# 30 分も遅刻した

計量同型

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# ユニタリ : 内積をかえない変換

[定理]
	V, V' : n 次元 K-計量空間
=>
	V, V' は計量同型


V : 計量空間
	(E;\phi), (F,\psi) : 正規直交基底

	P:基底の取り換え行列 E->F の行列
		T_P : 計量同型写像
			(Px,Py) = (x,y)
			よって、P はユニタリ行列

[定義] V:(実)計量空間
	T: V -> V への計量同型変換
を、
	V のユニタリ(直交)変換
と呼ぶ。

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# 等長変換: 長さをかえない変換

	T : V の線型変換 が長さをかえないとする
		|Tx| = |x| (\forall x \in V )
すると、
	これは、ユニタリ変換になる

proof)
	T が同型変換であることを示す。
		まず、|T0| = |0| - 0 なので、|T0| = 0 である
		一方、|x|=0 ならば x=0 なので、T0 = 0 となる。
			T0 = 0 なので、一対一がいえる
		次に、V は次元が有限なので、一対一ならば上への写像
			よって、同型
	よって、定理(?) [定義と同値な定理] より
		(Tx、Ty) = (x,y)

[定理 6.6]
	V のユニタリ変換 T の任意の直交基底 (E;\phi) に関する行列 A は、ユニタリ行列

proof)
	    T
	V ----> V
	|φ     |φ
	v	v
	K^n -> K^n
	   T_A = φTφ^{-1} : 計量同型					

	∵) φ も T も ( φ^{-1} も..) 計量同型なので、その合成も計量同型

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[例 7] 1, cos(kx), sin(kx) ( k = 1,2,..,n ) ( これは 2n+1 個 ) の線型
結合の全体 V は 2n+1 次元 実線型空間

	# 実際は、これらが独立であることを示す必要があるが、それはほぼあきらか

	# これに、内積を入れる

	f,g \in V に対して、内積 (f,g) を次のように定義する

		(f,g) = \int_{-\pi}^{\pi} f(x)g(x) dx

		# これが、内積の性質を満すことは確認する必要がある
		# 細かい点は、微積の内容で...

	# この空間に、線型写像を入れる

	平行移動 T を
		(T f)(x) = f(x+c)
	とする。
		T は V の線型変換になる。

		# T が線型性(和とスカラー倍が外にでる)が成立することはあきらか
		#	問題は T(V) が V の中にはいるか ?
		#		これは確認する必要がある
		# 確認するのは、基底で十分。

	T 1 = 1 \in V
	T cos(kx) = cos(kx+c) = cos(kc) cos(kx) - sin(kc) sin(kx) \in V
	T sin(kx) = sin(kx+c) = sin(kc) cos(kx) - cos(kc) sin(kx) \in V

	T は直交変換
		proof)
			f,g \in T に対して
			(Tf,Tg) = \int_{-\pi}^{\pi} f(x+c)g(x+c)dx
					t = x+c とすれば
			        = \int_{c-\pi}^{c+\pi} f(t)g(t) dt
			        = \int_{c-\pi}^{c+\pi} f(x)g(x) dx
				= \int_{-\pi+c}^{\pi} + \int_{\pi}^{\pi+c}
				= \int_{c-\pi}^{\pi} + \int_{-\pi}^{c-\pi}
				= \int_{\pi}^{\pi}
				= (f,g)

	# 次に直交基底を作ることを考える(結構面倒..)

	まず、
		\int_{-\pi}^{\pi}\sin{kx}dx=0
		\int_{-\pi}^{\pi}\cos{kx}dx=0

		\int_{-\pi}^{\pi}\cos{kx}\sin{lx}dx=0 # 奇関数だから.. )

		\int_{-\pi}^{\pi}\cos{kx}\cos{lx}dx
			=	1/2 \int_{-\pi}^{\pi}(cos(k+l)x - cos(k-l))dx
				0 ( k \ne l )
			= {
				\pi ( k = l )

		\int_{-\pi}^{\pi}\sin{kx}\sin{lx}dx
			=	1/2 \int_{-\pi}^{\pi}( - cos(k+l)x + cos(k-l) )dx
				0 ( k \ne l )
			= {
				\pi ( k = l )

	よって、

	1, cos(kx), sin(kx) は互いに直交している。よって、あとは正規化するだけ

		e_0      = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}
		e_{2k-1} = \frac{1}{\sqrt{\pi}} \cos{kx}
		e_{2k}   = \frac{1}{\sqrt{\pi}} \sin{kx}

	すれば、正規直交系になる。

	E に関する T の行列 A を考える


			1    0      0     0
		A = (   0  cos{c} sin{c}  0
			0 -sin{c} cos{c}  0
			0    0      0    cos{2c} sin{2c}  0
			0    0      0   -sin{2c} cos{2c}  0


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今日の内容は、来年もう一度やるけど「いちおうやっている」ことに注意

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前回の小テストの内容

	基底の取り換え
	線型変換に対応する行列
	シュミットの直交化
		=> 途中の計算のプリントを作成する
		=> 確かめ算