# 15 分位遅刻


置換の積

	\sigma, \tau を置換とする
		\sigma, \tau の関数として合成した結果 \tau\sigma も置換になる
			\sigma, \tau の合成した結果を二つの置換の積と呼ぶ

	[注意] 
		\sigma と \tau の積 \tau\sigma
	と
		\tau と \sigmaの積 \sigma\tau
	は異なる可能性がある。

[定理] 1.1
	(\sigma\tau)\low = \sigma(\tau\low)
	1_n \sigma = \sigma 1_n = \sigma
	\sigma\sigma^{-1} = \sigma^{-1}\sigma = 1_n

[定義] (対称群)
	S_n = { n 文字の置換 } を 「n 次対称群」と呼ぶ

	# 対称群の元の個数は有限なので、これは有限群の例になっている

	# 対称群の性質は、2 年以後に学ぶ。ここでは最低限の話題

[定理] 1.2
	イ) \sigma が S_n 全体を重複なく動く時
	    \sigma^{-1} も S_n 全体を重複なく動く

	# これは後(来週) に
	#	\sum_{\sigma \in S_n} P(\sigma) = \sum_{\sigma \in S_n} P(\sigma^{-1})
	# を示すのに使いたいので、ここでやっている

	ロ) \tau \in S_n で、\sigma が S_n 全体を重複なく動く時
	    \sigma\tau も S_n 全体を重複なく動く

	# これは後(来週) に
	#	\sum_{\sigma \in S_n} P(\sigma) = \sum_{\sigma \in S_n} P(\sigma\tau)
	# を示すのに使いたいので、ここでやっている

	proof)
		S_n --------> S_n
		\in           \in
		\sigma |-> \sigma^{-1}

		という対応を考える。

		すると、
			\sigma_1 \ne \sigma_2 => \sigma_1^{-1} \ne \sigma_2^{-1}
		よって、
			1 対応 1
		また、定義域と値域の元の個数が有限で同じなので、
			上へ写像
		よって、この写像は、
			全単射

		同様に

		S_n --------> S_n
		\in           \in
		\sigma |-> \sigma\tau

		という対応を考える。

		すると、
			\sigma_1 \ne \sigma_2 => \sigma_1\tau \ne \sigma_2\tau
		よって、
			1 対応 1
		また、定義域と値域の元の個数が有限で同じなので、
			上へ写像
		よって、この写像は、
			全単射

[定義](互換)

	t \in S_n が i と j の二つしか動かさない時、これを「互換」と呼び
		(i,j)
	で表す

	# 一つも動かさない置換は、恒等置換
	# 考えると解るが、一つしか動かない置換は存在しない
	# 二つのものを動かす互換は最小限の動きをする置換と言える

[定理] 1.3
	全ての置換は、互換の積で表せる。

	# 証明は略(面倒なので..)	
	#	方針は、帰納法による
		# 表現の仕方は無限にある
		# ただ、偶数個でできるか奇数個でできるかは定まる

	その時、互換の個数が偶数なのか奇数なのかは、表し方に寄らない。

	proof)
		# この証明も面倒なのだが、次の符合の定義に必要なのでやる。

		[定義](差積)

			\Delta(x_1,..,x_n) = \Pi_{i<j} (x_j-x_i)

		とする。

		これは、nC2 次式になる。

			(x_n - x_{n-1})(x_n     - x_{n-2})..(x_n     - x_1)
			               (x_{n-1} - x_{n-2})..(x_{n-1} - x_1)
				       		..
							    (x_2     - x_1)

		これを、「n 変数の差積」と呼ぶ。

		# この「差積」は他の科目でも出てくる

		[定義]
			f を n 変数関数とする
			\sigma \in S_n に対して
				f^{\sigma}(x_1,..,x_n)
					= f(x_{\sigma(1)},..,x_{\sigma(n)})
			と定義する。

		すると、
			\Delta^{\sigma}(x_1,..,x_n) = \pm \Delta(x_1,..,x_n)
		となることは解る。

		特に、\tau が互換なら
			\Delta^{\tau}(x_1,..,x_n) = - \Delta(x_1,..,x_n)
		であることが解る。

			proof)
				\tau = ( n-1, n ) の時を試し、確認する
				# 他の場合は、面倒なのでやらない

		今、一般に\sigma が次のように二つの互換の積で表現できたとする

			\sigma
				=  \tau_1 .. \tau_k
				=  \low_1 .. \low_j

		すると、
			\Delta^{\sigma} = \Delta^{\tau_1 .. \tau_k}
					= (-1)^{k} \Delta
		一方
			\Delta^{\sigma} = \Delta^{\low_1 .. \low_j}
					= (-1)^{j} \Delta
		すなわち、
			(-1)^k = (-1)^j
		よって、
			k と j の偶奇性は同じ

	[定義] \sigma が偶数数の互換の積からなるとき、これを偶置換
			奇数数の互換の積からなるとき、これを奇偶置換と呼ぶ。

				+1 ( 偶置換 )	# 単に 1 と書くこともある
		sgn \sigma = {
				-1 ( 奇置換 )

