代数学幾何学 A (2009/05/07) 古津先生

# 10 分遅刻した

回転の変換を考える
	# x,y を極座標で表す
	\alpha 回転
		x = r \cos{\alpha}
		y = r \sin{\alpha}

	\alpha 回転したものを \beta 回転
		x' = r \cos{\alpha+\beta}
		y' = r \sin{\alpha+\beta}

	行列とベクトルのかけ算をこれが上手くゆくように定義する

	A を \beta 回転する行列とすると

		(x') = A (x)
		 y'       y

	が成立するようにすれば、

		A = ( \cos{\beta} -\sin{\beta} )
		      \sin{\beta}  \cos{\beta}

	となる。

	# 行列と行列のかけ算も、これが上手くゆくように定義する

		A(Bx) = (AB)x

	となる様に、A と B から、AB をきめたい。


[定義] 行列の積

	A = ( a b ), B = ( p q )
	      c d          r s

に対して、積 AB を次の様に定義する

	AB = ( ap + br   qa + bs )
	       cp + dr   cq + ds


[定理] (線型性)

	A(x+y) = Ax + Ay	( 足し算が外に出せる )
	A(cx) = cAx		( スカラー倍が外に出せる )

[定理] (結合律)

	(AB)C = A(BC)


x 軸に関する対称移動

	( 1  0 )
	  0 -1

y 軸に関する対称移動

	( -1  0 )
	   0  1

原点に関する対称移動

	( -1  0 )
	   0 -1

	# 原点以外での点対称移動は、線型変換にならない
	# 線対称は、原点を通る直線なら線型変換になる

x 軸との角度が \theta であるような直線 l に関する線対称変換

	( \cos{2\theta}  \sin{2\theta} )
	  \sin{2\thita} -\cos{2\theta}

[定義](線型変換)

		T : V^2 -> V^2 : 変換
	が、
		線型(一次)変換
	とは、
		T(x+y) = Tx + Ty
		T(cx) = cTx
	となる場合。

[定理](行列との積は、線型変換)

	A:行列とする
		T_A(x) = Ax
	と定義すれば、線型変換

	proof) 前述の通り

# 実は、逆もいえる !!

[定理](線型変換は、行列との積)

	逆に、
		T:線型変換
	に対して、
		行列 A
	が存在し、
		T = T_A
	である。

	proof)
		T e_1 = ( a ), T e_2 = ( b )
		  	  c              d
	を考え、
		A = ( a b )
		      c d
	とすると、

		v \in V^2 = ( x )
			      y
	に対して
		v = x e_1 + y e_2
	と表せる。

		T v = T ( x e_1 + y e_2 )
		    = T (x e_1) + T ( y e_2 )
		    = x T e_1 + y T e_2
		    = x ( a ) + y ( b )
		          c         d
		    = ( ax + by )
		        cx + dy
		    = ( a b ) ( x )
		        c d     y
		    = A v

# この証明には、「線型変換に対応する行列を求める」方法が提示されている
# !!! 線型変換に対応する行列を求めよ(問題)
#	回転の行列/一般の変換の行列

# ということで、x 軸との角度が \theta であるような直線 l に関する線対称
# 変換に対応する行列を求めてみる。

## 上の証明より、T による結局 e_1, e_2 の変換結果を求めればよい


	図形の性質より、
		e_1 の移った先は ( \cos{2\theta} )
				 \sin{2\thita}
		e_2 の移った先は ( \sin{2\theta} )
				 -\cos{2\theta}
	となるので、
	これを横に並べた行列

		( \cos{2\theta}  \sin{2\theta} )
		  \sin{2\thita} -\cos{2\theta}

	が答となる。

[定義](正射影)

	0 でないベクトル a を考える。任意のベクトル x に対して、x から、
	a に影を下ろした結果を x の a への正射影と呼ぶ。

[定義](射影子)
	0 でないベクトル a を考えると、任意のベクトル x に対して、その正射影 x' を
	対応させる線型変換が作れるこの線型変換を a への射影子と呼ぶ

