2008/12/04 「代数幾何 B」、古津 先生

# 遅刻した..

線型部分空間

[定義] V : K-部分空間
W: V の部分集合が同じ演算に関して線型空間になるとき
W を V の(線型)部分空間とよぶ

[定理]
	W (\ne 空)\sub V が部分空間
	<->
		1) x、y \in W => x+y \in W
		2) x \in W, c \in K => cx \in W

[例]
	{0} は、V の部分空間
	V は、V の部分空間
これ以外の部分部分空間を、真の部分空間と呼ぶ

[例1] A \in M_{m,n}(K), W = {x \in K^n | Ax=0 }
	W \sub K^n = V
とすると、
	W は V の部分空間で、dim W = n - rank A

[例2] V = M_n(K) n 次正方行列
	dim V = n^2

	W_1 = { x \in V | t x = x } : 対称行列
	W_2 = { x \in V | t x = - x } : 交代行列

は、V の部分空間

	proof)
		# 先の定理を利用して、示す。

	X, Y \in W_2 の時

		t(X+Y) = tX + tY = -X + -Y = - (X+Y) よって X+Y \in W_2
		t(cX) = c(tX) = c(-X) = -cX = - (cX) よって cX \in W_2

# 部分空間を示すのは簡単だが、dim を調べるのはそれほど簡単ではない。

E_{i,j} : (i,j) 成分が 1 で残りは 0 とする

	<E_{i,j}> は V の基底になる
	<E_{i,j}+E_{j,i}|i \le j> は W_1 の基底
	<E_{i,j}-E_{j,i}|i \lt j> は W_2 の基底

	# 本当に作れるかは、各自、確認する

よって、
	dim W_1 = nC2 + n = \frac{n(n+1)}{2}
	dim W_2 = nC2 = \frac{n(n-1)}{2}

# 次元を計算するには、基底を具体的に求めて、その個数を数えるのが簡単



[例]	W_3 = { X \in V | tr X = 0 } とすると、W_3 は V の部分空間
# tr の話は 2, 3 章の話題なので、忘れているかもしれないが、4 章で利用するので復習する

	proof)
		X, Y \in W_3, a \in K に対して
			Tr( X + Y ) = Tr(X) + Tr(Y) = 0 + 0 = 0 よって X+Y \in W_3
			Tr( c X ) = c Tr(X) = c 0 = 0 よって、cX \in W_3
		よって、W_3 は、部分空間

	次元を考える
		{ E_{i,j} | i \ne j } \cup { E_{i,i}-E_{i+1,i+1} | i = 1 .. n-1}
	とすると、W_3 の基底になる。

		dim W_3 = (n^2-n)+(n-1) = n^2-1

		# 等式が一つふえると、だいたい、次元が一つ減る

[例 3] W \sub V^3 W はある平面に含まれるベクトル全体
		dim W = 2

# 部分空間の性質は沢山あるが、どれもはずせない大事な性質ばかり
# 以下、W かいたらすべて、V の部分空間とする。

[定理 4.1]
	W_1, W_2 : V の部分空間
		=> W_1 \cap W_2 : V の部分空間
	proof)
		x, y \in W_1 \cap W_2 とすると、
			x, y \in W_1 なので、 x+y, cx \in W_1
		同様に
			x, y \in W_2 なので、 x+y, cx \in W_2
		よって、
			x, y \in W_2 なので、 x+y, cx \in W_1 \cap W_2

# 和はそのままでは、部分空間になるとかぎらない。しかし、足し算に対応す
# るもの欲しいのでそれを作る

[定理 4.2] S : V の部分集合で空集合でないものとする
このとき
	<S> = { c_1 x_1 + c_2 x_2 + .. + c_k x_k | c_i \in K, x_i \in S }
と定義する

# この記号は、基底と同じかきかたで、混同しやすいが、これは基底ではない。
# 現れるために、口頭で、注意をするので、区別する。

と、
	<S> は V の部分空間

	proof)
		x, y \in <S>, a \in K とすると
			x = c_1 x_1 + .. + c_k x_k
			y = d_1 y_1 + .. + d_k y_k
		なので、
			x + y, a x \in <S>
		となる。

	この <S> を 「S から生成される / S によって張られる」部分空間と呼ぶ。

	# 実は、この <S> より、この <S> の名前の方が重要

# ということで「和」に相当するもの考える

[定理 4.3]
V の部分空間 W_1, W_2 に対して、W_1 と W_2 の和空間 ( W_1 + W_2 ) を次のように
定義する。
	W_1 + W_2 = { x_1 + x_2 | x_1 \in W_1, x_2 \in W_2 }

すると、これは、線型空間

# 和集合は、部分空間にならないのだが、そのかわりに和空間を考える
# 証明は一つ前と殆ど同じ			

[定理]
	W_1 + W_2 = < W_1 \cup W_2 >

# こんどは、ちょっと方向をかえて、線型空間を利用する

[定理 4.4]
	T : V -> V' : 線型空間

	T(V) = [ Tx | x \in V } = Im T : T による V の像 ( イメージ )

	# Im V は、複素数の虚部とまちがえそうだが、対象が線型変換なので、区別できる

	は、V' の線型部分空間

	proof)
		x', y' \in T(V), a \in K とする
		\exist x, y \in V s.t. x' - Tx, y' = Ty
		一方、T の線型性質より
			T(x+y) = Tx + Ty = x' + y' \in Im T
			T(cx) = c Tx = c x' \in Im T
		よって、T(V) は、V' の部分線型空間

	T^{-1}(o') = { x \in V | Tx = o } : Ker T
		V' の零元 o' の T による全の逆像 ( T の核 : Kernel )
	は、V の部分空間

	proof)
		x, y \in Ker T, a \in K とすると
			T(x+y) = Tx + Ty = 0 + 0 = 0
			T(ax) = a(Tx) = a 0 = 0
		よって、
			x+y, ax \in Ker T

