これまで、基本変形をやってきた。実は、後、行列の計算にも基本変形を利用
するただ、これは B の範囲なので、とりあえず、今回は別の話をする。

今回は「内積」の話。ただし、「内積」は本来ならば、「一般的な線型空間」を
学んだあとに、「内積」の話をする必要があるのだが、「一般的な線型空間」は
４章なので、ここでは、「簡単な場合の内積」だけやっておく。

つまり、R^n, C^n のベクトルの内積だけをやる。

==

[定義] (内積)

x, y \in C^n とする ( すなわち、 (n,1) 型の行列となる )
すると、
	{}^t x は (1,n) 型
になるので、
	{}^t x \bar{y}
は計算できて (1,1) 型になる。
これは、要素が一つだけの行列だが、その要素を取り出して、これを x と y の
「内積」と呼び、
	x・y あるいは、(x,y)
で表す。

これを成分表示で考えると、


	      x_1
	x = ( x_2 )
	      ..
	      x_n


	      y_1
	y = ( y_2 )
	      ..
	      y_n

の時、

					     \bar{y_1}
	{}^t x \bar{y}	= ( x_1, .., x_n ) ( \bar{y_2} )
						..
					     \bar{y_n}

			= (x_1 \bar{y_1} + x_2 \bar{y_2} + .. + x_n \bar{y_n})

			= (\sum_{k=1}^n x_k\bar{y_k})

となるので、

	(x,y)           = \sum_{k=1}^n x_k\bar{y_k}

となる。

特に、x, y \in R^n の時には、\bar{y_k} = y_k なので、

	(x,y)		= x_1 y_1 + x_2 y_2 + .. + x_n y_n

となるので

	n=2 の時、 V^2 の内積
	n=3 の時、 V^3 の内積
		# 一般化になっている

[定理](共役線型性)

	(x_1+x_2,y) = (x_1,y)+(x_2,y)
	(c x,y) = c (x,y)
	(x,y_1+y_2) = (x,y_1)+(x,y_2)
	(x,c y) = \bar{c} (x,y)
	(x,y) = \bar{(y,x)}

	# 二箇所で \bar が出てくるのが、これまでと異なるので注意 !!!
	# これを忘れると、長さが複素数になったり、大変な事がおきる

[定理] (正値性)
	(x,x) \n R
	(x,x) >= 0
	(x,x) = 0 <-> x = 0

	proof)
		(x,x) = \sum_{k=1}^n x_k \bar{x_k}
		      = \sum_{k=1}^n |x_k|^2
		      >= 0

[定義] (ノルム/長さ)
	\sqrt{(x,x)} を x のノルム(長さ)と呼び
		|x|  や ||x||
			= \sqrt{ |x_1|^2 + .. + |x_n|^2}
	で表す。

[定理](シュワルツの不等式)

	|(x,y)| <= |x| |y|

	# 平面や、空間のベクトルの時は、二つのベクトルのなす角度を考えれば
	# あきらか ( |\cos{\theta}| <= 1 なので.. ) だが、一般の複素数
        # 成分のベクトルの角度というのは考えられないので、一般的に示す
        # 必要がある。

	proof)
		y=0 の時は、両辺が 0 なので成立
		y\ne 0 の時、a,b \in C に対して
		     0 <= | a x + b y |^2
		である。
	   右辺	= ( a x + b y, a x + b y )
		= a\bar{a} (x,x) + a\bar{b} (x,y) + b\bar{a} (y,x) + b\bar{b} (y,y)
		= |a|^2 |x|^2 + a\bar{b}(x,y) + b\bar{a} (y,x) + |b|^2 |y|^2
	これが任意の a,b について成立するので、
		a = |y|^2
		b = - (x,y)
	を代入すると
		0 <= |y|^4 |x|^2 - |y|^2 (x,y)(x,y)^2 - (x,y)|y|^2 + |(x,y)|^2 |y|^2
	よって、
		|(x,y)|^2 |y|^2 <= |x|^2 |y|^4
	|y| \ne 0 より
		|(x,y)|^2 <= |x|^2 |y|^2
	よって、
		|(x,y)| <= |x| |y|

	# 後で、一般の内積でも同じ性質を示すが、証明は同じ
	# 列ベクトルの性質を一切利用していないので..

[定理] (三角不等式)

	|x + y| <= |x| + |y|

	# これも、平面や、空間のベクトルでは当り前だが、一般の場合は証明が必要

	|x+y|^2 =  (x+y,x+y)
	        =  |x|^2 + (x,y) + \bar{ (x,y) } + |y|^2
		<= |x|^2 + 2|(x,y)| + |y|^2 		 ( 後の (*) で示す )
		<= |x|^2 + 2|x||y|  + |y|^2		(シュワルツ)
	        = (|x|+|y|)^2

	(*) z \in C -> z + \bar{z} <= 2 |z|
		proof)
			z = x + y i ( x, y \in R )
		とすると、
			z + \bar{z} = 2 x <= 2 \sqrt{x^2+y^2} <= 2|z|

# x, y が共に複素数要素をもつ場合、角度と言うのは意味がないが..

[定義] (直交)
	(x,y) = 0 の時、x と y は直交すると言う

[問 1]
	|x+y|^2 + |x-y|^2 = 2( |x|^2 + |y|^2 )

	proof)
		(右辺) = (x+y,x+y) + (x-y,x-y)
		       = |x|^2 + (x,y) + (y,x) + |y|^2 + |x|^2 - (x,y) - (y,x) + |y|^2
		       = 2 ( |x|^2 + |y|^2 )
		       = (左辺)

[問 2] (ピタゴラスの定理)

