代数学幾何学 A (2009/04/23) 古津先生

# 先週は、平面の図形の話をしたの、今週は空間の図形の話

平面の直線の式

	x = a + t v
	(x,p) = c

==

# 空間なので、今度は直線だけでなく、平面もある。しかし、最初は直線

[空間内の直線の式]

	二点 A (a), B (b) を通る直線上の点 P (x) は、
		方向ベクトル v = AB
	を考えると、
		x = a + t v ( t \in R )
	と表現できる。

	# これは、平面の場合と全く同じ

	ただし、式にした場合は(平面とは)全く異なる形になる

	空間内の直線の式は、一般に以下のようになる

		\frac{x-a}{p} = \frac{y-b}{q} = \frac{z-c}{r}

		# これは、二つの一次式からなっている

	[例]
		      x          a          p
		x = ( y ), a = ( b ), p = ( q )
		      z          c          r

	とすると、
		x = a + t p
	なので、

		  x       a         p       a + t p
		( y ) = ( b ) + t ( q ) = ( b + t q )
                  z       c         r       c + t r

	となる。
	これより、次の連立方程式が定まり

		x = a + p t
		y = b + q t
		z = x + r t

	この式からt を消去すると、次の直線の方程式がでてくる

		\frac{x-a}{p} = \frac{y-b}{q} = \frac{z-c}{r}

	この式の
		p, q, r から、方向ベクトル
	が定まり
		a, b, c から通る点
	が定まる。

	# 相互の変換が出来るようにしておく !!!


	# ただし、直線の式が必ず、上の形式ででてくるわけではないことに注意

	[問 1]
		 x + 2y + 3z =  1
		3x + 2y +  z = -1

#!!! 二つの平面の交線を求める計算演習問題

	空間(三次元)内での一次式は、平面の式を表している。
	二つの平面の式から、その平面の交線が定まる
		=> 空間の直線は、二つの平面で表現できる

	これから、直線の式を求めることを考える。
	取りあえず、一つの変数 ( 例えば x ) で、他の変数 ( y, z ) を表すことを
	考える。
		# z を x で表すには、y が邪魔なので、連立させて y を消去すると..

		z = x + 1

	同様に、
		y = -2x -1

	こことで、形式的にパラメータ変数 t を導入して x = t とすれば、結果的に

		x = t
		y = -2t -1
		z = t + 1

	のように、パラメータで表現できる。これができれば、式を求めるのは簡単


		  x           t
		( y ) = ( -2t - 1 )
		  z         t + 1

		           0         t
		      = ( -1 ) + ( -2 t )	
			   1         t

		           0         1
		      = ( -1 ) + t ( -2 )	
			   1         1

	となる。


	直線の式が、平面と空間で同じないので、
		線分の表示などは、空間でも、平面とまったく同じように表現できる

		x = s a + t b の時
			s + t = 1 => 直線
			0 < t < 1 => 線分 AB

[空間の直線のなす角度]

	v に平行な直線 l と、w に平行な直線 l' の交角をθとする ( 0 <= θ <= π/2 )
		# v と w の取りかたにより、負になったり、するのだが...
		# 絶対値を使えば、向きに関する心配はなくなる

		\cos{θ} = \frac{|(v,w)|}{|v||w|}


[空間内の直線と点の距離]

	これは、直線の式が、平面の場合と同じなので、まったく同じ議論ができ、同じ結果が得られる。
		# ので省略

# 直線の話は、ここまでとして、次は空間内の平面の話

[空間内の平面]

	一直線上にない、三つの点 A (a), B (b), C (c) を通る平面の式を考える。
	平面の式の一般形は、次の一次式の形

		a x + b y + c z = d

	平面上の点 P (x) をベクトルで表現することを考える。

		AP = s AB + t AB

	なので、

		v = AB
		w = AC

	とすれば、

		x = OP = a + s v + t w

	と表現できる。

	これが、空間内の平面のベクトル表示となる。

		# 直線の場合は、平行なベクトルが一本
		# 平面の場合は、平行なベクトルが二本要る
		#	このベクトルは、平面内の独立なベクトルである必要がある
		#		このベクトルの取りかたは無数にあるので、あまり名前を付ない

		## この方法を続けると、(将来、次元を上た時..) ベクトルが沢山ふえてゆく !!


	[問 1]
		2x - y + 3z = 1
	をベクトルで表記する。

	[答] まず、y を他の二つの変数で表す
		y = 2x + 3z - 1
	後は、形式的に、x を s, z を t で表すと、

		x = s
		y = 2 s + 3 t - 1
		z = t

	となって、媒介変数表示になる。

	これより、

		  x         s
		( y ) = ( 2 s + 3 t - 1 )
		  z               t

		           0         s       0
		      = ( -1 ) + ( 2 s ) + ( 3 t )
			   0       0           t

		           0         1         0
		      = ( -1 ) + s ( 2 ) + t ( 3 )
			   0         0         1

	となり、ベクトル表記ができた。

	# 逆に、ベクトル表記から、平面の式を求めることも考える必要がある

	[問 2]
		  x       1          1         -1
		( y ) = ( 2 ) + t ( -1 ) + s ( -2 )
		  z       0          2          1

	[答]


