代数学幾何学 A (2009/05/14) 古津先生

前回まで

	2 次行列 <--> 線型変換 ( 対応が一対一になっている )
	3 次行列

の途中だった。今日は、その続きから

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例: ( 2 次元と同様射影子を考える )

a  ( \ne 0 ) \in V^3 を考える
	空間ベクトル x から a に平行な直線への射影子 ( a への射影子 ) を T とすると

		Tx = \frac{(x,a)}{(a,a)}a : x の a (と平行な直線) への正射影

# 図が、平面の場合とまったく同じなので、全く同じ結果になる

# 空間は、3 次元なので、直線だけでなく、平面へも影を落すことができる

[定義](平面への射影子)

b, c \in V^3 : 線型独立に取る

	空間ベクトル x から b, c に平行な平面への射影子 ( b,c の張る平面への射影子 ) を S とする
		Sx : x の b, c の張る平面への正射影

	# b,c で表すより、a を利用した方が簡単な形になるので、こちらで考えることにする

	a を この平面の法線ベクトルとし、そこへの射影子を T とすると、
		Tx + Sx = x
	となるので、
		Sx = x - Tx = x - \frac{(x,a)}{(a,a)}a
	となる。

[問 2]
	      a
	v = ( b ) で、a^2+b^2+c^2=1 の時、T を a への射影子とすると、
	      c

	T に対応する行列 A を求めよ。

			 				  a^2
	T e_1 = \frac{(e_1,v)}{(v,v)}v = \frac{a}{1}v = ( ab )
				       			  ac

			 				  ab
	T e_2 = \frac{(e_2,v)}{(v,v)}v = \frac{b}{1}v = ( b^2 )
				       			  bc

			 				  ac
	T e_3 = \frac{(e_3,v)}{(v,v)}v = \frac{c}{1}v = ( bc )
				       			  c^2

		    a^2 ab ac
	よって A = ( ab b^2 bc )
		    ac bc  c^2

	# 毎回やることは、同じ、e_1, e_2, e_3 の像を求めて、それを縦に並べる

[問 3] a, b が直交しているとする、a, b に対する射影子を T, S とすると

	イ) T^2 = T, S^2 = S

	proof)
		T^2x = T(T(x))
                     = (T(\frac{(x,a)}{(a,a)}a))
		     = \frac{(x,a)}{(a,a)}T(a)
		     = \frac{(x,a)}{(a,a)}\frac{(a,a)}{(a,a)}a
		     = \frac{(x,a)}{(a,a)}a
		     = T(x)

		S^2x = S(S(x))
		     = S(x-T(x))
		     = Sx - ST(x)
		     = Sx - (T(x)-T^2(x))
		     = Sx - ( T(x)-T(x) )
		     = Sx - 0
		     = Sx


	ロ) TS=ST=0 は上通り

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行列式

# 行列式が終ると、一章がおわることになる
# 行列式は、何次でも定義されるが、最初は、平面の場合に関して行う

[定義] ( 2 次の行列式 )

	A = ( a b ) に対して、 ad-bc を A の行列式と呼ぶ
	      c d

	A の行列式を

		| a b |, |A|, det A, det(u,v) ( ただし u = (a), v = (b) )
		  c d				           c        d

		# A を (u,v) とも書き込む

	などと表す

	# }A| は 行列 A の行列式 ( であって、A の絶対値 ではない )
	# | |A| | は、行列 A の行列式の絶対値となる、これは紛らわしいので、この場合は、普通、 |det A| と書く


[定理]
	u = ( a ), v = ( b )
	      c          d

	とすると、

		u,v が線型独立 <-> det( u, v ) \ne 0

	proof)
		# 対偶を示す

			u, v が線型従属
		<->	u, v の方向が同じ
		<->	a:c = b:d
		<->	ad-bc = 0


[注意]
	｜A+B| は |A| + |B| とは一般にはならない。
	# しかし |AB| = |A| |B| となるので、証明しておく

[定理] |AB| = |A| |B|

	# これは、重要な性質

	proof)
		A = ( a b ), B = ( p q )
		      c d	   r s
	とすると、
		AB = ( ap + br  aq + bs )
		       cp + dr  cq + ds
	となる。

		|AB|
		= (ap + br)(cq+ds) - (aq+bs)(cp+dr)
		= (acpq + adps + bcqr + dbrs) - (acpq+adqr+bcps+vdrs)
		= (ad-bc)(ps-qr)
		= |A| |B|
		
