代数学幾何学 A (2009/04/16) 古津先生

前回の残りから

二つのベクトル x, y が作る平行四辺形の面積を S とする。
x と y のなす角度を θ とし、この範囲を 0 から π とする。

すると、

	S = |x| |y| \sin θ

となる。

ここで、
	\sin{θ} = \sqrt{1-\cos^2{θ}}
		#  θ とし、この範囲を 0 から π としたので、\pm はいらない
なので、これを代入して整理すると
	S = |x| |y| \sqrt{1-\cos^2{θ}}
	  = \sqrt{|x|^2|y|^2-|x|^2|y|^2\cos^2{θ}}
	  =\sqrt{|x|^2|y|^2-(x,y)^2}
		# θが不要になった

	# ここまではよいのだが、この後が大事、成分をいれると..

	x = ( a ), y = ( b )
	      c          d

	とすると、

	S = \sqrt{ (a^2+c^2)(b^2+d^2) - (ab+cd)^2 }
	  = \sqrt{ (ad-bc)^2 }
	  = |ad-bc|
		この形は、あとで、行列式の形で、重要になるので、覚えておく !!

==

(1) 平面内の直線
# 次回、
# (2) 空間の直線
# (3) 空間の平面
# をやるが、似ているので、今回しっかりすれば、これらも簡単

	# ベクトルでは、真っ直ぐなものを扱うのが得意

	直線の式
		y = p x + q
		a x + b y = c
	を、ベクトルで考える

	二点 A, B を通る直線 l を考える
		A の位置ベクトルを a とする
		B の位置ベクトルを b とする
		AB = v
	とする.
	直線 l 上の点を X とし、その位置ベクトル x を考えると
		x = OX = OA + AX
		  = a + t v

		# v と AX は同じ直線上のベクトルなので、定数倍になっている

	この時、v を l の方向ベクトルと呼ぶ

	# t の値によって、X はどこにくるか ?

	t = 0 の時
		x = a となる
	t = 1 の時
		x = b となる
	t = 2 の時
		A から B の方向へ二倍先
		# 今度は逆方向
	t = -1 の時
		A から B と反対側で同じ所
		...

	この様子から、t が実数全体を動けば、X は、直線 l 上の全体を動くことが解る

	# この様子から、t に限定すると、色々なことが解る。

	0 <= t <= 1 の時
		X は A から B の間になる ( 線分 AB を表現 )
	0 <= t
		X は、A から B 側の半直線になる

		# t を色々かえると、直線上の色々な図形を表現することができる

	# ちょっと別の考えかたをしてみる。

		x = a + t v
		  = a + t ( b - a )
		  = (1-t) a + t b
			# これは、a と b の線型結合になっている
	これは一般的に

		x = s a + t b

	となる。

	ここで、
		s + t = 1 とすれば、
			前とおなじく、A,B を通る直線の式

	# しかし、前回と異り、今度は s, t と二つパラメターがあるので、それを色々
	# 考えれば、別の図形もでてくる。

		t = 0, s は自由 とすれば、
			直線 OA を表す

		t は自由, s = 0 とすれば、
			直線 OB を表す

	# ここまでは、= (等号) だったが、今度は、不等号にしてみる

		s + t < 1 とすれば、
			直線 AB で切られた半平面で、O が入っている方

		t > 0, s = 0 とすれば、
			直線 OA で切られた半平面で、B が入っている方

		s > 0, t = 0 とすれば、
			直線 OB で切られた半平面で、A が入っている方

	# 不等式にすれば、半平面を表すことができる。

		辺 AB
			s + t = 0, s >= 0, t >= 0

			# これは、一つのパラーメータでも表現できるが、次のは二つあるために表現できる

		三角形 ABC の内部(境界を含まない)

			s + t < 1
			t > 0
			s > 0

	# ベクトルは、このような直線で囲まれた図形を表現するために利用できる
	#	三角形だけでなく、多角形も同様に表現できる
	#	原点を含まない三角形でも、平行移動すればよいので、やはり表現できる

[まとめ]
	直線のベクトル表示 (その一)
		x = a + t v
			# a は直線が通る点の位置ベクトル
			# v は直線と平行なベクトル

	# 次にもう一つのベクトル表示をやるが、その前に、これと直線の式の相互書換えをやっておく

	問 1 イ)
		2 x + 3 y = 4

	直線上の二点を取る。

		A ( 2, 0 )
		B ( -1, 2 )

		#	適当にとってもよいが、分数は嫌なので、整数のものをちょっと探す

	これから方向ベクトル v を求める

		v = AB = ( -3 )
		            2

	よって、

		( x ) = ( 2 ) + t ( -3 )
		  y       0          2
	
	# 直線のベクトル表示は一通りでないことに注意 !!

	問 2 イ)

		( x ) = (  1 ) + t ( 2 )
		  y       -1         1

	# やり方は二つある

	(1) # 直線上の 2 点を求める

		A ( 1, -1 )
		B ( 3, 0 )