	(x,y) = 0 -> |x+y|^2 = |x|^2 + |y|^2

	proof)
		|x+y|^2 = |x|^2 + (x,y) + (y,x) + |y|^2
			= |x|^2 + |y|^2

# じゃあ、逆はどうか ? 実は上手く行かない。

	|x+y|^2 = |x|^2 + |y|^2 <-> (x,y) + \bar{(x,y)} = 0
			        <-> Re (x,y) = 0
				<-  (x,y) = 0

				# -> が言えるためには、x,y \in R^n の時
				# x,y \in C^n の時は、 -> は必ずしも言えない


[問 3]
	x, y \in R^n -> (x,y) = 1/4 ( |x+y|^2 - |x-y|^2 )

	proof)
		左辺 = 1/4 { ( |x|^2 + (x,y) + (y,x) + |y|^2 ) - ( |x|^2 - (x,y) - (y,x) + |y|^2 ) }
		     = Re (x,y)
		     = (x,y)		( x,y \in R^n なので (x,y) \in R )

	# x,y \in R^n が本質的に働いている。x,y \in C^n の時は成立しない

==

# 行列の話に戻す
	
[定理]
	A : (m,n) 型, x \in C^n , y \in C^m
		-> (Ax,y) = (x,{}^t\bar{A}y)

		proof)
			(左辺) = {}^t(Ax)\bar{y}
			       = {}^t x {}^t A \bar{y}
			       = {}^t x {}^t \bar{\bar{A}} \bar{y}
			       = {}^t x {}^t \bar{\bar{A}y}
			       = {}^t x \bar{{}^t\bar{A}y}
			       = (x,{}^t\bar{A}y)
			       = (右辺)

# 上記は逆も言える

[定理]
	\forall x, y [ (Ax,y) = (x,By) ] -> B = {}^t\bar{A}

	proof)
		(x, {}^t\bar{A}y ) = ( Ax, y ) = ( x, By )
	より
		(x,(B-{}^t\bar{A})y) = 0

# (\forall x, y ) (x,Ay) = 0 -> A=O これはしょちゅう使う

	より、
		B-{}^t\bar{A} = 0
	より、
		B = {}^t\bar{A}

[補題]
	\forall y \in C^n [ A y = 0 ] -> A = 0

		proof)
			A = AE_m
			  = A(e_1, .., e_n )
			  = (A e_1, .., A e_n )
			  = ( 0, .., 0 )
			  = 0
[補題]
	\forall x, y \in C^n [ (x,Ay) = 0 ] -> A = 0

		proof)
			x = Ay とすると
				(Ay,Ay) = 0
			よって、
				Ay = 0
			よって、
				A = 0

[定義] (随伴行列/アジョイント行列)

	行列 A に対して {}^t\bar{A} を A の随伴行列(アジョイント行列)と呼び
		A^*
	で表す。

[定義] (エルミート行列)

	A = A^*

の時、

	A をエルミート行列と呼ぶ

特に A が実行列の時、

	A を実対称行列と呼ぶ ( {}^t A = A の時、対称行列と呼ぶので.. )
	# A = (a_{i,j}) とすると、a_{i,j} = a_{j,i} となる。

[定義](ユニタリ行列)

	AA^* = E の時、A は「ユニタリ行列」と言う。

特に実ユニタリ行列を、「直交行列」と呼ぶ

# なぜ、「直交」と呼ぶかは、後で述べる


[定理]
	A : ユニタリ -> A : 正則

	proof)
		A^*A = AA^* = E よって A^* = A^{-1}

[定理]
	A,B : ユニタリ -> AB : ユニタリ

	proof)
		(AB)^*(AB) = (B^*)(A^*A)B = (B^*)EB = (B^*)B = E

[定理]
	(A^*)^* = A
	(A+B)^* = A^* + B^*
	(cA)^* = \bar{c}A^*
	(AB)^* = B^* A^*

[定理]
	A : ユニタリ -> A^* : ユニタリ

	proof)
		(A^*)^* A^* = A A^* = E


# 積で閉じていて、逆元が存在するので要するに「群」となっている
# 「群」は、2, 3 年で学ぶ

# ここでは「名前」だけ紹介しておく

[定義]
	U(n) = { n 次 ユニタリ行列全体 } : n 次ユニタリ群
	O(n) = { n 次 直交行列全体 } : n 次直交群


# 本当は、ここで、ユニタリ行列の必要十分条件をやる必要があるが、今回は
# 時間がないので、次に回して、今回は、その続きをやる

[例]

	A =  (	\cos{\theta}  -\sin{\theta} )
		\sin{\theta}   \cos{\theta}

は、2 次直交行列

	proof)
		A^*A = 
	  (	\cos{\theta}  -\sin{\theta} ) (	 \cos{\theta} \sin{\theta} )
		\sin{\theta}   \cos{\theta}	-\sin{\theta} \cos{\theta}
			= E


[問 1] 2 次の直交行列を全て求めよ

	A = ( a b )
	      c d

とすると、

	A^*A = ( a b ) ( a c ) = ( 1 0 )
	         c d     b d       0 1

より、

	a^2 + b^2 = 1
	c^2 + d^2 = 1
	a b + c d = 0

これより、点 (a,b), (c,d) は、単位円 ( x^2 + y^2 = 1 ) 上にあり、
また、最後の条件は、二つの点の位置ベクトルが直交していることを
意味するので、(a,b) と x 軸のなす角度を \theta とすれば、

	A =  (	\cos{\theta}  -\sin{\theta} )		(回転)
		\sin{\theta}   \cos{\theta}

または、

	A =  (	\cos{\theta}   \sin{\theta} )
		\sin{\theta}  -\cos{\theta}

となる。