	一般に、
		Tx = \frac{(x,a)}{(a,a)}a
	となる。

[問 1]

	v = ( a ), a^2 + b^2 = 1
	      b

とする時の a への射影子の行列を考えると、

	T e_1 = \frac{(e_1,v)}{(v,v)}v = a v = ( a^2 )
					       ab

	T e_2 = \frac{(e_2,v)}{(v,v)}v = b v = ( ab )
					         b^2

よって、

	A = ( a^2 ab  )
	      ab  b^2


[問 2]
	a, b \ne 0, a と b が垂直
	T, S : a, b への射影子

	イ)
		# 式でやると以下の通り、なお、図で考えれば、明か
		T^2 = T, S^2 = S

	proof)
		# 一方をやれば、他方も同じなので a だけやってみる。

		T^2x	= T(Tx)
			= T(\frac{(x,a)}{(a,a)} a )
			= \frac{(x,a)}{(a,a)} T( a )
			= \frac{(x,a)}{(a,a)} \frac{(a,a)}{(a,a)} a
			= \frac{(x,a)}{(a,a)} a
			= Tx

	ロ)
		TS=ST=O

	proof)
		TS(x)	= T(\frbc{(x,b)}{(b,b)}b)
			= \frbc{(x,b)}{(b,b)} T(b)
			= \frbc{(x,b)}{(b,b)} \frac{(b,a)}{(a,a)} a

		ここで、a と b が直交しているので、(a,b) = 0

		よって、

			= 0


	ハ)
		Tx + Sy = x
	proof)
		x = pa + qb
	と書くことができる。
		T(x) = T(pa+qb)
		     = T(pa)+T(qb)
		     = pTa + qTb
		     = pa
	同様にして、
		S(x) = qb

===

# 次は、空間(三次元)

[定義]
	T : V^3 -> V^3 が線型変換とは
		T(x+y) = Tx + Ty
		T(cx) = cTx
	の時


[定義] 3 次の行列

	      a_11 a_12 a_13
	A = ( a_21 a_22 a_23 ) = ( a_ij ), B = ( b_ij )
	      a_31 a_32 a_33

[定義] 3 次の行列の積

	AB = C = (c_ij)

	c_ij = a_i1 b_1j + a_i2 b_2j + a_i3 b_3j

		# 2 次元の場合は前の二つだけだった
		# 一般化する場合は、これが、n 個に増える

	# 行列とベクトルの積も同様に定義される

[定理]
	A(x+y) = Ax + Ay
	A(cx) = cAx
	(AB)C = A(BC)

	# 証明の仕方などは、二次元とまったく同じ
	# 変換と行列の関係も同様
	#	e_1, e_2, e_3 の像を並べればよい

[注意] 座標系の決め方 ( 二通りある )

	x : 親指, y : 人指し指, z: 中指として、
		右手系 ( 右手の場合 )
		左手系 ( 左手の場合 )
	
	# どちらでもよいが、教科書に合せる、右手系で考える

==

点に対する対称移動

	[原点に対する対称移動]

	P:(x,y,z) が P'(-x,-y,-z) になるので、

		  -1  0  0
		(  0 -1  0 )
		   0  0 -1

	となる。


軸に関する線対称
	# 軸には向きが定まっているが、一般の直線の場合はそうでない事に注意
	# 直線の向きの取りかたによって、右廻りと左廻りが逆になってしまう。
	# ここでは、軸廻りなので、悩む必要がない

	[z 軸の回りに\alpha 回転]
		# x, y 平面の点は、x, y 平面に写る ( z 軸と垂直なので.. )

		T e_1 =    \cos{\alpha}
			(  \sin{\alpha} )
			       0

		T e_2 =   -\sin{\alpha}
			(  \cos{\alpha} )
			       0

			       0
		T e_3 = (      0       )
			       1

	よって、

		   \cos{\alpha}  -\sin{\alpha}      0
		(  \sin{\alpha}   \cos{\alpha}      0     )
		        0                           1

	となる。


	[ x 軸の回りに\alpha 回転]
		# x, y 平面の点は、x, y 平面に写る ( z 軸と垂直なので.. )

			       1
		T e_1 = (      0         )
			       0

			       0
		T e_2 = (  -\sin{\alpha} )
			    \cos{\alpha}

			       0
		T e_3 = (   \cos{\alpha} )
			    \sin{\alpha}



==

[ポイント!!!]
	回転の行列を覚えておく
	一般の線型変換に対する行列が計算できるようにする

来週、平面への射影子に対する行列を求める/できれば、これで平面と空間の話を終りにして、
一般の行列の話にしたいとおもっている。