[定理]
	W = { x \in K^n | Ax = 0} = T^{-1}_A (0) : Ker T_A

# 線型写像 T があると、定義域 ( Ker T ) と値域 ( Im T ) に一つずつ部分
# 空間ができるじつは、これには関係がある。

[定理 4.5]
	dim V = dim Im T + dim Ker T

	proof)
		E = <e_1, .., e_s> : Ker T の基底とする
		e_1, .., e_s は V で線型独立

	# 独立なベクトルがあれば、それから、基底が作れることを前にやったのでこれを利用すると..

		これに付け加えて

		<e_1, .., e_s, e_{s+1}, .., e_n> が V の基底とできる

		この時

		E' = <T(e_{s+1}), .., T(e_n)> が Im T の基底であることを示せばよい

		実際、
			x' \in Im T
		とすると、
			\exist x \in V s.t Tx = x'
		となる。
		x は、V の元なので
			x = x_1 e_1 + .. + x_s e_s + x_{s+1} e_{s+1} + .. + x_n e_n
		これを、T で写すと、T の線型性質より、

			Tx = x_1 T(e_1) + .. x_s T(e_s) + x_{s+1} T(e_{s+1}) + .. + x_n T(e_n)

		ところが、e_1, .., e_s \in Ker T なので、T(e_1) = .. = T(e_s) = 0
		よって、

			x' = Tx = x_{s+1} T(e_{s+1}) + .. + x_n T(e_n)

		すなわち、T(e_{s+1}) + .. + T(e_n) は、Im T を張ることがわかる

		あとは、これらが独立であることを示せばよい。

		c_{s+1} x_{s+1} + .. + c_n x_n = 0

		とすると、

		T (c_{s+1} x_{s+1} + .. + c_n x_n ) = T(0) = 0

		よって、
			c_{s+1} x_{s+1} + .. + c_n x_n \in Ker T
		よって、
			\exist c_1, .., c_s s.t.
			       c_{s+1} x_{s+1} + .. + c_n x_n = c_1 e_1 + .. + e_s x_s
		すわわち、
	       
		- c_1 e_1 - .. - e_s x_s + c_{s+1} x_{s+1} + .. + c_n x_n = 

		これは、e_1 から e_n の線型関係であるが、これらは V の基底なので
		独立、すなわち、自明な関係しか存在しないので
			-c_1 = - c_2 = .. = c_n = 0
		よって、T(e_{s+1}) .. T(e_n) は独立

	よって、
		dim Im K + dim Ker T = dim V

[定理 4.6]
	1) W_1 \sun W_2 => dim W_1 \le dim W_2
	2) W_1 \sun W_2, dim W_1 = dim W_2 => W_1 = W_2

	proof) (1)
		<e_1, .., e_r> : W_1 の基底
		e_1, .., e_r は W_2 で、線型独立
		これにつけくわえて
		e_1, .., e_r, e_{r+1}, .., e_{n} は、W_2 の基底
		よって、
			dim W_1 = r \le s = dim W_2
		(2)
		r = s より <e_1,..,e_r> が W_1 の基底
		x ( \in W_2 ) = \sum_{i=1}^n c_i e_i \in W_1
		よって、
			W_2 \sub W_1
		よって、
			W_1 = W_2

[定理 4.7]
	dim W_1 + dim W_2 = dim(W_1+W_2) + dim(W_1 \cap W_2)

	# これは大変重要な定理 !!! 使えるようにしておくこと
	# 証明は大変なので、時間があったらやる
	# 教科書にはのっているので、自分でおっかけてもよい

[定義]
	V = W_1 + W_2 で、 V のベクトルを W_1 と W_2 のベクトルの和として
	表すしかたが一意的の時、
		V は W_1 と W_2 の「直和」と呼び
		V = W_1 \.+ W_2 = W_1 +o W_2
	で憐らす。

	# 直和の記号は、Text では、\.+ だが他の Text や講義では「+O」を
        # 利用するので、講義では、この +O を使う

# 直和の定義と同値な記述が二つある

[定理 4.7]
	V = W_1 + W_2 とする、以下は同値
		1) V = W_1 +o W_2
		2) W_1 \cap W_2 = {0}
		3) dim V = dim (W_1 + W_2) = dim W_1 + dim W_2
	proof)
		# 2) <-> 3)

		2) W_1 \cap W_2 = { 0 }
		<->
		dim (W_1 \cap W_2) = 0
		<->
		dim (W_1 + W_2) = dim W_1 + dim W_2
			# 定理 4.6 より

		# 1) <-> 2)
		# ( <= )

			W_1 \cap W_2 = { 0 }
		とする、
			x ( \in V ) = x_1 + x_2
			    	    = y_1 + y_2
				x_1, y_1 \in W_1, x_2, y_2 \in W_2

		と表し方が二通りにかけたとそる
			x_1 + x_2 = y_1 + y_2
		なので
			x_1 - y_1 = y_2 - y_1
		ところが
			左辺は、W_1 の要素で、右辺は W_2 の要素
		これが等しいのでこの値は、W_1 と W_2 の共通要素となる
		ところが、W_1 と W_2 の共通要素は 0 のみなので、
			x_1 - y_1 = y_2 - y_1 = 0
		すなわち、
			x_1 = y_1, x_2 = y_2
		ということで、実は、同じ表現しかできていない

		# ( => )

		a ( \ne 0 ) \in  W_1 \cap W_2 とする
			V \in 0 = 0 + 0 = a + (-a)
		これは、表し方が一通りであることに矛盾する

==

線型空間の話を来週やり、再来週は、線型写像の話をする