代数学幾何学 A (2009/04/09) 古津先生

線型代数 A/B
	ベクトルと行列の話

後、三列は禁止

講義の内容は、教科書に従って行う ( 〜 6 章 )
	残りは、C, D でやる
		ずっと、同じ教科書でやる
			=> 最初に解らなくなると、あとで大変
		他の授業でも利用する
		もちろん、必修 !!
			駿河台でやっていないので、今年落すと、来年も船橋になってしまう..


==

# 復習からやる

平面ベクトル(あとで、空間もやる)

ベクトルとは ?
	=> 「大きさ」と「向き」をもつ
		=> 矢印

	# 4 章で、抽象的な定義をやる

		(反対語) スカラー (大きさだけ)

	向きと長さが同じであれば、同じベクトルとして扱う
		# ベクトルの出発点(始点)が異っても、きにしない

		矢印の元 => 始点
		矢印の先 => 終点

特別なベクトル
	始点と終点が同じベクトル => 零ベクトル
		大きさが零のベクトル
		向きは ?
			方向はない ( 「全ての方向を向いている」という解釈もある )

		# (零以外の..) ベクトルは、全て大きさと向きの二つの要素
                #  を持つのにで、零ベクトルは(向きがないという意味で..)特
                #  殊
		#	=> ただ、零ベクトルがないと色々と不便なので、ベクトルに加えておく


ベクトルの集合
	平面ベクトル全体の集合 => V^2
	空間ベクトル全体の集合 => V^3
と書く

	# この記号は、一版的な記号ではなく、この本の中の記号 ( だから、
        # 代機 C,D でも使う が.. ) 他の本では別の記号である可能性がある。

	[例]
		v  \in V^2
		PQ \in V^2

ベクトル同士の足し算

	a + b : 先のベクトル(a)終点に、後のベクトルの始点をつないだ時の、先のベクトルの始点を始点、後の終点を終点とする新しいベクトルを a と b の和と呼び a+b で表す。


実数全体の集合
	R
		# これは、他の本でもこの記号を利用することが多い

	k を実数とする ( k \in R )
	a \in V^2 の時
		k a
	は、a の大きさを定数(k)倍したベクトルとする
		ka を スカラー倍 と呼ぶ

		k が負の数の時には、向きが反対になる(大きさは |k| 倍)

	# 平面/空間ベクトルの和とスカラー倍は、上記の図形の形で定義する
	## 4 章では、和とスカラー倍を異なる形(図形を利用しない形)で、定義する

	## 平面、空間は、ベクトルの基本的な例になっているので、解らなく
        ## なったら、平面、空間ベクトルに直して考えるとよい。

定理 [1.1] (和に関する法則)
	交換法則/結合法則/0 
		# 非常に基本的で、足し算でこれが成立しないと困るだろうという内容が[1.1]となっている。

定理 [1.2] (スカラー倍に関する法則)

	# やはり同様に、基本的な性質

	## 4 章では、結局、この[1.1]/[1.2] が成立するということを前提に議論する

	#!!! 平面ベクトルと空間ベクトルは大変重要なので、きちんと身に付ける

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# ここまで、成分の話はなしでやってきたが、高校と同様、座標を决めれば、
# 成分でベクトルを表すことができる。

	a \in V^2 とする。
		座標がきまれば、成分も決る

	a = ( a_1 )
	      a_2

	# 注意、高校までは、ベクトルの成分を横に書いていたが、大学では縦に書く

	# 空間の場合は、数値が三つになる。


	      a_1
	a = ( a_2 )
	      a_3

	# 個々の数値を「成分」と呼ぶ
	#	平面/空間では、成分が実数
	#		それいがいでは、成分が複素数が入ってくる
	#			=> そうなると、「向き」がよく解らなくなる...
	#				一般化すると、「向き」は考えなくなる

空間ベクトルの和を成分に着目して考える ( 平面も、成分が一つ少いだけで同じ )

	      a_1	    b_1
	a = ( a_2 ),  b = ( b_2 )
	      a_3	    b_3

の時、
				  a_1 + b_1
	和		a + b = ( a_2 + b_2 )
				  a_3 + b_3

			        k a_1
	スカラー倍	k a = ( k a_2 )
			        k a_3

	# この操作は、重要なので、きちんと身に付けておく


位置ベクトル
		
	空間の点	<-----------> V^3 の元
	  P			OP

		# O は原点

		点と、ベクトルが 1 対 1 に対応している
			OP を P の位置ベクトルと呼ぶ

		# 1 対 1 に対応しているので、この二つを同一視することが良くある
		#	=> この対応を良く身に付けておくこと !!


		# 位置ベクトルを定めるためには、原点が必要
		#	=> 原点をいれた場合は、ついでに、座標も入れことが多い
		#		=> 座標が決れば、成分表示が可能になる

	空間座標をいれた場合の特別なベクトル

		        1	     0		  0
		e_1 = ( 0 ), e_2 = ( 1 ), e_3 = ( 0 )
			0	     0		  1

		# これは、座標を决める、軸方向で、大きさが 1 のベクトル
			=> 単位ベクトルと呼ぶ

	任意の空間ベクトル v ( \forall v \in V^3 ) は、
		v = a e_1 + b e_2 + c e_3
	と、必ず、一意にかける。

		# 数学では、「任意の」といったら、「勝手に一つ取ってきなさい」の意味
		## \forall で表現される

	proof)
		      a
		v = ( b )
		      c

	とすると、
		      a	      0	      0
		v = ( 0 ) + ( b ) + ( 0 )
		      0	      0	      c

	QED

		v = a e_1 + b e_2 + c e_3
			# この形を、線型(一次/線形)結合と呼ぶ。

	# 線型結合は、別に単位ベクトルに限らず、他にも、色々ある


線型独立(一次独立)
	ー> 単にベクトル以外で、同様

ベクトル長さ(大きさ/ノルム) を|a| で表す。


	      a_1
	a = ( a_2 ) の時 |a| = \sqrt{a_1^2,a_2^2,a_3^2)
	      a_3


交角
	二つのベクトルの間の角度を交角(\thita)と呼ぶ
		交角を使って内積が定義できる

	(a,b) = |a| |b| \cos{\thita}
		= 1/2 (|a|^2+|b|^2 - |a-b|^2 )
			# 角度がいらない

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[注意]
	成績
		講義と、演習で点数が付く
		講義は、期末テストと、中間のテスト

# 英語 3 を取る人は注意