AB| = |A| |B|
		# この性質は、行列式と大変重要な性質
		# これは、二次元だけでなく一般の n 次元で成立する
		# 一般の n 次元で、まじめにやると大変なので、今回の 2 次元だけ真面目にやって、いか n 次元は、省略する


	この ad-bc = |A| という式は以前にでてきた

		実は、ベクトル u,v の作る平行四辺形の面積が、実は |ad-bc| = | |A| |
		|A| の図形的な意味は、u,v の作る平行四辺形の面積に符合のついたもの
			符合はどうやって決るのか ?
			u と v の関係で決る
			e_1 と e_2 で考えると
				(e_1,  e_2) = 1
				(e_1, -e_2) = -1
			なので、
				e_1 から  e_2 の角度は 90  度なので正
				e_1 から -e_2 の角度は 270 度なので負
			と考えることができる
			一般に	
				u, v の為す角度が
					0 から 180 なら正
					180 から 360 なら負

	# 行列式のもう一つの図形的解釈

		X = (x_1, x_2)

	とすると、

		|AX| = | A(x_1,x_2) | = | (Ax_1, Ax_2) |
		 ||		      = det( A x_1, A x_2 )
		|A||X| = |A| det(x_1,x_2)

	これから、
		|A| は、x_1 と x_2 の作る平行四辺形の面積
	と
		A x_1 と A x_2 の作る平行四辺形の面積
	の比

	# すこしいい加減だが
	#	全ての図形は、三角形の組み合わせで表すことができる ( 円なども !! )

	|A| は、A で図形を移した時の面積の拡大率を表す
		# ただし、正負があるので、絶対値を付てのはなし

==

# 次に「ベクトル積」をやるが、ちょっと面倒なので、次回に回す
# 注意として、「ベクトル積」は「三次元だけの考え方」であることを述べておく