代数幾何 I 古津先生 (2008/06/26)

# 前回は、一般の行列の話で、定義ばっかりだった
# 特に、行列のかけ算の定義がややっこしかったが、これは重要
# !!! 行列のかけ算ができるようになっておくこと

# 今日は、その続き

==

行列の区分け

# この話もちょっとややっこしいが、必要になることがあるので、おぼえる

	一つ行列に縦横の線をいれ、要素を分けて、複数の行列を作る

		例:
			各列の間に線をいれて、列ベクトルにわける区分け
			全ての要素を分る区分け

			# 一般には、一つか二つの線を入れるだけのことが多い

		# 区分けした結果は、行列を成分とする行列のように扱う

[定義] (区分けの行列の積)

	A : (l,m) 型 (a_ij)
		これを、横に p-1 本、縦に q-1 本の線を入れると p q 個の部分に分けられる
			縦の幅 l_1 〜 l_p ( 全部足すと l になる )
			横の幅 m_1 〜 m_q ( 全部足すと m になる )
			個々の要素 A_st : ( l_s, m_t ) 型

			     m_1    m_2   ..   m_q

		     l_1     A_11 | A_12| ..  | A_1q
		     	     -----+-----+-----+-----
		A =  l_2  (  A_21 | A_22| ..  | A_2q )
		             -----+-----+-----+-----
		     ...	  |     |     |
		             -----+-----+-----+-----
		     l_p     A_p1 | A_p2| ..  | A_pq


	B : (m,n) 型 (b_ij)
		これを、横に q-1 本、縦に r-1 本の線を入れる
			縦の幅 m_1 〜 m_q ( 全部足すと m になる )
				# これは A と同じ区分け
				# これを同じにしないと、かけ算の定義ができない !!
			横の幅 n_1 〜 n_r ( 全部足すと n になる )
			個々の要素 B_tu : ( m_t, n_u ) 型

	# これを利用して、かけ算をしたい

	C = AB : ( l.n ) 型
		これを、横に p-1 本、縦に r-1 本の線を入れる
			縦の幅 l_1 〜 l_p ( 全部足すと l になる )
			横の幅 n_1 〜 n_r ( 全部足すと n になる )
			個々の要素 C_su : ( l_s, n_u ) 型

	# これの左右を比較して

		C_su = \sum_{t=1}^q A_st B_tu

		# これは、行列の積の計算と同じ ( 覚えやすい )
		## 積の定義の一般化

	proof)
		# 型の比較

		A_st B_tu : (l_s, m_t) 型 x (m_t, n_u) よって (l_s,n_u) 型
			個々の行列が全て(l_s,n_u) 型なので、その和も(l_s,n_u)型

		# 成分の比較

		両辺の (α,β) 成分を考える
			i = l_1 + l_2 + .. + l_{s-1} + α
			k = n_1 + n_2 + .. + n_{u-1} + β

		C_pr	= ( C の (i,k) 成分 )
			= \sum_{j=1}^m a_ij b_jk

		# A = (a_ij) は、省略形で、添字の i、j はどんな変数でもよい

		A_st B_tu の (α,β) 成分を考えると
			= \sum_{j=m_1+..+m_{t-1}+1}^{m_1+..+m_{t-1}+m_t} a_ij b_jk

		\sum_{j'=1}^{m_t} A_st の(α, j;) 成分 x B_tu の (j', β) 成分

		これは、
			\sum_{j=1}^{m_1} a_ij b_jk
			\sum_{j=m_1+1}^{m_1+m_2} a_ij b_jk
				..
			\sum_{j=m_1+..+m_{q-1}+1}^{m_1+..+m_{q-1}+m_q} a_ij b_jk
		を順番に加えたものなので、結局、まとめて
			\sum_{j=1}^{m_1+..+m_{q-1}+m_q} a_ij b_jk
		ところが、
			m_1+..+m_{q-1}+m_q=m
		なので、
			\sum_{j=1}^{m} a_ij b_jk
		となり、左辺と一致する。