	これから、2 点を通る直線の式を求める

		y = 1/2 x - 3/2

	(2) パラメータ表示にする

		x =  1 + 2 t
		y = -1 + 1 t

	これから、t を消去する。

	# (1) と (2) はどちらでもよいが、点が必要になることがあるので、その時は(1) を、そうでない時には (2) を使うとよいだろう。


# もう一つのベクトル表示

	直線の式
		a x + b y = c
	を考える。

		x = ( x ), p = ( a )
		      y          b

	とすると、

		( x, y ) = c

	という式になっている。

	# というわけで、この間の表現は簡単に交換可能

	これが、もう一つのベクトル表示

	特に

		a x + b y = 0

	の場合を考える。
	これは、

		(x,p) = 0

	ってこと。つまり、直行する。

	この場合、
		a x + b y = 0
	は原点を通る直線あり、p は、それに垂直なベクトルであることがわかる。

	元の
		a x + b y = c

	に戻すと、これは、定数分だけ平行移動しただけなので、やはり p と l が垂直
	であることわかる。

	つまり、p は、l に垂直なベクトルだということが解る。

	この p を l の法線ベクトルと呼ぶ。

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正射影
	# これは、後々、あっちこっちで使うので、ここで簡単な場合をやっておく

	射影は、一般的にあるものに一定の方向から光をあてた時、別の物の上にできた影を考えること
		ここでは、ベクトルを直線への影を考えるが、さらに正射影の場合は、直線と垂直な方向からの光を考える。

		# 平面上のベクトルに関しては、写す先は直線しかない
		# 空間のベクトルの場合は、平面と同じ直線への場合ともう一つ平面への正射影がある。

	ベクトル w の直線 l への正射影 w' = s v を考える
		# w' は l 上のベクトルになるので、v の定数倍になる
		l の式は x = a + t v とする
			# 実は、a は関係ない。なぜなら a は直線 l の平行移動させるだけだが、l を平行移動しても、w' は変らないので..

	w - w' を考えると、これは、l に垂直、すなわち v に垂直
	これから、

		w' = s v
		(w-w',v) = 0

	が成立する。これを連立させて w' を求めると

		w' = \frac{(w,v)}{(v,v)} v

	となる。これが、正射影の公式。

		# これは、後でも出てくるので、覚えておく。

	# これの応用で、点と直線の距離を計算してみる。
	# 今度は a も関係ある

	直線 l : x = a + t v と、 l 上にない点 W (w) との距離を考える。
		W から l に下した垂線の足を W_0 (w_0) とする。

		w_0 = a + s_0 v		# w_0 は、l 上の点なので
		(w-w_0,v) = 0		# WW_0 は l に垂直

	# この式は、先の正射影の式によくにているが、一部異なる。でも方法はほぼ同じ

	これから s_0 を求めると

		s_0 = \frac{(w-a,v)}{(v,v)}

	となるので、

		w_0 = a + \frac{(w-a,v)}{(v,v)} v
			
	欲しいのは、w と w_0 の距離なので、

		d = | w - w_0 |
		  = | w - a - \frac{(w-a,v)}{(v,v)}v |

	ただ、これは、ちょっと複雑なので、覚える必要はない、ポイントは、「こうゆうことができる」ということ !!

	# 今回は、ベクトル表示、その 1 を利用したが、今度は、表示 2 (内積表示)を使う

		l : (x,p)=c

	とすると、

		(w_0,p) = c
		w-w_0 = t_0 p

	という条件になる。

	これを連立させて t_0 を求めると

		t_0 = \frac{(w,p)-c}{(p,p)}
	
	よって、距離は、

		d = |w-w_0| = |t_0 p| = \frac{|(w_0,p)-c|}{|p|}

	となる。更に、成分表示すると、

		w_0 = ( x_0 )
		        y_0

	とすれば、

		d = \frac{|a x_0 + b y_0 - c|}{\sqrt{a^2+b^2}}

	となる。

# 平面の直線の話はこれで、ほとんど終り
# 後、もうひとつ、直線以外の平面図形を考える


	点 A を中心とし、半径 r の円の演習上の点を X とすると、

		| x - a | = r

	となる。

# 直線以外の図形は ? => ベクトルではあまり綺麗にかけない

	[例] 放物線 y = a x^2 + b x + c
		焦点 B と、直線 l : y = a + tv を使う。

		放物線上の点を X とすると

			|x-b| = \frac{\sqrt{|v|^2|x-a|^2-(v,x-a)}{|v|}

		となる ( が、あまり簡単ではない )。

		# ただ、この形だと、傾いた放物線も表現できるので、それは便利

# 以上で本日は終だが、来週との関係を説明する


	今回の
		x = a + tv -> (2) と関係がある
		(x,p) = c  -> (3) と関係がある
	となっている。

	おまけ
		a x + b y = c
	で、
		法線ベクトル ( a )
			     b
	は、すぐ、わかるが、方向ベクトルは、簡単ではない。
	しかし、公式として、

			( -b ), (  b )
			   a      -a

	を覚えておくと便利。