行列式の話が少しだけ残っているのでそれをやる

行列式の話で重要なのは、「行列式の展開」これを使って次元を下げることができる
行列式の値を計算するには、これが重要
	=> text p. 87 問レベルは解けるように !!

残りの話題
	行列式を使って、逆行列が定義できる
	行列式を使って、特別な場合の連立方程式を求めることができる。

# 章末問題は、時間が余ったときに少しずつやる

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例 a,b,c を互いに異なる数とする。

	    x +     y +     z = 1
	a   x + b   y + c   z = d
	a^2 x + b^2 y + c^2 z = d^2

すると、係数行列 A の行列式歯、次のようになる

	| 1   1   1   |
|A|=	| a   b   c   | = Δ(a,b,c) = (c-b)(c-a)(b-a) \ne 0
	| a^2 b^2 c^2 |

	# ヴァンデルモンドの行列式なので、直に計算できる

[注意] クラメルの公式が利用できるためには、係数行列の行列式が 0 でないこと

クラメルの公式により

	x = \frac{|A_1|}{|A|}
	y = \frac{|A_2|}{|A|}
	z = \frac{|A_3|}{|A|}

ただし、

	| 1   1   1   |
|A_1|=	| d   b   c   | = Δ(d,b,c) = (c-b)(c-d)(b-d)
	| d^2 b^2 c^2 |

	| 1   1   1   |
|A_2|=	| a   d   c   | = Δ(a,d,c) = (c-d)(c-a)(d-a)
	| a^2 d^2 c^2 |

	| 1   1   1   |
|A_3|=	| a   b   d   | = Δ(a,b,d) = (d-b)(d-a)(b-a)
	| a^2 b^2 d^2 |

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# ここから新しい章

# 線型空間/線形空間/ベクトル空間は同じ意味


[定義] (線型空間)
	集合 V が次の 2 条件 [I] [II] を満す時に、V を複素線型空間と呼ぶ。
		# C-線型/線形/ベクトル空間 / C 上の線型空間

	# V は単なる集合なので、そもそも、和とか定数倍もないので、それ
        # を導入することから始まる。

	# [I] は和に関する条件 [II] はスカラー倍に関する条件

	[I] V の二つの元 x, y に対して、「和」とよばれる第三の元(x+y \in V) が
	定まり、以下を満す。

		(1) (x+y)+z = x+(y+z)
		(2) x+y = y+x
		(3) 零ベクトルと呼ばれる特別な元(0) が唯一つ存在し、
			0+x=x ( \forall x \in V )
		を満す。
		(4) \forall x \in V \exist1 x' \in V s.t.
			x + x' = 0
		この x' を、x の「逆元」と呼び、「-x」 で表す。

		# これらの条件は「和」として利用できる条件を列挙した

	[II] x \in V, a \in \C に対して、 x の a 倍 ( ax \in V ) と
	呼ばれる元が定まり、以下を満す。

		(5) (a+b)x = ax + by
		(6) a(x+y) = ax + ay
		(7) (ab)x = a(bx)
		(8) 1x = x

	# この (1) 〜 (8) が、線型空間の公理

		# この公理を満すものは全部線型空間とするので、ベクトル空間のよ
                # うにみえないものも線型空間になる。

# ここでは、\C(複素数) で話をしているが、\R(実数) でも全く同じ議論がで
# きるここでは、いちいち \C と \R と断る代りに、この二つを代表して K で
# 表すことにする。


[線型空間の例]

	例 1 :
		V = { x } : 元が一つしかない集合
			# これに次のように和とスカラー倍を導入すれば線型空間になる
			# 元は、なんでも良い

		和 : x + x = x
		スカラー倍 : a x = x

		このような定義をすれば、(1) 〜 (8) を満す。

	# これは簡単だが、結構、色々な所ででてくる

	# もっと単純な集合として空集合が考えられるが、条件 (3) で、少く
          ても零元がないとだめなので、空集合は線型空間にならない
	

	例 2 :
		V^3 = { 空間ベクトルの全体 }
		V^2 = { 平面ベクトルの全体 }
			=> 実線型空間の例

		# これは普通のベクトル空間

	例 3 :
		C^n = { n 項複素列ベクトル全体 }	
		R^n = { n 項実列ベクトル全体 }	
		( K^n = { n 項 K- ベクトル全体 }	)
			=> K-線型空間

