代数幾何 I 古津先生 (2008/07/03)

# ちょっとおくれた

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正方行列
	正方行列固有の性質がいくつかある
		例 : 逆行列が存在する

[定義](対称区分)

正方行列 A の区分けの中、行と列の区分けを同じ形で行う
	このような形の区分けを「対称区分け」と呼ぶ


			     l_1    l_2   ..   l_p

		     l_1     A_11 | A_12| ..  | A_1p
		     	     -----+-----+-----+-----
		A =  l_2  (  A_21 | A_22| ..  | A_2p )
		             -----+-----+-----+-----
		     ...	  |     |     |
		             -----+-----+-----+-----
		     l_p     A_p1 | A_p2| ..  | A_pp

	すると、この区分けの成分は、全て正方行列になる。


[定理] 正方行列 A の対称区分け

		A_11 | A_12
	A = ( -------+------- ) 
		A_21 | A_22

に対して、

	A_11, A_22 が正則ならば、A も正則

	proof)

		A_11^{-1} | -A_11^{-1} A_12 A_22^{-1}
	B = ( ------------+--------------------------- ) 
		    O     |            A_22^{-1}

	とすれば、
		AB = BA = E
	よって、A は正則で、B は A の逆行列

	# この場合は、4 次の行列の逆行列を 2 次の行列の逆行列で求めることができる
	## 覚えておくと便利 !!

	# 実は、これの逆も成立するのだが、今の段階ではそれを示すのは難しいので、後でやる

[定理] 正方行列 A の対称区分け

		A_11 |  O   | ... |  O
		-----+------+-----+-----
		  O  | A_22 | ... |  O
	A = (	-----+------+-----+-----  )
		     |      |     |
		-----+------+-----+-----
		  O  |  O   | ... | A_pp

に対して、

	A が正則 <-> A_11, .., A_pp 全てが正則

	proof)
		( <- )

		# こっちは簡単

		A_11^{-1} |    O      |   ...   |    O
		----------+-----------+---------+--------
		     O    | A_11^{-1} |   ...   |    O
	B =  (	----------+-----------+---------+-------- )
		          |           |         |
		----------+-----------+---------+--------
		     O    |           |   ...   | A_pp^{-1}

		とすれば、
			AB = BA = E
		となるので A が正則。

		( -> )
		# こっちはちょっと大変
			
		A が正則なので、A^{-1} をもつ、それを同じように区分けを作る


		# ただし、内容が良くわからないので次のようにする

		B_11 | B_12 | ... | B_1p
		-----+------+-----+-----
		B_21 | B_22 | ... | B_2p
	B = (	-----+------+-----+-----  )
		     |      |     |
		-----+------+-----+-----
		B_p1 | B_p2 | ... | B_pp

		これと、Aの積 AB, BA を計算するとこれは E になるはずなので比較すると
			A_ii B_ii = B_ii A_ii = E
		なので、
			B_ii

	# このような特殊なパターンは、逆行列が簡単に計算できる

[定義] (対角成分)
	行列 A = (a_ij) の a_ii のことを A の対角成分と呼ぶ

[定義] (対角行列)
	# 特に、一行/一列ずつ区分けした結果、上記のような形になった場合、
	対角成分以外の成分が 0 であるような行列を対角行列と呼ぶ

	      a_11
	A = (     a_22            )
			...
			    a_pp

[定理]
	A,B が対角行列 => AB=BA
	proof)
		対角行列を一行/一列ずつ区分けすれば、

				     a_11 b_11
			AB = BA = (		a_22 b_22	
						        ..
								a_pp b_pp )
	
		成分は(行列ではなく、普通の複素数なので..) 交換できる


[定理]
	A を対角行列とするとき
		A が正則 <-> \forall i a_ii \ne 0
	proof)
		区分けをして考えると
			A が正則 <-> \forall i (a_ii) が正則 <-> a_ii \ne 0

	特に、

			   \frac{1}{a_11}
		A^{-1) = ( 		\frac{1}{a_22}                   )
						...
							\frac{1}{a_pp}

	となる。

	# 更に、これの特別な場合

[定義]
	A = cE をスカラ行列とよぶ。

[定理]
	A:スカラー行列 <-> A が全ての行列と交換可能

	proof)
		( -> )
			AB = (cE)B = c(EB) = cB = c(BE) = B(cE) = BA
		( <- )
			任意の行列と交換可能ということで、次のような特別な行列を考える

			E_pq : pq 成分のみ 1 で、他は 0 となる。

			[注意]
				A E_pq は、A の q 列のみが出てくる
				E_pq A は、A の p 行のみが出てくる
					のこりは 0

			A は E_pq とも交換可能なので、
				A E_pq = E_pq A
			より、
				a_pp = a_qq

				その他の要素
					a_ip ( i \ne p )
					a_qi ( i \ne q )
				は 0 となる

			# こんな簡単な行列 E_pq との交換だけでもこれだけきつい条件となる

			これが、任意の p,q で成立するので、

				a_ii = a_11 ( \forall i )
				a_ij = 0    ( i \ne j の時 )

			よって、			
				A = a_11 E


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[定義] (固有和:trace)
	行列 A の対角成分の和
		\sum_{i=1} a_ii
	を
		A の 固有和 (trace)
			# この講義では trace(トレース) を使う
	と呼び、
		Tr A
			# tr A と書くこともある
	で表す。