			  1 +  t -  s  
		      = ( 2 -  t - 2s )
			    2t +  s
	より、
	連立方程式

		x = 1 + t - s
		y = 2 - t - 2s
		z = 2t + s

	が得られる。
	これから、s, t を消去すると、

		x - y = z = -1

	が得られる。

	# 前回、平面上で、三角形の内部の表現方法を学んだ。
	# 今回は、空間内でのの三角形の内部の表現方法を学ぶ。

	[問 3]
		三つの点 P_1 (x_1), P_2 (x_2), P_3 (x_3) が作る
		三角形の周並びに、内部を表す表現を考える。

		# 前回は、三角形の内部だけで、周を含めなかった。
		# しかし、今回は周を含めるので、等号付きの不等式になる

		P_1P_2 = a
		P_1P_3 = b

	とすると、平面上の

		P_1 P = s a + t b ( 0 <= s, t <= 1 )

	となる。
	よって、

		x = OP_1 + s a + t b
		  = x_1 + s ( x_2 - x_1 ) + t ( x_3 - x_1 )
		  = (1-t-s) x_1 + s x_2 + t x_3

	となる。パラメータを改めて置き換えて

		t_1 = 1 - t - s
		t_2 = s
		t_3 = t

	とすれば、

		t_1 x_1 + t_2 x_2 _ t_3 x_3

	となる。
	ここで、三角形内の条件は、

		t_1 + t_2 + t_3 = 1
		t_1 >= 0
		t_2 >= 0
		t_3 >= 0

	となる。

		# 最初の等式を不等式にかえれば、四角すい (OABC) の内部になる


# 平面のもう一つの表現形式を考える。
# ここまで、内積表示がでてきていないので、内積を利用した表現を考える。

[平面の内積表示]

	平面
		a x + b y + c z = d

	を考える。

	平面と同様に、原点を通る場合を考えたいので、平行移動して、

		a x + b y + c z = 0

	を考えると、
		      a
		p = ( b )	法線ベクトル
		      c

	とすることにより、

		(x,p) = 0

	がでてくる ( 平面の時と同じ )

	これを再び、平行移動して元にもどしてみると、垂直なベクトルは垂直なままであり

		(x,p) = d

	が平面を表現していることになる ( 平面の内積表示 )

	# こっちの方は、次元が上っても、同じ形のまま

[平面の為す角]

	\Pi_1 : (x,p_1) = d_1
	\Pi_2 : (x,p_2) = d_2

を考え、その交角θ(0 <= θ <= \pi/2) を考える。
平面の場合と全く同じ議論で、

	\cos{θ} = \frac{(p_1,p_2)}{|p_1||p_2|}

となる ( 平面と同じ結果 )。

	[問 1]
		 x + 2y + 2z = 3
		3x + 3y      = 1

	の為す角。
	[答[
			1
		p_1 = ( 2 )
		        2

			3
		p_2 = ( 3 )
		        0

	なので、

		\cos{θ} = \frac{(p_1,p_2)}{|p_1||p_2|}		
			 = \frac{\sqrt{2}}{2}
	よって、
		θ = \pi/4

# 今度は、平面と点の距離

	平面 \pi : (x,p) = d と、点 P(x_0) の距離を考える
		P から \pi へ垂直に下した足を P' ( x_0' ) を考えると、

	平面と点の距離は
		PP' = |x_0-x_0'|
	という式になる。

	利用できる式は、

		(x_0',p) = d
		x_0-x_0' = s p

	となること。

	平面と同様にして、

		\frac{(x_0,p)-d}{|p|}

	となる。


	平面の式が、
		ax + by + cz = d
	で与えられた時は、

		\frac{|a x_0 + b y_0 + c z_0 - d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}

	# 平面内の直線と式の公式は、そのまま、空間内の平面との距離の式になる


# ここまでは、四角いものだけをあつかってきたが、次は、まるいもの

# 前回わすれていたが、

	[球の式] 

		# 平面の円と空間の球は同じ形式

		一点 A (a) を中心とし、半径 r の球面の表現

			|x-a| = r

		内部は、<= を利用すれば良い。

		# 空間内の円は ?
		#	=> 球と平面の式を連立する

# 前回、放物線をむりやりベクトルで表現をしたが、今回はやらない
#	=> 教科書の後の方に「二次曲線」の話があるので、そこで、また、考える。


[平面と直線の交角]
	# 定義は ?

	互いに一点で交わる、直線 l と平面 \pi が与えられたとき、その二つの為す角を考える。

		=> l の各点から、\pi の下した足を集めると、\pi 上に直線 l' ができる

		この l と l' の交角を、l と \pi の交角とする。

	# この定義で、ほぼよいのだが、l と \pi が直交の場合には困る
	#	だが、その場合は、始めから 90 度だと解っているので、問題ない

	直線と直線の交角は既にやったが、この時は、方向ベクトル二つだったので\cos{θ}
	がでるが、ところが、直線の平面の場合は、平面側が、垂直ベクトルなので\sin{θ}
	が出てくることに注意 ( 間違い易い !! )

==

次回の予告
	行列がでてくる 2 x 2, 3 x 3 がでてくる
	これいがいの行列は、二章でやる
		一章では、この場合だけで、あらかじめ行列のかけ算を思い出しておく