		# n>1 であればベクトル空間的だが n=1 の場合もベクトル空間となる
	例 4 :
		V=M_{m,n}(K) = { (m,n) 型 K-行列全体 }
			=> K-線型空間

		# 成分は、ベクトルではなく行列だが、これもベクトル空間

	例 5 :
		V = { x \in K^n | Ax = 0 }
			# 連立方程式 Ax=0 の解の集合なので「解集合」と呼ぶ
			# V 上の和、スカラー倍は、K^n のものをそのまま利用する
			#	V は K^n の部分空間になっている
 			#	# これは「部分空間」の典型的な例だがまだ、「部分空間」をやっていないので、詳しくはその時に説明


	例 6 :
		P(K) = { f(x) | K-係数の一変数多項式 }
			# これの和、スカラー倍は、普通に多項式の和、多項式の定数倍を採用する
			# すると、その和、スカラー積に対して、線型空間になる。

			# これは多項式の集合なので、ベクトルとはかなり形が違うが、やはり、公理を満す以上は、ベクトル空間と見做せる。

		P_n(K) = { f(x) を P(K) の要素で、n 次以下 }
			=> K-線型空間
			# P_n(K) は P(K) の部分空間の例になっている

	例 7 :
		V = { T | A -> K; 写像 }
			# これは写像の集合
			#	これは、普通には和やスカラー倍が定義されていないが次のような形で、和とスカラー倍を導入すれば、線型空間になる

			[和] T, S \in V の時
				(T+S)(x) = T(x) + S(x)
			[スカラー倍] T \in V, a \in K
				(aT)(x) = a T(x)

			に関して、K-線型空間になる。

		特に
			A が区間
			K = R
			連続関数に限定
				などとしても、それぞれ、実線型空間になる

	# 集合をもってきて、それに上手く、和とスカラー倍が導入でいれば、線型空間になる
	#	集合によって、導入できない例もある ( cf. 空集合 )
	#	和や、スカラー倍の入れかたが複数の場合もありうる


	例 8 :
		V = { {a_n} : 実数列 }
			{a_n} + {b_n} = { a_n + b_n }
			c{a_n} = { c a_n }
				-> 実線型空間

		V_0 = { {a_n} : 収束列 }
			-> 実線型空間

			# 収束する数列の和も収束する

		# 数列の要素が複素数になれば、複素線型空間になる

	例 9 :
		V = { {x_n} , x_{n+k} _ a_{k+1} x_{n+k-1} + .. + a_1 x_{n-1} + a_0 x_0 = 0 (a_n \ne 0) }
			# 漸化式を満すような数列の集合 : 漸化式の解集合

			-> 実線型空間になる

	例 10 :
		V = { y = f(x) | y^(n) + a_{k-1}(x) y^(n-1) +
			 .. + a_1(x) y' + a_0(x)y = 0 ( a_n(x) \ne 0 ) }
			# k 階斉次線型微分方程式の解集合

	# 対象は、ベクトルじゃないような物も扱うが、普通は通常の K^n を考える
	#	-> 実は K^n だけを考えれば済むという話になっているがこれは先の話

==

[定義] V, V' : K-線型空間

	T : V -> V' 写像が次の式を満す時、T を V から V' への「線型写像」と呼ぶ

		T(x+y) = T(x) + T(y)
		T(c x) = x T(x)

[定理] T : V->V' : 線型写像, S:V'->V'' : 線型写像 => ST : V -> V''  : 線型写像
	proof)
		ST(x+y) = S(T(x+y)) = S(T(x)+T(y)) = S(T(x))+S(T(y)) = ST(x) + ST(y)

