代数幾何 I 古津先生 (2008/06/12)

# 少し(10 分くらい)遅刻した

==

# 二次元のクラーメル (行列式の応用)

[定理] (クラーメルの公式)

 ad-bc\ne0 の時

	a x + b y = e
	c x + d y = f

の連立方程式は、

	A = ( a b )
	      c d

	v = ( x )
	      y

	u = ( e )
	      f
	
の時、

	A v = u

と表現でき、その時の解は、

	x = \frac{|e b|}{|a b|}
		   f d    c d

	y = \frac{|a e|}{|a b|}
		   b f    c d

と一意に定まる。

==

[定義] (外積)
	a,b \in V^3 に対して、以下の条件を満すベクトル c がただ一つ定まる
	(1) c は、a, b 共に垂直
	(2) a,b,c 右手系
	(3) |c| は、a,b のなす平行四辺形の面積
		# ただし、a,b が平行の時は、c = 0 となる。

これを、a,b の「外積(ベクトル積)」とよび、a \times b で表す。

	# この概念は、「三次元固有の概念」であることに注意 !!

[定理]
	(c a) \times b = c (a \times b) = a \times ( c b )
	a \times b = - b \times a

# 足し算は大変なので、あとでやる ( 成分でやるほうが簡単なので.. )
#	図形的な意味(平行四辺形の面積)でやっていると大変なので

	# !!! 外積は計算できるようにしておくこと

[定理] ( 外積の成分表示 )

	      a           a'
	u = ( b ), u' = ( b' )
	      c           c'

	の時、

			| b b' |	b c' - c b'
			| c c' |

	u \tims u' =  (	| c c' | ) =  (	c a' - a c' )
			| a a' |

			| a a' |	a b' - b a'
			| b b' |


	proof)
		右辺を v とすると、
			(u, v) = .. = 0
		すなわち、u と v は垂直。同様にして、u' とも垂直
		u = e_1, u' = e_2 とすれば、 v = e_3 なので、右手系
			# 右手系から左手系に移るには、途中で同一平面上になる必要がある
			#	v の作り方から、v と u,u' が同一平面上になることはない

		u, u' の作る平行四辺形の面積を S とすると
			|S|^2 = |u|^2 + |u'|^2 - (u,u')^2
		これを計算すると
			|S|^2 = |v|^2
		となる。

		以上により、三つの性質を満すので、v は、u と u' の外積

[定理]
	(a+a') \times b = (a \times b) + (a' \times b)
	a \times (b+b') = (a \times b) + (a \times b')
		proof) 成分の計算から明か


# 次に、この外積を利用して、三つのベクトル a,b,c が作る平行六面体の体積を求める
# 	この三つのベクトルは右手系とは限らないことに注意
#		=> 右手系と左手系では、符合が変る

	右手系と左手系の違いに注意しながら、体積 V を計算すると

		V = S x d	# S は a, b の作る平行四辺形
				# d は、c から a,b に下した垂線の長さ
	          = |a \times b| |c| |\cos{θ}|
			        # θ は、S と b の為す角度
				# |\cos{θ}| にするには、
				#	右手系   0<θ< \pi (\cos{θ}>0)
				#	左手系 \pi<θ<2\pi (\cos{θ}<0)
				# で符合が変るため
				# 体積は常に正なので、絶対値を付ける

	更に、θ を a \times b と c の為す角度とすれば、
		(a\times b, c) = |a \times b| |c| \cosθ
			# この式は、a,b,c が右手系なら正、そうでなければ負になる
	となる。

# 今度は、これを利用して三次元の行列の行列式を計算する


[定義] (三次行列の行列式)


		a_11 a_12 a_13
	  A = ( a_21 a_22 a_23 ) = ( a_1, a_2, a_3 )	
		a_31 a_32 a_33

の時、

	(a_1 \times a_2, a_3)

を
	行列 A の「行列式」と呼び、

		| a_11 a_12 a_13 |
	   |A|,	| a_21 a_22 a_23 |, det A, det(a_1,a_2,a_3)
		| a_31 a_32 a_33 |

