代数幾何 I 古津先生 (2008/06/19)

行列

# いままで、3 行 3 列までだったが、今日から、一般の m 行 n 列の行列を扱う

[定義] (m,n) 行列

		1 列           n 列
		a_11 a_12 ... a_1n    1 行
	A =   (	a_21 a_22 ... a_2n )

		a_m1 a_m2 ... a_mn    m 行

		a_ij \in \C
			# 要素は、実数の場合と複素数の場合がある
			# 一般には、複素数の場合を扱うが、特に実数に限定する場合は、断ってから扱う。

	これを、
		A = ( a_ij )
	と記述することがある。

	# これは、あくまでも省略形であり、1 行 1 列の行列を表すわけではない(注意)

[定義] 行列 A と B が等しいとは
	A, B が同じ
で、
	a_ij = b_ji ( \for i, j )
の場合。
この時、
	A = B
と書く。

行列の特別な形

[定義]	(m,1) 型
		m 項(列/縦)ベクトル

[定義]	(1,n) 型
		n 項(行/横)ベクトル

	# 片方が 1 の場合は特別な場合

[定義]	(n,n) 型
		n 次(正方)行列

	# 縦と横が同じ場合も特別
	# これまでは n が 2 と 3 の場合

# これから、行列を色々扱いたいので、行列の演算を决める(定義する)必要があるので、それを行う。

[定義] (A, B の和)
	# 和は、二つの行列が同じ型の場合だけ定義される

	A = (a_ij) : (m,n) 型
	B = (b_ij) : (m,n) 型

に対して、

	A と B の和 A+B は

		A+B = ( a_ij + b_ij )

	で定義する。

	# これまでと同じ

[定義] (スカラー倍)

	# これまでは、スカラーは、実数しか考えてこなかったが、今回から
	# は、成分が複素数になったので、スカラー倍のスカラーも複素数の
	# 場合を考える

	A = (a_ij) : (m,n) 型, c \in \C

に対して、

	A の c 倍 cA は、

		cA = ( c a_ij )

	で定義する。

	# これまでと同じ

	# 殆どは、これまでと同じなので、できれば、「全部同じ」で済ませ
        # ることができれば楽なのだが、ちょっと違う処もあるので、しょう
        # がないので、同じ処も違う処も、一通りやる

[定義] (差)

	(-1)A を -A と書く
	A+(-B) を A-B と書く

	# 成分毎に足し算するので、成分の性質(結合律/交換律/分配律) などがそのまま使える

[定義] (零行列)
	# 特別な行列。次にもう一つ出てくる

	成分が全て 0 であるような (m,n) 行列を 「(m,n) 型零行列」といい
		O_mn または O
	で表す。

[定理]
	A + O = A
	A - A = O

[定理]
	(A+B)+C = A+(B+C)
	A+B=B+A
	c(A+B) = cA + cB
	(c+d)A = cA + dA
	(cd)A = c(dA)
	1A = A
	0A  = O

	# 和とスカラー倍は、これまでと同じで、簡単
	# 処が積は、これまで同様、面倒くさい

	# まず、形からして面倒

[定義] (A, B の積)

	A = ( a_ij ) : (l,m) 型
	B = ( b_ij ) : (m,n) 型

	# かけられる行列 A の 列とかける行列 B の行が同じである必要がある

	A と B の積 AB は、
		AB = ( c_ij ) : (l,n) 型
	で、

		c_ik = \sum_{j=1}^m a_ij b_jk

	となる。

	# c_ij は、A の i 行と B の j 列の「内積のようなもの」になる

	## 「内積のようなもの」といったのは、実際には「内積ではない(これ
	## は一般の内積を定義したときに解る)」からである。

	### 成分が実数の場合は、内積と同じになるのだが、ここでは複素数
        ### を扱っているので、その場合は一致しない。

	# 行列の積は大変だが、しょうがない。

[定理]
	A=(a_pq) : (k,l) 型
	B=(b_qr) : (l.m) 型
	C=(b_rs) : (m,n) 型
とすると
	(AB)C = A(BC)

	# これは当りまえだが、それを示すのは、それほど簡単ではない。

	proof)
		AB = ( d_pr ) : (k,m) 型
		d_pr = \sum_{q=1}^l a_pq b_qr

		(AB)C = ( e_ps ) : (k,s) 型
		e_ps = \sum_{r=1}^m d_pr c_rs
		     = \sum_{r=1}^m ( \sum_{q=1}^l a_pq b_qr ) c_rs

	# これは、有限個の和なので、交換してもよい。かけ算も交換してもよい

		     = \sum_{r=1}^m \sum_{q=1}^l a_pq b_qr c_rs
	一方、
		BC = ( f_qs ) : (l,n) 型
		f_qs = \sum_{r=1}^m b_qr b_rs	

		A(BC) = ( g_pq ) : (k,n) 型
		g_ps = \sum_{q=1}^l a_pq f_qs
		     = \sum_{q=1}^l a_pq ( \sum_{r=1}^m b_qr b_rs )
		     = \sum_{q=1}^l \sum_{r=1}^m a_pq b_qr b_rs

	ここで、(AB)C と A(BC) を比較すると、
		共に (k,n) 型で、型が等しい
		成分 e_ps と g_ps を比較すると、これも互いに等しい
	よって、型も成分も等しいので

		(AB)C = A(BC)