[定理]
	Tr ( cA ) = c Tr(A)
	Tr (A+B) = Tr A + Tr B
	Tr (AB) = Tr(BA)
		# この性質は大変重要
		## 行列の世界では、積の順番をかえると違うものになるのが普通だが Tr はできる
		# 逆に Tr(AB) は Tr(A) Tr(B) とならない ( 積は分けられない )
		## 行列の世界では、積は分られることが多いので、これも注意

		proof)
			AB = ( c_ij ) とすると、
				c_ii = \sum{j=1}^n a_ij b_ji
			よって、
				Tr AB = \sum_{i=1}^n \sum{j=1}^n a_ij b_ji
			一方、
			BA = ( d_ij ) とすると、
				d_ii = \sum{j=1}^n b_ij a_ji 
			よって、
				Tr BA = \sum_{i=1}^n \sum{j=1}^n b_ij a_ji 
			これは、複素数の積の順と和の順を替ただけなので等しくなる。

		# Tr はこの後出てくるので注意
		## というか、代数幾何の用語は、後で、色々な処で出てくる !

[定義] (羃乗)
	A : n 次正則の時 AA も n 次になるのでこれを A^2 で表す。
	一般に、k>0 の時、
		A を k 回かけた時の結果を A^k で表す。

[定理]
	A^k A^l = A^(k+l)
	(A^k)^l = A^(kl)
	AB=BA ならば、(AB)^k = A^k B^k
		# 証明は、厳密には、帰納法で行う

[定義]
	A が正則ならば、
		K^0 = E
		A^(-k) = (A^{-1})^k
	とおくことにより、上記の定理は、k,l が Z の時も成立する。

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# 線型空間、線型写像の話なので、これは、後期の話題だが、ここで少しやっておく



	C^n : n 項列ベクトル全体の集合
	(R^n : n 項実列ベクトル全体の集合)

[定義] (線型変換)

	T : C^n -> C^m が、以下の性質

		T ( x+y ) = T x + T y
		T ( c x ) = c ( T x )

	を満すとき、これを線型写像と呼ぶ。

	例:
		A : (m,n) 型行列に対して、

			T_A : C^n -> C^m
		を
			T_A x = A x
		で定めると、T_A は、線型写像になる。

	# これは、既に、平面、空間で学んだ内容の一般化になっている
	# ここでも逆を示すことにする

[定理]
	T : C^n -> C^m が線型写像の時
		\exist A s.t. T = T_A
	proof)
		e_1, .., e_n : n 項目単位ベクトルを考え、

			a_j = T(e_j) ( \forall j )
		とし、
			A = ( a_1, .., a_n )
		とする。
		すると、
			T(e_j) = A e_j = a_j = T(e_j)
			# つまり、単位ベクトルに関して T と T_A が等しい
			# この関係が、全てのベクトルに対して等しいかどうかを調べる

			x = \sum_{j=1}^n x_i e_i
		なので、

			T x = T ( \sum_{j=1}^n x_i e_i )
			    = \sum_{j=1}^n{ x_i T(e_i) )
			    = \sum_{j=1}^n{ x_i T_A(e_j) }
			    = T_A ( \sum_{j=1}^n x_i e_i )
			    = T_A x

よって、

	{ (m,n) 型の行列 } <-> { C^n -> C^m }
		\in               \in
		A       <----->   T_A


[定理]
	T : C^n -> C^m		A : (m,n) 行列
	S : C^m -> C^l		B : (n,l) 行列
		=>
	ST : C^n -> C^l		BA 

	proof)
		(S T) x = (T_B T_A) x
			= T_B (T_A x)
			= T_B (A x)
			= B (A x)
			= (BA) x
			= T_{BA} x

			# こうなるように実は、行列の積を定義した

[定理]
	# 特に、m=n の時

		A : 正則ならば T_{A^{-1}} は T_A の逆変換になる

	proof)
		T_A T_{A^{-1}} = T_{A A^{-1}} = T_E = I
		T_{A^{-1}} T_A = T_{A^{-1} A} = T_E = I

		[定義] (恒等変換)
			I : x |-> x ( \forall x \in C ) を C の恒等変換と呼ぶ
				I = T_E

[定理]
	T_A が逆変換ならば、A:正則
	proof)
		# まず、T_A の逆変換もまた、線型変換になることを示す

		(T_A)^{-1} を S とすると、x, y \in C に対して
			S x = x', S y = y'
		とすると
			S(x+y) = S (T_A(x')+T_A(y'))
			       = S (T_A(x'+y'))
			       = x' + y'
			       = S(x) + S(y)
		同様にして
			S(c x) = c S(x)
		よって、S は線型変換。
		そこで、これを表す行列を B とすると、
			T_A T_B = I
			  ||      ||
			T_AB      T_E
		よって、
			AB = E
		よって、
			A は正則

	# ここまでは、複素数固有の話は一切していないので、要素が複素数でも実数でも同じ話

	{ n 次正方行列 } <-> { C^n の線型変換 }
	{ n 次実正方行列 } <-> { R^n の線型変換 }
	{ 2 次実正方行列 } <-> { R^2(平面) の線型変換 }
	{ 3 次実正方行列 } <-> { R^3(空間) の線型変換 }

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この後の 2 回で、
	「行列の基本変形」
をやる、これは、
	階数 (ランク)
	逆行列

	一次方程式
	行列式の計算

試験の話
	ほとんど計算、「示せ」は、一つだけ
		計算できるように、しかも要領よくできるように !!

	代機が先(微積は後)