代数学幾何学 A (2009/05/21) 古津先生

これまで、主に、ベクトルの話をしてきたが、今回から、行列の話をする
ただし、これまでは、2 次、あるいは 3 次の行列しかでてこなかったが、
今回から、サイズが大きくなり、一般に m,n 次の行列を扱うことになる。

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§ 行列

[定義] (行列) 横に n 個、縦に m 個の数を並べた次のようなものを


	      a_11 a_12 .. a_1n		第 1 行
	A = ( a_21 a_22 .. a_2n )	第 2 行
	                ..
	      a_m1 a_m2 .. a_mn		第 m 行

	      第1列 第2列   第n列 

(m,n) 型行列と呼ぶ。

# 次数がふえただけなので、呼びかたなどは、2, 3 次と同じものを踏襲する


[定義] (正方行列) 特に、(n,n) 型行列を、n 次正方行列とも呼ぶ。

[定義] (成分) a_ij を A の (i,j) 成分と呼ぶ

	# これまでの議論では、成分 (a_ij) が、実数のものだけ扱ってきた
	#	a_ij \in \R
	# しかし、以下では、成分が複素数の場合も考える
	#	a_ij \in \C
	# もちろん、\R \subset \C なので、\C で成立することは \R で全て成立する
	# ただ、\R でしか成立しない場合もあり、この場合を一々区別すのは面倒なので、
	#	\R または \C を \K で表す
	# ことにする。

[定義] (実行列) 成分 a_ij がすべて、実数の行列 ( \R-行列 )
[定義] (複素行列) 成分 a_ij がすべて、複素数の行列 ( \C-行列 )
[定義] \K-行列 は実行列または、複素行列

	# A = (a_ij) : (m,n) 型 などと表す

[定義] (列ベクトル/縦ベクトル) (m,1) 型行列を m 項列(縦)ベクトルという
[定義] (行ベクトル/横ベクトル) (1,n) 型行列を n 項行(横)ベクトルという
	# 大学では主に、ベクトルは、列ベクトルの形で利用する
	# 行ベクトルが必要な場合であっても、列ベクトルの「転置」の形にしてしまう

[定義] (実ベクトル全体) n 項実列ベクトルの全体を \R^n で表す
[定義] (複素ベクトル全体) n 項複素列ベクトルの全体を \C^n で表す
[定義] (\K-ベクトル全体) n 項\K-ベクトルの全体を \K^n で表す

# ここまでで準備ができたので、愈々話がはじまるが、最初に二つの行列が等
# しいということはどうゆうことかを示しておく

[定義](行列の等値性) 行列 A, B が等しいとは、
	A と B の型が一致し
	対応する成分が全て等しい
こと。
	( 共に (m,n) 型で、 a_ij = b_ij )
この時、

	A = B

と表す。

[定義] (行列の和)
	A = ( a_ij ), B = ( b_ij ) : (m,n) 型行列とする
これに対応して、
	和 A + B
を、
	A + B = ( a_ij + b_ij )
で定義する。

	# これは、これまでの 2 次, 3 次の行列の和に一致している

[定義] (行列のスカラー倍)
	A = ( a_ij ) : (m.n) 型
	c \in \K 
に対し、
	cA = ( c a_ij )
で定義する。

[定義] (行列の引き算)
	A - B = A + (-1)B

	# 特に、 (-1)A を -A で表す

[定義] (零行列) O_m,n とは (m.n) 型で、成分が全て 0 の行列。( 型が明かな場合は、m,n を
省略し、単に O と書く。)


[定理]
	A + O = A
	A - A = O
	1 A = A
	0 A = O

[定理]
	(A+B)+C = A+(B+C)
	A + B = B + A
	c(A+B) = cA + cB
	(c+d)A = cA + dA
	(cd)A = c(dA)

# ここまでは簡単だが、ここからちょっと厄介。

[定義] (行列の積)
	A : ( l, m ) 型
	B : ( m, n ) 型
の積
	AB = ( c_ij ) : ( l,n ) 型
を以下で定義する。

	# [注意]
	#	A, B の型によって、積が定義されない場合がある
	#		A の行と、B の列の長さが一致している必要がある
	#		!!! (l,m) と (m,n) の積は、m が一致しているから積が定義
	#		特に、A, B が同じ型でも正方でなければ積が定義されない
	#	A, B と AB の型は異なることがある
	#		(l,m) と (m,n) の積は (l,n) 型
	#		!!! 積 AB は、A とも B とも異なる型の可能性がある
	#	AB があっても BA がないかもしれない
	#		A, B が共に正方行列なら AB も BA もあるが、一致しないことが多い
	#		!!! 行列の積は交換できない !!!

	c_ij = A の第 i 列と B の第 j 列の組み合わせ
	     = a_i1 b_1j + a_i2 b_2j + .. + a_im b_mj
	     = \sum_{k=1}^m a_{ik} b_{kj}	

# 型が変ったり、あるは、交換ができなかったり、色々不便だが、次のような性質はなりたつ

[定理] (AB)C = A(BC)
	proof)
		A = ( a_ij ) : (k,l) 型
		B = ( b_ij ) : (l,m) 型
		C = ( c_ij ) : (m,n) 型
	とする。

		# まず、型が一致しているかどうかを確認する

		AB = ( d_ij ) : (k,m) 型
		(AB)C = ( e_ij ) : (k,n) 型
	一方、
		BC = ( f_ij ) : ( l,m ) 型
		A(BC) = ( g_ij ) : ( k,n ) 型
	よって、型は等しい。