	がいえる。

	# ここで、積の定義の \sum を沢山利用した
	# 今後も行列の積では、この \sum が利用できないと大変
	# 今回、きっちり、この \sum の利用方法を覚えておくこと


[注意]
	A :(l,m) 型, B : (m,n) 型の時
		l \ne n なら BA はない ( 定義されない )
		l = n ( \ne m ) なら BA は定義されるが、一般に BA : (m,m) 型 で、AB : (l,l) 型なので、型が異なる。
		l = m = n なら型も同じになるが、その場合でも AB = BA になるのは稀

[定理]
	A(B+C) = AB + AC

	# これも、さっきと同じように、\sum を利用する
	# ただ、今回は、かけ算が一度だけで、後は和なので少しらく

	(A+B)C = AC + BC

	# これは、左右ひっくりかえすだけ

	AO = O
	OA = O

	# 成分が、0 なので、積も 0 和も 0 だから全体として 0
	# ただし、型は変ることに注意

[定義] (n 次単位行列)
	(n,n) 型の行列で、 (i,i) ( i = 1..n) の成分が 1 で
	他の成分が全て 0 であるものを、
		n 次単位行列といい E_n また E で表す

		E = ( \delta_ij )

		# \delta_ij はクロネッカーのデルタとよび次のように定義される
		#			1  ( i = j )
		#	\delta_ij = {
		#			0  ( i \ne j )

	# 三年でディラックの関数記号を学ぶとき、同じδを利用するが、そ
        # れまでは、δといえば、このクロネッカーの方

[定理]
	A : (m,n) 型の時
		AE_n = E_mA = A
	proof)
		A = (a_ij)

		AE_n = (a'_ik) : (m,n) 型

		a'_ik = \sum_{j=1}^n a_ij \delta_jk = a_jk
			# クロネッカーのデルタの性質から
		よって、
			AE_n = A
		# 逆も同様

	# 今後もややっこしい計算が沢山でるので、ここでクロネッカーのデ
        # ルタの使いかたもみにつけておく

[定義] (列ベクトル)

	行列 A : (m,n) 型 を n 個数 m 項列ベクトル a_i を並べたものと考えて、
		A = ( a_1, .., a_n )
	で表す。

	特に、
		E_n = ( e_1, .., e_n )
	で、
		e_1, .., e_n は「単位ベクトル」になる。

	# これも、2, 3 次元の定義の一般化になっていることに注意

[定理]
	A : (l.m) 型
	B = (b_1, .., b_n) : (m,n) 型
の時
	AB = (A b_1, .., A b_n)

	# 証明は、計算して、左辺と右辺を比較するだけなので、省略

特に、
	B = E とすると、
		A = (A e_1, .., A e_n)
		||
		(a_1,..,a_n)
	となるので、
		a_i = A e_i

	# つまり、A の i 列ベクトルを得るには、A に i 番目の単位ベクト
        # ル e_i をかけた結果を求めればよい。

[定理]
	      x_1
	x = ( x_2 ) : n 項列ベクトル
	      ..
	      x_n

	      x_1        0		0
	  = (  0  ) + ( x_2 ) + .. +  ( 0 )
	       ..	 ..		..
	       0	 0		x_n

	  = x_1 e_1 + x_2 e_2 + .. + x_n e_n

	# 一般のベクトル x は、常に、このような単位ベクトルの線型結合で表される
	# 一般のベクトルをこの形で示すことも多いので覚えておく

[定義]
	ベクトル a_1, .., a_n の n 項列ベクトルに対応して、
		x_1 a_1 + .. + x_n a_n
	を、
		a_1, .., a_n の線型(一次)結合という。


	# ここまでは、これまでと同様だったが、以下は複素数の話がでるので新しい話

[定義](複素共役行列)
	A = (a_ij) に対して、
		\bar{A} = ( \bar{a_ij} ) : 成分毎に協約複素数を取る
	を、
		A の複素共役行列
	と呼ぶ。

[定理]
	\bar{\bar{A}} = A
	\bar{(A+B)} = \bar{A} + \bar{B}
	\bar{cA} = \bar{c}\bar{A}
	\bar{AB} = \bar{A}\bar{B}

[定義](転置行列)
	(m.n) 型行列 A = (a_ij) に対して、縦横を交換した (n,m) 型行列を
	「A の転置行列」と呼び

		{}^tA = ( a_ji )

	で表す。

[定理]
	{}^t({}^tA) = A

	# 反転を二回すると元に戻る

	\bar{{}^tA} = {}^t\bar{A}

	# 転置は場所の問題で、複素は要素の問題なので、独立(どちらを先にしてもよい)

	{}^t(A+B) = {}^tA + {}^tB
	{}^t(cA) = c{}^tA

	{}^t(AB) = {}^tB {}^tA

	# ここだけ、() をはずすと、順番が交換される
	## 間違えやすいので注意

	proof)
		A = (a_ij) : (l.m) 型
		B = (b_jk) : (m,n) 型
		AB = (c_ik) : (l.m) 型
		{}^t(AB) = (c'_ki) : (m,l) 型
	とすれば、
		c_ik = c'_ki = \sum_{k=1}^m a_ij b_jk
	同様に、
		{}^tA = ( a'_ji ) : (m,l) 型, a'_ji = a_ij
		{}^tB = ( b'_kj ) : (n,m) 型, b'_kj = b_jk
	よって、
		{}^tA{}^tB = (d_ki) : (n,l) 型
		d_ki = \sum_{k=1}^m b'_kj a'_ji 
		     = \sum_{k=1}^m b_jk a_ij 
	以上により、型も要素も等しいので、
		左辺=右辺

	# ちなみに、交換しないと何がおきるかというと、
	# そもそも、一般に型が合わないので、積そのものが存在しない場合もある

	## 後で、これと同様に、かっこを外すと交換するものがでてくる