		# これは一度きいただけでは解らない
		#	家にかえって、大きな図を書きながら、ゆっくりかんがえてみよう


	# 以下では、この中の特別な場合が役立つので、幾つか役立つパターンを学ぶ

	例 : (p=q=r=2 の場合)
		# このパターンが一番多い

		       A_11 | A_12
		A = ( ------+------- )
		       A_21 | A_22

		       B_11 | B_12
		B = ( ------+------- )
		       B_21 | B_22

	の時、

		       A_11 B_11 + A_12 B_21 | A_11 B_12 + A_12 B_22
		AB = ( ----------------------+---------------------- )
		       A_21 B_11 + A_22 B_21 | A_21 B_12 + A_22 B_22

			# 基本は、行列の積と同じだが、成分が、行列なので、積の順序を変更してはならない !!

	となる。

		# このパターンは良く使うので、できるようにしておく !!!
		# 上の一般的な方は、別にできなくてもよい


		特に、A_21 =O, B_21 = O の時
		

		       A_11 | A_12
		A = ( ------+------- )
		        O   | A_22

		       B_11 | B_12
		B = ( ------+------- )
		        O   | B_22

		であれば、

		       A_11 B_11 | A_11 B_12 + A_12 B_22
		AB = ( ----------+---------------------- )
		               O |       A_22 B_22

		さらに、A_12 = O, B_12=O の時


		       A_11 |  O
		A = ( ------+------- )
		        O   | A_22

		       B_11 |  O
		B = ( ------+------- )
		        O   | B_22

		であれば、

		       A_11 B_11 |     O
		AB = ( ----------+----------- )
		               O | A_22 B_22

	また、以前やった、

		A:(m,n) 型

		A = (a_1| .. |a_n) : 縦ベクトルに分る

	も実は、区分けだった

==

[逆行列]
	n 次正方行列

	# 正方形の場合の時だけできることが色々あるので、その場合を特別に行う

		A+B, A-B, AB は、全て n 次正方行列
		O_nn, E_nn は、それぞれ、和、積の単位元になる

		# では A/B が計算できるか ?
		#	実は、必ずしも上手くゆかない
		#	整数だって 0 時はだめなのだが、行列は駄目な場合が沢山ある

	[問1]
		A = ( 1 2 )
		      3 4

	は、
		AX=E を満す X は存在しない
		YA=E を満す Y は存在しない
	
		proof)
			X = ( a b )
			      c d
		とすると、

			AX = (  a+2c  b+2d ) = E = ( 1 0 )
			       2a+4c 2b+4d           0 1
		なので、成分同士を比較し
			 a+2c = 1
			2a+4c = 0
		なので、矛盾。

		# Y の場合も同様

	# 割り算が、定義できれば ax=b より x = b/a と一次方程式が解けるのだが..
	# 行列では、これも駄目な場合がある

	[問2]
		A = ( 1 2 ), B = ( 1 2 )
		      0 0          2 4
	の時、
		AX = B を満す X は存在しない
		YA = B を満す X は無数に多く存在する

		proof)
			X = ( a b )
			      c d
		とすると、

			AX = (  a+2c  b+2d ) = B = ( 1 2 )
			         0     0             3 4
		なので、矛盾。

			Y = ( a b )
			      c d
		とすると、

			YA = (  a  2a ) = B = ( 1 2 )
			        c  2c           3 4
		なので、
			a = 1, c = 2, b,d はなんでもよい(答が無数)

	# 上記は、2 x 2 だったが、一般でも同様に上手く行かない場合がある

	[問 3]
		A=(a_1,..,a_n)
		\exist j st. a_j = 0
			=> XA = E となる X は存在しない
		proof)
			XA = (Xa_1,..,Xa_j, Xa_n)