# では、行列式とはどんな幾何的な意味をもっているか ?
# それを示すには、もう少し準備が必要

	v_1 = ( x_1 ), v_2 = ( x_2 ), X = (v_1, v_2)
		y_1	       y_2

	とする。

	一般に
		AX = ( A v_1, A v_2 )
	なので、
		# よくわからなければ、成分で表示して、確かめてみる

	これから、

		|AX| = det( A v_1, A v_2 )
		||
		|A| |X| = |A| det( v_1, v_2 )

	v_1, v_2 が作る平行四辺形の面積が、X の行列式の絶対値
		符号の決め方
			v_1 から v_2 に回る場合は、A の行列式は正逆なら負

	v_1, v_2 の A による像 A v_1 A v_2 が作る平行四辺形の面積は、
		| det( A v_1, A v_2 ) |
	なので、上の式は、これが、|det A| 倍になっていることを表す。

	# この事から、行列式は次の二つの情報をもっていることが解る
	#	| det A | は、面積が何倍になるか
	#	det A の符号は、ベクトルのなす角の符号
	#		負の時は、角の方向が逆になる

[定義] ベクトル積

	#	ベクトル積 <-> スカラー積
	#	  (外積)  <->   (内積)

# ベクトル積は、空間の時だけ定義される。二次、四次以上では定義されない
# 物理学では、空間を扱い、良く、ベクトル積を扱うので、ここでもやっておく

	V^3 の独立な二つのベクトル a, b に対して、次の三つ条件 1), 2), 3) をみたす
	ベクトル c を a, b のベクトル積(外積)と呼び a \times b で表す

		1) c と a, b は共に垂直
			# これで、c の方向は一通りに決るが、向き(+/-)が決まらない
		2) a, b, c は右手系
			# これで、向きも定まるので、後は大きさが決ればベクトルが決る
		3) c の長さは、a,b の作る平行四辺形の面積

[定理]
	b \times a = - ( a \times b )
		# c = a \times b とすると、 a, b, c は右手系
		# よって、b, a, c は左手系になってしまう。
		# 右手系にしたければ、 b, a, -c と向きをかえるために、負号をつければよい

	# よって、外積は不用意に、順番を交換してはならない

[定理]
	      a	          a'
	v - ( b ), v' = ( b' )
	      c	          c'
の時、

			| b b' |       bc' - cb'
			| c c' |
			
	v \times v' = ( | c c' | ) = ( a'c - a c' )
			| a a' |

			| a a' |	ab' - a'b
			| b b' |

	proof)
		右辺が外積の定義の三つの条件をみたすことを示せばよい。


[定理]
	e_3 = e_1 \times e_2 

[定理]
	(c x) \times y = c ( x \times y )
	(x_1 + x_2) \times y = ( x_1 \times y ) + ( x_2 \times y )

# この後三次の行列式をやる

[定義]

	独立な a, b, c \in V^3 が張る平行六面体を作る

	この体積 V は、

		V = | ( a \times b, c ) |

	となる。

	この ( a \times b, c ) を A = ( a, b, c ) の行列式と呼ぶ

	| a_11 a_12 a_13 |
	| a_21 a_22 a_23 | =   a_11 a_22 a_33
	| a_31 a_32 a_33 |   + a_12 a_23 a_31
			     + a_13 a_21 a_32
			     - a_11 a_23 a_32
			     - a_13 a_22 a_31
			     - a_11 a_23 a_32


	# 三次の行列式が計算できるようにしておく !!

[注意] この方法は、3 次まで、高次は大変なので、別の方法を考える

[定理] |AB| = |A| |B|

	# 二次と同様 |A+B| は |A| + |B| とはならない

	proof)
		証明は二次と同様だが、黒板一杯になるくらい大変 !!

		# 一般には、n 次で証明するが、その場合は、具体的には計算せずに、抽象的な形で行う。

# 同様に、三次の行列式の意味を考えると...

	X = ( x_1, x_2, x_3 ) とすると、

	AX = ( A x_1, A x_2, A x_3 )

で、
	|AX| = det( A x_1, A x_2, A x_3 )
	 ||
	|A||X| = |A| det ( x_1, x_2, x_3 )

	で、体積を何倍にするかと、右手系が右手になるかどうかの二つの情報をもっている

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[まとめ]

	V^2, V^3 では、線型変換が行列に対応していることを学んだ
		さらに行列の性質や、行列式を学んだ

	来週からは、この行列の一般化 ( m,n ) 型の話をする ( 2 章 )

	行列の一般化は、更に 3 章で学ぶことになる。

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