# 30 分以上遅刻した..

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[定義] (斉次一次方程式系)
方程式の定数部分がすべて 0 であるような時 ( c = 0  の時 ) 
斉次一次方程式系と呼ぶ。

	A x = 0 ... (4)

[定理] 斉次一次方程式は、必ず解を持つ
	proof)
		x = 0 は 方程式 A x = 0 の解となる。

[定義] (自明な解)
	斉次一次方程式 A x = 0 の時、 その解 x = 0 を自明な解と呼ぶ 

[定理] x_1, x_2, .., x_n が (4) の解ならば、その線型結合
		a_1 x_1 + .. + a_n x_n
も、(4) 解。
	proof) 実際に (4) をみたすことを示せばよい
		A( a_1 x_1 + .. + a_n x_n )
		= a_1 (A x_1) + .. + a_n (A x_n)
	ここで、x_1, .., x_n が (4) の解なのえ、 A x_i = 0 である
	よって
		= a_1 0 + .. + a_n 0
		= 0
	となり、等式をみたすので、解。

[定理]	     
	A : (m,n) 型、 rank A = r の時
	(4) は n-r 個の特別な自明でない解 x_{r+1} 〜 x_n を持ち
	任意の解は、これらの線型結合で表すことができそれらは独立
	proof)
				        r       x_{r_1} .. x_n
		\~A = (A|0) --> B = ( 1 .. 0 | b_{1,r+1} .. b_{1,n} | 0 )
		      	    	      0 1  0 |		            |
				        ..   |		            |
				      0 .. 1 | b_{r,r+1} .. b_{r,n} | 0
				      -------+----------------------+---
				          0  |         0            | 0

	となり、
		x_{r+i} = \alpha_i ( r = 1 〜 n - r ) とすると、

	となる
			      
		x = \alpha_1 ( b_{1,r+1} ) +  ..  + \alpha_n ( b_{1,n} )
			       b_{r,r+1}                       b_{r,n}
			          1                               0
				  	      ..
			          0			          1
			          = x_{r+1}			  = x_n

		線型和であらわせた
		また、r+1 以後の要素をみると、独立であることがわかる


[定理] n > m なら、 (4) は、自明でない解を持つ
	proof)
		rank A <= min (m.n) >= m
		rank A < n
		n - rank A >１

[定理] A : n 次正方
	(4) が自明でない解をもつ <=> A は正則でない
	proof)
		A 正則 <-> rank A = n
		      <-> 自由度 0
		      <-> 自明な解しかない


[定理] A : n 次正方
		A : 正則 <=> 「x \ne 0 -> Ax \ne 0 」
		  ^             ^
		  |		|
		  v		v
		(4) が自明でない解をもつ

	proof)
		A x = 0 => x = 0

[定理]
	Ax = c    (1')
	Ax = 0    (4)
とすると、
	(1') の解 x_0 を一つ固定すると (1') の任意の解は x_0 に (4) の解を
	加えることによって得られる。

	すなわち、
		S  = { x | Ax = c }
		S' = { x | x = x_0 + y, Ay = 0 }
	とすると、
		S = S'

	proof)
		(=>)
			x_0 + y = x' \in S\ とすると
			Ax = A(x_0+y) = A(x_0) + A(y) = c + 0 = c
			よって x \in S
		(<=)
			x \in S に対して、 y = x - x_0 とすると
			A(y) = A(x-x_0) = Ax - Ax_0 = c - c = 0
			よって、y は (4) の解、
				x = x_0 + y
			なので、
				x \in S'

	# (1') の解は、(4) の解を平行移動してできる

[例] n = 3 (実) : 空間で考えてみる

	rank A	自由度	(4) の解	(1') の解
	3	0	原点		1 点
	2	1	原点を通る直線	直線
	1	2	原点を通る平面	平面
  (	0	4	全空間		全空間	)

	# 連立方程式の解がかけること !!!