			X a_j = X 0 = 0

		一方、E の j 番目は e_j \ne 0 なので、

			XA \ne E

	# ここまでで、色々だめな場合があることがわかった
	# そこで、駄目でない場合を考え、その特別な場合に名前をつけて

[定義] (正則行列)
	A : n 次元
		XA = AX = E
	となる X が存在する場合、

		# 始めから左と右の両方を準備しておく ( 実は、一方だけでよい )
		# これは、ようするに、「割り算」ができるってこと

		A を正則行列

		# この「正則行列」はこの後ずっとつかう ( 4 年生まで使う )

	と呼び、
		X を A の逆行列

		# この「逆行列」もずっと使う
		## 高校でもやった、ただし、高校では、2 次まで、大学では一般の n 次を	

	と呼び、
		A^{-1}
	で表す。

[定理] (逆行列は一意)
	A : 正則 => A の逆行列はただ一つ
	proof)
		X, Y : A の逆行列とすると
		X = X E = X (AY) = (XA) Y = E Y = Y	

[定理] (逆行列も正則)
	A:正則 => A^{-1} : 正則
		(A^{-1})^{-1} = A

	proof)
		定義より
			AA^{-1} = A^{-1}A = E
		だが、これは、A^{-1} を中心に考えば、
			A が A^{-1} の逆行列になっている
		ことを示している。
		したがって、
			A^{-1} は正則
		で、
			(A^{-1})^{-1} = A

[定理] (正則行列の積は正則)
	A, B : 正則 => AB : 正則
		(AB)^{-1} = B^{-1} A^{-1}

	# 転置の場合も、積の順序がかわった
	#	変るのはこの二つなので、いっしょに覚えて忘れないこと

	# 答が示されている場合は、その答を利用して問題を解く

	proof)
		(B^{-1} A^{-1})(AB) = B^{-1} (A^{-1}A) B
				    = B^{-1} E B
				    = B^{-1} B
				    = E
		# 逆も同様

	# 逆行列を求める問題が出る !!

[問1]
	A: 正則 => \bar{A} : 正則

	proof)
		\bar{A^{-1}}\bar{A} = \bar{A^{-1}A}
				    = \bar{E}
				    = E
		# 逆も同様
	よって、
		\bar{A} は正則で、その逆行列は \bar{A^{-1}}

	A: 正則 => {}^tA : 正則

	proof)
		{}^tA^{-1}{}^tA	= {}^t(AA^{-1})
				= {}^tE
				= E
		# 逆も同様
	よって、
		{}^tA は正則で、その逆行列は {}^t{A^{-1}}

[系]
	{}^t\bar{A}^{-1} は適用順序を気にする必要がない	


[問 2]

	A = ( a b ) が正則 <=> |A| = ad-bc \ne 0
	      c d

	# これは、2 次元の場合だが、A の正則性が |A| の非零性であること
	# が一般の n でも成立する
	# ただ、まだ、n 次の行列式をやっていないので、ここでは 2 次の場合だけ示す

	# 高校でやったかもしれない ( 連立方程式の解法で学 )

	proof)
		A を正則とすれば、逆行列 X が存在し、
			AX = XA = E
		ここで、
			X = ( p q )
			      r s
		とおくと、連立方程式
			ap+br=1
			aq+bs=0
			cp+dr=0
			cq+ds=1
		ができ、これから
			(ad-bc)p=d
			(ad-bc)q=d
			(ad-bc)r=-c
			(ad-bc)s=a
		が成立。

	ここで、
		(ad-bc)=0 -> a=b=c=d=0 -> A が正則でないので矛盾
	よって、
		A が正則ならば (ad-bc)\ne0
	一方、
		(ad-bc)\ne0 ならば

			p=d/(ad-bc)
			q=d/(ad-bc)
			r=-c/(ad-bc)
			s=a/(ad-bc)
		とすると、確かに
			AX=XA=E
		となる ( 実際に計算して、成分を比較する )。
		よって、
			A は正則	
 
	# 習っていなかったり、忘れた人は、これを覚えておく
	# 一般の n 次をやるのに 2 次もできないでは話にならない

==

基本変形 / rank / 逆行列