		# 次に、成分が等しいことを示す。

	(左辺)
		d_iq = \sum_{p=0}^{l} a_ip b_pq
		e_ij = \sum_{q=0}^{m} d_iq c_pj
		     = \sum_{q=0}^{m} ( \sum_{p=0}^{l} a_ip b_pq  ) c_pj

	(右辺)
		f_pj = \sum_{q=0}^{m} b_pq c_qj
		g_ij = \sum_{p=0}^{l} a_ip f_pj
		     = \sum_{p=0}^{l} a_ip ( \sum_{q=0}^{m} b_pq c_qj )

		# 後は、これらが等しいことを示す。

		# これらの総和は、有限個の和の計算しているだけなので、
                # 加える順番を交換してもよい。

		e_ij = \sum_{q=0}^{m} ( \sum_{p=0}^{l} a_ip b_pq  ) c_pj
		     = \sum_{q=0}^{m} ( \sum_{p=0}^{l} ( a_ip b_pq c_pj ) )
		     = \sum_{p=0}^{l} ( \sum_{q=0}^{m} ( a_ip b_pq c_pj ) )
		     = \sum_{p=0}^{l} ( \sum_{q=0}^{m} ( a_ip b_pq ) c_pj )
		     = g_ij

	# 行列の和は、Σが沢山出てくるの、これは慣れるしかない ( なれておくこと !! )

	# !!! 普通のかけ算は出来るようにしておくこと 

[定義] (単位行列)
	E_n ( = 1_n ) とは、
		n 次正方行列
	で、
		(i,i) 成分(対角成分) が全て 1 ( i = 1, 2, .., n )
	で、
		たの成分が 0 のもの。

[定理] A: (m,n) 型行列
	E_m A = A
	A E_n = A

		# ここらへんも、2, 3 次と同じ

[定義] (単位ベクトル)
	E_n = ( e_1, e_2, .., e_n )
としたとき、
	e_1, e_2, .., e_n	# これは i 番目が 1 で他が 0 のベクトルで
を
	n 項単位ベクトル
と呼ぶ。

[定義] ( クロネッカーのデルタ )
	# これは、数学の中で、あちらこちらに出てくる

			1   ( i = j )
	\delta_i,j = {
			0   ( i \ne j )

	# これの一般化して、ディラックのΔ関数がある

これを利用すると、単位行列 E_n は次のように表すことができる。

	E_n = ( \delta_i,j ) : (n,n) 型


[定理] A : (l.m) 型、 B : (m,n) 型 とする。

	AB = A ( b_1, b_2, .., b_n )
	   = ( A b_1, A b_2, .., A b_n )

特に、B = E_n の時、

	A E_n = ( A e_1, A e_2, .., A e_n )
	  = A = ( a_1, a_2, .., a_n )

となるので、

	a_i = A e_i

となる。

	# これは、良く利用する。

[定理]
	x = ( x_i ) \in \K^n を考える

	x = x_1 e_1 + x_2 e_2 + .. + x_n e_n


[定義] (一般の線型結合)
	a_1, .., a_k \in \K^n
	x_1, .., x_k \in K
に対して、
	x_1 a_1 + x_2 a_2 + .. + x_k a_k
の形のベクトルを
	a_1, .., a_k
の線型結合と呼ぶ。

[定義] (複素共役行列)
	A = (a_ij) に対して、\bar{A} = ( \bar{a_ij} ) を、複素共役行列という

[定理]
	\bar{\bar{A}} = A
	\bar{A+B} = \bar{A} + \bar{B}
	\bar{cA} = \bar{c}\bar{A}
	\bar{AB} = \bar{A}\bar{B}

[定義](転置行列)
	A = (a_ij) : (m,n) 型に対して、A の縦横を逆にした (n,m) 型の行列を
		^tA = ( a_ji )
	で表し、A の転置行列と呼ぶ。

[定理]
	^t(^tA) = A
	^t(A+B) = ^tA + ^tB
	^t(cA) = c^tA
	^t(\bar{A}} = \bar{^tA}

[定理]
	^t(AB) = ^tB ^tA

	# 最後は間違え易いので注意

	proof)
		A = ( a_ij ) : (l,m) 型
		B = ( b_ij ) : (m,n) 型
	とする。
		# まず、型をチェックすると

		AB = ( c_ij ) : (l,n) 型
		^t(AB) = ( c_ji ) : (n,l) 型

		^tA = ( a_ji ) : (m,l) 型
		^tB = ( b_ji ) : (n,m) 型

		^tA ^tB : ( n,l ) 型
	なので、型は一致する。

	# 次に、成分を比較する

	^t(AB) の (j,i) 成分
		= AB の (i,j) 成分
		= c_ij

	^tA ^tB の ( j, i ) 成分
		= ^tB の第 j 行と ^tA の第 i 列の組み合わせ
		= B の第 j 列と A の第 i 行の組み合わせ
		= A の第 i 行 と B の第 j 列の組み合わせ
		= AB の ( i, j ) 成分

§区分け

	# 行列は成分が沢山あるので、それらをまとめて扱いたい場合がある
	# ブロックに分けて計算を簡単にしたい

[定義] (区分け)

	行列 A の縦横に区切をいれ、複数の行列の並びと考える。
	この考えかたを区分けと呼ぶ


	A = (a_ij) に、
		p-1 個の横線
		q-1 個の縦線
	を入れ、区分けする。

	      A_11 .. A_1q
	A = ( A_21 .. A_2q )
	           ..
	      A_p1 .. A_pq

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来週は、これの証明からやる
しばらくは、一向行列の話をやる

中間の範囲は、「行列の積」まで