		これを、\sigma の「符合」と呼ぶ。

		# 「符合」の英語は sign であるが、i を省略して sgn
		# この発音は三角関数の sin と同じであること注意		

	[定理] 1.4
		sgn 1_n = 1
		sgn \sigma^{-1} = sgn \sigma
		sgn (\sigma\tau) =  (sgn \sigma)(sgn \tau)

	proof)
		1_n = (1,2)(1,2) であるので

			\sigma=\tau_1..\tau_n
		とすると
			\sigma^{-1}
				=	(\tau_1..\tau_n)^{-1}
				=	\tau_n^{-1}..\tau_1^{-1}
					# 合成の逆行列は順番が逆になる
				=	\tau_n..\tau_1
					# 互換の逆はそれ自身

		\tau=\low_1..\low_j とすれば
			\sigma\tau = \tau_1..\tau_n\low_1..\low_j

[問 1]	
	# 後で配るプリントをみれば、問 1 は解ける

	# 置換を、一方が 1 の互換の積で表現することもできる

[問 2]
	n>1

		A_n = { 偶置換 }
		B_n = { 奇置換 }

	の時、\tau を互換とすれば、
		A_n    ------->	B_n 
		\in   		\in
		\sigma |--> \sigma\tau 
		\sigma\tau  <--| \sigma

	これは、1 対 1 上への写像なので、
		|A_n| = |B_n|
	よって
		|A_n| = |B_n| = 1/2 |S_n| = n!/2

[問 3]
		\sigma = ( 1  2  .. n-1 n )
			   n n-1 ..  2  1

	とする。

	n が偶数の時

		\sigma = ( 1  2  .. n/2   n/2+1 .. n-1 n )
			   n n-1 .. n/2+1   n/2 ..  2  1

		       = (1,n)(2,n-1), .., (n/2, n/2+1)

	よって、
		sgn\sigma = (-1)^{n/2}
	

	n が奇数の時

		\sigma = ( 1  2  .. (n+1)/2 .. n-1 n )
			   n n-1 .. (n+1)/2 ..  2  1

		       = (1,n)(2,n-1), .., ((n-1)/2, (n+3)/2)

	よって、
		sgn\sigma = (-1)^{(n-1)/2}
	すなわち、

				+1 ( n = 4m, 4m+1 )
		sgn\sigma = {
			  	-1 ( n = 4m + 2, 4m+3 )

[定義](行列式)

	n^2 個数の変数 x_{ij} ( i,j = 1 .. n ) の多項式

		\sum_{\sigma \in S_n} x_{1\sigma{1}}x_{2\sigma{2}}..x_{n\sigma{n}}

		# これは n 次式になる

	を、「n 次の行列式」と呼び。

		| x_{11} x_{12} .. x_{1n} |
		| x_{21} x_{22} .. x_{2n} |
		|		..	  |
		| x_{n1} x_{n2} .. x_{nn} |

	で表す。

	[例]
		(n=1 の時)

			| a_11 |
			 = \sum_{\sigma \in S_1} sgn{\sigma} x_1\sigma{1}
		ここで、
			S_1 = { 1_n }
			sgn 1_n = +1
		なので、
			= a_11

		(n=2 の時)
			| a_11 a_12 |
			| a_21 a_22 |
			 = \sum_{\sigma \in S_2} sgn{\sigma} x_1\sigma{1}x_2\sigma{2}

			S_2 = { 1_n (1,2) }

		なので、
			= a_11 a_22 - a_12 a_21


		(n=3 の時)
			| a_11 a_12 a_13 |
			| a_21 a_22 a_23 |
			| a_31 a_32 a_33 |
			 = \sum_{\sigma \in S_3} sgn{\sigma} x_1\sigma{1}x_2\sigma{2}x_3\sigma{3}

			S_3 = 6 個ある

		なので、
			=   a_11 a_22 a_33 + a_12 a_23 a_31 + a_13 a_21 a_32
			  - a_11 a_23 a_32 - a_12 a_21 a_33 - a_13 a_22 a_33

	ここまでの定義は、計算してみると、前期にやった内容と結果が同じなった
		# この定義が拡張になっていることが解る

		(n=4)
			同様に定義されるが今度は 24 個なので計算するの大変
				=> 別の手段 ( 基本変形と展開 ) で計算する
				# この話は、来週か再来週にする

[定義] (行列 A の行列式 |A|)
	A = ( a_ij ) に対し、
		\sum_{\sigma \in S_n} a_{1\sigma{1}}a_{2\sigma{2}}..a_{n\sigma{n}}		
	を、A の行列式とよび
		|A|, det A, det(a_1,..,a_n)
	または、
		| a_11 .. a_1n |
		|      ..      |
		| a_n1 .. a_1n |
	で表す。


	[例] (対角行列の行列式)

		A = | a_11    O  |
		    |     ..     |
		    |  O    a_nn |

	の時
		|A| = a_11 .. a_nn

	である。

	特に、
		|E_n| = 1
		|O_n| = 0

	[例] 行列 A の一つの列が全て 0 ならば |A|=0
		proof)
			1 列目が 0 とする
			すなわち
				a_1k = 0 ( k = 1..n )
			よって、
				a_1\sigma{1} = 0 ( \forall \sigma \in S_n )
			したがって、
				|A| = 0

			# 列もちょっと難しいが同様であることに注意
			#	a_{k1} = 0 (\forall k )

==

8093	そもそも登録されていない ?