		ST(ax) = S(T(ax)) = S(a T(x)) = a S(T(x)) = a ST(x)

	# 線型写像の証明は、まいかい、このパターンが多い

[定義]
	T_1, T_2 : V->V' : 線型写像
に対して、
	和 (T_1+T_2) を
		(T_1+T_2)(x) = T_1(x) + T_2(x)
とする。
	# ここで、V' が線型空間なので、この定義が意味を持つことに注意
すると、
	和 (T_1+T_2) は V から V' への線型写像

	proof)
		(T_1+T_2)(x+y)
			= T_1(x+y) + T_2(x+y)
			= T_1(x) + T_1(y) + T_2(x) + T_2(y)
			= T_1(x) + T_2(x) + T_1(y) + T_2(y)
			= (T_1+T_2)(x) + (T_1+T_2)(y)

		(T_1+T_2)(a x)
			= T_1(a x) + T_2(a x)
			= a T_1(x) + a T_2(x)
			= a ( T_1(x) + T_2(x) )
			= a (T_1+T_2) (x)

		よって、線型写像

		# これもワンパターン

[定義] (線型変換)
	V から V への線型写像を、V の線型変換(一次変換)と呼ぶ

[定義] (同型写像)
	V から V' への線型写像 \phi が
		一対一かつ、上への写像
	であるとき、
		\phi は V から V' への
			同型写像 / 同型対応
	と呼ぶ。

[定義] (同型)
	V と V' の間に同型対応があれば、V と V' は互いに「同型」であるといい
		V \equiv V'
	で表す。

[定理] 同型は、同値関係

	# 注意
	#	同値関係とは次の三つを満す関係の事
	#		1) V = V (反射律)
	#		2) V = V' -> V' = V (対称律)
	#		3) V = V', V' = V'' -> V' = V'' (推移律)

	proof)
	1)
		1_V : V   -> V : 恒等変換
		      \in   \in
		      x |--> x

	とすれば、1_V は同型対応なので、 V と V は、同型

	2)
		\phi : V -> V' : 同型対応
	とすれば \phi の逆写像 \phi^{-1}
		\phi^{-1} : V -> V' : 同型対応
	は、V' から V の同型対応になるので、V' と V は同型

	3)
		\phi  : V  -> V'  : 同型対応
		\phi' : V' -> V'' : 同型対応
	とすれば、この二つの対応の合成
		\phi' \phi
	が、V から V'' への同型対応になる。

[同型の例]

[例 11]

	\phi : M_{m,n}(K) -----------> K^{mn}
		\in			\in
		A = (a_mn) |------->      a_1
					( a_2 )
					  ..
					  a_n

	は、一対一、上への写像で、しかも線型
	よって、
		M_{m,n}(K) \equiv K^{mn}


[例 12]
	V^3 = { 空間ベクトル全体 }
	R^3 = { 3 項目実列ベクトル全体 }

		V^3 ----->  R^3
		\in	    \in
			     x
		v   |----> ( y )
			     z
	よって、
		V^3 \equiv R^3

		# 前期に散々やったように、V^3 と R^3 は、ほぼ区別しない
                # で使っていた ( 同一視していた ) のは、このような「同
                # 型」の関係があったから

	同様にして、
		V^2 \equiv R^2

	# 後からわかるようにこうやって、色々な線型空間が K^n と同型にな
        # るので、K^n だけを考えれよいということが解る

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# ちょっと時間が余ったので、章末問題を一つだけやる

p.90 1 イ)

	| x -1  0 ..  0 |
	| 0  x -1 ..  0 |
	| 0  0 \ \    | | 
	|   0           |
	|         x  -1 |
	| a_n ..    a_0 |


一列で展開すると、

	= x | .. | _ a_n (-1)^{n+2} | |

以下、帰納法になる

	= ..
	= a_0 x^n + a_1 x^{n-1} + .. + a_{n-1} x + a_n