# 大幅に遅刻

==

連立方程式を解く

	A x = b

の形、

拡大係数行列

	\~A = (A|b)

を作り、標準形にする ( ただし、列の操作は、交換のみ [ 交換を行うと後で変数の交換が必要になる] )


		           r 個
		          1  0 | b_{1,r+1} .. b_1n | d_1
			   ..  |                   |
	\~A |~~~> \~B = ( 0  1 | b_{r,r+1} .. b_rn | d_r     ) = (B|d)
			  -----+-------------------+----
			       |		   | d_{r+1}
			    0  |	0	   | ..
			       |		   | d_m


	rank A = rank B = r

	rank \~A = rank \~B = { r   ( d_{r+1} = .. = d_n = 0 )
			        r+1 ( それ以外 )

答は、\~B の形を見ながら考える。

	(1) rank \~B = r+1 の時
		解は存在しない : 「不能」と答える

		[答] 不能

	(2) rank \~B = r の時

		x_{r+1} = \alpha_{r+1}
			..
	(*) {	x_{n} = \alpha_{n}
		x_1 = d_1 - b_{1,r+1} \alpha_{r_1} - .. - b_{1,n} \alpha_{n}
			..
		x_r = d_r - b_{r,r+1} \alpha_{r_1} - .. - b_{r,n} \alpha_{n}

	となる。
	更に r によって場合分け
		(2-1) r < n の時
			解が無数に存在する : 「不定」
				# 「解なし」ではないことに注意 !!
			# さらに大学では、その無数にある解の一般形を書く必要がある

			[答] ( 上の (*) の式 ) で自由度が n-r

		(2-2) r = n の時
			解法はただ一つに定まる。

			[答]
				x_1 = d_1
				   ..
				x_n = d_n

				# 実は、上の (*) がこの形になる

[まとめ]

	A:(m,n) 型, rank A = r の時

		rank A | rank \~A | Ax = b の解
		-------+----------+------------
		   r   |   r+1    |  不能
		   r<n |   r<n    |  不定
		   r=n |   r=n    |  唯一つ

[例]

	      3 x_2 + 3 x_3 - 2 x_4 = -4
	x_1 +   x_2 + 2 x_3 + 3 x_4 =  2
	x_1 + 2 x_2 + 3 x_3 + 3 x_4 =  1
	x_1 + 3 x_2 + 4 x_3 + 2 x_4 = -1


	x_3 = \alpha とすれば
	x_1 = 7-\alpha
	x_2 = 2-\alpha
	x_4 = -1

==

[定理] m=n , A:正則
	=> \~A\~x = o の解は一つ

	proof)
		A:正則 <-> rank A = r <-> 解が唯一つ

[定理] A:(m,n) 型
	rank A <= min{m,n}

	特に \~A : (n,n_1) 型の時、 rank \~A <= n

==

# ここから暫く特別な ( b = 0 となる ) 連立方程式だけを考える 

[定義] 連立方程式 Ax = b で b = 0 となる Ax=0 を「斉次一次方程式系」と呼ぶ

[定理] 斉次一次方程式系 は x=0 という解を必ず持つ。この解は「自明な解」と呼ぶ。
斉次一次方程式系が自明な解と異なる解を持つ場合、その解を「非自明な解」と呼ぶ。

[定理] x_1, x_2, .., x_k が Ax=0 の解ならば、
		a_1 x_1 + .. + a_k x_k も Ax=0 の解

	proof)
		A(a_1 x_1 + .. + a_k x_k) =
			a_1 A x_1 + .. + a_k A x_k = 0

[まとめ]

	A:(m,n) : rank A = r

	rank A | rank \~A | Ax = 0 の解
	-------+----------+------------
	   r   |  r + 1   | この場合はありえない
	 r < n |  r < n   | 不定 (自明でない解を持つ)
	 r = n |  r = n   | 自明な解のみ

[定理] A x = 0 (4)
rank A = r ならば、(4) は、n - r 個の線型独立な自明でない解

	x_{r+1}, .., x_n

をもち、任意の解は、これの線型和で表すことができる。

	proof)

		           r 個
		          1  0 | b_{1,r+1} .. b_1n | 0
			   ..  |                   |
		  \~A = ( 0  1 | b_{r,r+1} .. b_rn | 0     )
			  -----+-------------------+----
			       |		   | 0
			    0  |	0	   | ..
			       |		   | 0
						     ^ 定数部は 0 になる

	なので、


			  -b_{1,r+1}			  -b_{1,n}
			     ..
			  -b_{r,r+1}			  -b_{r,n}
	x = \alpha_{r_1} (    1      )+ .. _ \alpha_{n} (    0      )
			      0				     0
			      ..			     ..
			      0				     1
	

	が解。ここで、それぞれのベクトルを x_{r+1} .. x_{n} とすれば、これは
	方程式の解で、独立で、しかも、全ての解を表している。


[定理]
	n>m ならば (4) は自明でない解を持つ

	(proof)
		r = rank A <= min(m,n) = m < n

	m=n の時
		Ax=0 が自明でない解をもつ <-> A が正則でない

		proof)
			自明な解しかない <=> r = n <=> A:正則

# 斉次の場合は必ず解がある

[定理] A:正則 <=> 「x\ne 0 => Ax \ne 0」
        ||           ||
	Ax = 0 が自明でない解しかない


二つの連立方程式

	Ax = b	(4)
	Ax = 0	(1')

を考える。

[定理]
	(1') の一つの解を x_0' を固定すると、
	(1') の任意の解は、
		x_0 + (4)の解
	の形。

	Proof)
		y を (4) の解とすると、
			A(x_0+y) = A(x_0) + A(y) = c + 0 = c
		よって
			x_0 + y は (1') の解法

		逆に x を (1') の解とすると
			y = x - x_0
		とすれば、
			A y = A x - A x_0 = c - c = 0
		よって y は、(1') 解となる。
		よって、
			x = x_0 + y

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[試験の話]

	基本変形
		rank を求めよ
		逆行列を求めよ
		一次方程式... (出ない) # 後期の試験範囲に入る

	距離の計算

	正射影
	線型変換に対応する行列を求める
	
	内積/外積/行列式

	「示せ」がある