	などで、表す。

	# この値は、ベクトルが右手系か、左手系かによって符合が異なることに注意

[定理]
	a_1, a_2, a_3 のいずれか一つを交換すると符合が変る
		# 右手系と左手系が変るから

[定理]
	det( a+a', b, c ) = det(a,b,c)+det(a',b,c)
	det( k a, b, c ) = k det( a, b, c )
		# det の中身は、外積と内積だが、共に線型性を満すので

	
	| a_11 a_12 a_13 |
	| a_21 a_22 a_23 | =   a_11 a_22 a_33
	| a_31 a_32 a_33 |   + a_12 a_23 a_31
			     + a_13 a_21 a_32
			     - a_11 a_23 a_32
			     - a_13 a_22 a_31
			     - a_11 a_23 a_32

	# !!! 三次の行列式は計算できるようにしておくこと

[定理]
	|AB| = |A||B|

	# これは、二次と同じように成立するが、計算が大変なのでやらない
	# 一般に n 次でも成立するし、その時の証明では抽象的に行う


[定理]

		x_11 x_12 x_13
	  X = ( x_21 x_22 x_23 ) = ( x_1, x_2, x_3 )
		x_31 x_32 x_33

	とすると、

		|AX| = det( A x_1, A x_2, A x_3 )
		 ||
		|A||X| = |A| det( x_1, x_2, x_3 )

	すなわち、T_A は、図形の体積を |det A| 倍する
		# 絶対値記号は、det A に符合が付くため

==

直線l: x = x_1 _ t a と、点P(x_0)の距離は、

	\frac{\sqrt{ |a|^2|x-x_0|^2 - (a,x_0-x_1)^2 }}{|a|}

で表現できたが、外積を利用すると

	\frac{|a \times (x_0-x_1)|}{|a|}

と簡単に表現することができる。

[定理] 直線と直線

	l_1 : x = x_1 + t a
	l_2 : x = x_2 + t b

の距離を考える。

	空間内の直線の関係は、以下の三つ
		交わる
		平行
		捻れの位置

	(捻れの位置) の場合
		l_1, l_2 に共に垂直で交わる直線を考え、その直線と交点を
		P(p),Q(q) とする
			p = x_1 + t a
			q = x_2 + s b
		と直交条件
			(a, q-p) = 0
			(b, q-p) = 0
		から、t と s に関する連立方程式
			(a,a) t - (a,b) s = ( a, x_2-x_1 )
			(b,a) t - (b,b) s = ( b, x_2-x_1 )
		が得られる。
		# クラーメルの公式を利用したいので、まず係数行列行列式を考えると

			| (a,a) -(a,b) | = - { |a|^2 |b|^2 - (a,b)^2 )
			| (a,b) -(b,b) |

		ここで、a,b が同一平面にないので、(そうでないと捻れの位
		置にならない)これは、0 にならない。

		よって、クラーメルの公式より、唯一つの解 t_0, s_0 が存在し、

			P_0 ( x_1 + t_0 a )
			Q_0 ( x_2 + s_0 b )

		に対して

			| P_0 Q_0 |

		が求める長さ。

		# 最初に与えた条件「PQ が l_1, l_2 に垂直」の条件は
		# もし、垂直できない点 Q' を考えると、直角三角形の辺の
		# 長さの性質より、PQ_0 < PQ' が成立するため

		x_2 - x_1 = c + t_0 a - s_0 b

	ここで、P_0 Q_0 = c とすると、c は、a,b と垂直なので、

		(c, x_2-x_1) = (c,c)
		c = k a \times b

	とできる。そこから、

	|c|	= \frac{|(c,c)|}{|c|}
		= \frac{(c,x_2-x_1)}{|k|a\times b|}
		= \frac{(k a \times b,x_2-x_1)}{|k| |a\times b|}
		= \frac{(a \times b,x_2-x_1)}{|a\times b|}
		= \frac{\det(a,b,x_2-x_1)}{|a\times b|}

	と、計算できる。

==

# 今後

この後は、行列の話ばかりをする。ただし、今度は、2, 3 次とは限らない高次
/抽象な場合をやる
	=> 解らなくなったら 2, 3 次元に戻る

行列の話がおわったら、次は行列式で、その次に、再び、線型空間(いまやって
いるV^2, V^3 の一般形)をやる。それは、一般の線型空間を考えるのに、一般
の行列がわかっていないと困るので..


三次の行列式
外積
	# 公式的な計算ができるように