代数幾何 B 古津先生 (2008/10/09)

前回やったこと

	内積
	エルミート行列
	ユニタリ行列

# 今回は、ユニタリ行列から始める

==

定理 A = ( a_1,..,a_n ) : n 次正方行列の時、次の イ) 〜 ニ) は同値
	イ) A はユニタリ行列 ( A*A = E )
	ロ) |Ax|=|x| ( \forall x \in C^n )
	ハ) (Ax,Ay)=(x,y) ( \forall x,y \in C^n )
	ニ) (a_i,a_j) = \delta_{i,j} (\forall i,j)

# 同値なので、この定理の方を定義にしてもよいし、実際に、そのように定義している本もある

	証明の方針
		個々に、同値を示す ( 4 x 3 通りの => を示す ) と大変なので、次の方針でゆく

		ニ <->	イ) -> ロ) -> ハ -+
			 A     	         |
			 |               |					
			 +---------------+
	proof)
		( イ) => ロ) )
						    イ)
						     |
			 			     v
			|Ax|^2 = (Ax,Ax) = (x,A^*Ax) = (x,Ex) = (x,x) = |x|^2

		( ロ) => ハ )
			|x+y|^2 = |x|^2 + (x,y) + \bar{(x,y)} + |y|^2
			  ||
			|A(x+y)|^2 = |Ax|^2 + (Ax,Ay) + \bar{(Ax,Ay)} + |Ay|^2

			ここで、
				|x+y|^2 = |A(x+y)|^2 
				|x|^2 = |Ax|^2 
				|y|^2 = |Ay|^2
			なので ( by ロ) )

				(x,y) + \bar{(x,y)} = 2 \Re (x,y)
				      ||
				(Ax,Ay) + \bar{(Ax,Ay)} = 2 \Re (Ax,Ay)

			同様に、x を ix に変て同じことをすると			

				(x,y) - \bar{(x,y)} = 2 \Im (x,y)
				      ||
				(Ax,Ay) - \bar{(Ax,Ay)} = 2 \Im (Ax,Ay)

			すなわち、実部と虚部が等しいので、
				(x,y) = (Ax,Ay)


		( ハ) => イ) )

		proof)
			ハ) より

			(Ax, Ay) = (x,y)
			   ||        ||
			(x,A^*Ay)  (x,Ey)

			よって、

			(x,(A^*A-E)y) = 0 (\forall x,y)
			(A^*A-E)y = 0 (\forall y)
			A^*A-E = O

		( イ) <=> ニ) )
			# まず、準備

			\bar{A^*A}
			=	{}^tA\bar{A}
			=	( (a_i,a_j) )
				# 成分が個々の列ベクトルの内積になっている !!

			である。

			proof)
				( ニ) -> イ) )
					\bar{A^*A} = ( (a_i,a_j) )
						   = ( \delta_{i,j} )
						   = E
					よって

					A^*A = \bar\bar{A^*A}}
					     = \bar{E}
					     = E

				( イ) -> ニ) )
					逆に
					( (a_i,a_j) )
					=	\bar{A^*A}
					=	\bar{E}
					=	E
					=	( \delta_{i,j} )


	(実行列) 対称行列の場合でも、証明は全く同じ

	# ユニタリの話は、まだやることが沢山あるが、それらは、来年の「代機 C」で学ぶ

==

[合同変換]

	# この話題は、別に平面や、空間に限って議論する必要はない ( 一般
        # でも成立する ) のだが、具体的な例を説明するのが面倒なので、こ
        # こでは、平面、空間に限定して考える


	[定義] 空間または平面の壥の変換で、二点間の距離を変えないものを「合同変換」と呼ぶ
	# 一般的には、単に「二点間の距離を変えない」とすれば一般論が展開できる

	例
		回転(移動)、並行移動、対称移動
		# これは、解り易い例だが、これの一般的な話
		# 更に、これを、行列と搦めて議論したい..

	# ちょっと準備

	T_o : 原点 O を動かさない合同変換とする

		更に、一直線上にある異なる三点 P,Q,R を考える

			P' = T_o P
			Q' = T_o Q
			R' = T_o R

		とすると..、T_o は、距離を変えないので


				  PQR が一直線
				    |
				    v
			PQ   + QR   = PR
			 ||    ||     ||	<- 合同変換
			P'Q' + Q'R' = P'R'
				    |
				    v
				  P'Q'R' が一直線

		すなわち、
			合同変換は、直線上の点を直線に写す
		が言える ( 一般の合同変換で.. )

		x \in V^2 ( V^3 ), c \in \R に対して、
		OP=x, OQ=cx とすると、
			O, P, Q は一直線上にある

		上にあるように、OPQ の T_o の像を
			O'=O ( T_o が原点を移動しない )
			P'
			Q'
		とすれば O,P',Q' も一直線上になるので、
			OQ' = c OP'
		すなわち、
			T_o(c x) = c T_o(x)

		# ここまでくれば、次になにをすれば解るすなわち、x+y の像を考える..

		x,y \in V^n とし、
			x = OP		
			y = OQ
		とし、
			x' = OP'
			y' = OQ'
		とすれば、三角形、OPQ と三角形 OP'Q' が合同 ( 三つの辺
			OP = OP'
			OQ = OQ'
			PQ = P'Q'
		が等しい ) なので、対角線の長さも同じとなり

			T_o(x+y) = x' + y' = T_o(x) + T_o(y)

		ここまで、T_o が線型変換となることがわかったので、ある
		行列 A が存在し、

			T_o = T_A

		特に、長さをかえないので、

			|Ax| = |x|

		すなわち、A は直交行列

	T_1 : 並行移動とする
		原点 O の行きさきを O' とし
			a = OO'
		とすれば、
			T_1(x) = x + a

	T を一般の合同変換とし、O の行きさきが O' になったとする。
		a = OO'
	とすれば、
		T_1(x) = x + a
	の逆変換は、
		T^{-1}_1(x) = x - a
	となる。

	# 合同変換は、常に 1-to-1, また、平面、空間上の変換は上へになるので、結局、同型になる

	T_o = T_1^{-1}T とすれば、これは、原点を移動しない、合同変換である。
	実際

		  T     T_1^{-1}
		  |	|
		  v     v
		O -> O' -> O

			で原点が移動しない

		合同変換同士は、合同変換

	よって、

		T = T_1 T_2

	すなわち、

		T(x) = T_1(T_o(x))
		     = T_1(Ax)
		     = Ax + a

	つまり、一般の合同変換 T は、行列 A とベクトル a を使って
			A x + a
	で表現できる、逆に、この形の変換は合同変換になっていることは明かなので、
	合同変換と A x + a 型の変換は一対一に対応する

	# +a があるので、これは、線型変換ではない
	#	行列で扱いたい ( 例えば rank の計算をしたい.. ) ので無理に線型にする
	#	これは、ちょっと強引な方法

	そこで、次のようなことを考える

			x
		\~x = ( - )	# 元のベクトル x に対し次元を上げ、最後に 1 を追加
		        1

			 A | a
		\~A = ( ---+-- )
			 0 | 1

	とすれば、

			    Ax+a       Tx
		\~A \~x = ( ---- ) = ( -- )
			     1         1

	となる。

	# この形をしていれば、合同変換

	[定理] T の逆変換 T^{-1} も合同変換

			      A^{-1} | -A^{-1} a
		\~A^{-1} = ( --------+----------- )
				0    |     1

	とすれば、

		T^{-1}(x) = A^{-1} x - A^{-1}a

		# これが合同変換であることは各自確認のこと !!

	となるので、合同変換。


	[定理] T, S が合同変換なら、TS も合同変換
		# 長さを変えない変換はなんどやっても長さをかえない

		\~A = ( A a ), \~B = ( B b ), 
		        0 1	       0 1	

	とすれば、
			    BA | Ba + b
		\~B \~A = ( ---+------- )
			     0 |    1 

	よって

		ST(x) = S(Ax+a)
		      = B(Ax+a)+b
		      = (BA)x + (Ba+b)

	# これが群になるという話は、また来年
	## とちゅうできれちゃうというパターンが多いのは、いちいちやっている時間がないから
	## 来年になったら、今回の話を思い出してください。

	[定義] (運動)
		運動は、合同変換で、図形を裏返しにしないもの

		[例(平面)]
			平行移動, 回転
		[反例(平面)]
			線対称

		# 空間では、右手系を左手系に変える場合に運動にならない

	[定義] (回転)
		運動が、原点を変えない時、回転と呼ぶ


	一般の合同変換 T は、平行移動 T_1 と、原点を変えない変換 T_o の合成となる
		T_1 は、T が運動かどうかとは無関係
		T_o の性質によって、T が運動かどうかが解る
			実は、T が運動かどうかは T_o に対応する直交行列 A に対して
				|A| > 0
			の時、運動となる		

	[定理] A が直交行列ならば |A| = \pm 1
		proof)
			|A^*A| = |E| = 1
			  ||
			|{}^tA A|
			  ||
			|{}^tA| |A|
			  ||
			|A| |A| = |A|^2
		よって、
			|A|^2 = 1 なので |A| = \pm 1

		結局、運動の場合は |A| = 1

	[例(平面の場合)]

		A = ( p q )
		      r s

	とすると、直交行列と、|A| = 1

		p^2 + r^2 = 1
		q^2 + t^2 = 1

		pq + rs = 0
		ps - qr = 0

	最初の条件より、点 ( p, r ) は、単位円上の点となる、
	また、点 ( q, s ) は、( p, r ) と直交するので、二通りが嗅がえられるが、
	後半の条件より、一方に定まり、結局、

		p =   \cos{\thita}
		r =   \sin{\thita}

		r = - \sin{\thita}
		s =   \cos{\thita}

	となり、

		A = ( \cos{\thita} -\sin{\thita} )
		      \sin{\thita}  \cos{\thita}

	すなわち、回転。

			\cos{\thita} -\sin{\thita} a
		\~A = ( \sin{\thita}  \cos{\thita} b )
			    0		    0	   1

	# 空間(三次)でも同様に行えるが、面倒なのでパス

	逆に、回転でない ( 運動でない.. ) 合同変換の例 ( |A| = -1 )
		x 軸と角度 \frac{\thita}{2} で交わる直線 l の対称変換は

		A = ( \cos{\thita}  \sin{\thita} )
		      \sin{\thita} -\cos{\thita}
	となり、運動でない。


# ここまでで、2 章の話題は全部終った、ただ、章末問題にいくつか「太字」で書いてある
# 単語があり、今年は、2 章ができるかどうかわからないので、簡単に説明しておく

	[定義]
		\exist k \in N A^k = O の時、A は巾零
		^tA = A の時、対称行列
		^tA = -A の時、交代行列
		|Ax| = |A^*x| のとき正規行列
			# 5 章で使う(正規行列のスペクトル分解)
		[X,Y] = XY - YX を X と Y の交換子積

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来回から、三回くらい、行列に戻る、実は行列式の話
	それがおわったら、中間試験を行う予定 ( 利根川先生と一緒に行う )


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8093 シールははってあるが、調査していない可能性がある