# 内積の所が少しのこっていたので、まず、それを終らせる。

[定理 6.4] (ユニタリ行列の必要十分条件)
	次の四つの条件は同値
		# 一つ条件は、ユニタリ行列の定義
		# だから残りの３つはユニタリ行列になるための必要十分条件

	1) A : ユニタリ ( AA^* = E )

	2) |Ax| = |x| ( \forall x \in C^n )

	3) (Ax,Ay) = (x,y)  ( \forall x,y \in C^n )

	4) A = (a_1, .., a_n) とすると
		(a_i, a_j) = \delta_{i,j}
			# 直交の名前の由来はこの性質からきている

	proof)
		# 数が多いので、まず方針から示す

		以下のような形で示す。

			+-----------+
			|	    |
			v	    |
		4) <->	1) -> 2) -> 3)


		[1->2]
			|Ax|^2 = (Ax,Ax)
			       = (x,AA^*x)
			       = (x,x)
			       = |x|^2

		[2->3]
			|x+y|^2 = |x|^2 + 2 Re(x,y) + |y|^2
			|Ax+Ay|^2 = |Ax|^2 + 2 Re (Ax,Ay) + |Ay|^2

			ここで 2) なので、
				|x+y|^2 = |A(x+y)|^2 = |Ax+Ay|^2 
				|x|^2 = |Ax|^2
				|y|^2 = |Ay|^2
			よって、
				Re (x,y) = Re (Ax,Ay)
			次に、x の代わりに i x を入れると、同様にして
				Im (x,y) = Im (Ax,Ay)
			となる。
			複素数の実部と虚部が一致することがわかったので
				(x,y) = (Ax,Ay)

		[3->1]
			3) より、
				(Ax,Ay) = (x,y)
			なので、
				0 = (Ax,Ay) - (x,y)
				  = (x,A^*Ay) - (x,Ey)
				  = (x,(A^*A-E)y)
			よって
				A^*A = E

				なぜなら、前回やったように
					(x,Ay) = 0 (\forall x,y ) -> A = 0
					Ay = 0 ( \forall y ) -> A = 0
				なので..

		[1->4]
			{}^tA\bar{A} = ( b_ij ) とすると、区分けの積になるので
				b_ij = ( a_i, a_j )
			一方、これは E になるので、
				\delta_{i,j} = b_ij = ( a_i, a_j )

		[4->1]
			{}^tA\bar{A} = ( \delta_{i,j} ) = E
		なので、
			A^*A = E

# ここまでは、複素数でやってきたが、実数でも同様な議論が成立する
# ただし、ユニタリの代わりに、実直交になる点がちょっと異なる。
# 証明もほぼ同じだが、一部省略できる


問 2 A : (m,n) 型

	A^* A : n 次正方行列
	A A^* : m 次正方行列

	これは、エルミート行列でかつ、対角要素は非負

	proof)
			(A^*A)^* = A^*((A^*)^*) = A^*A
		よって、エルミート
			AA^* も同様

		A = (a_ij), A^* = (b_jk) とすると
			b_ij = \bar{a_ji}
		となる。

		AA^* の (i,i) 成分を考えると、
			= \sum_{j=1}^m b_ij a_ji
			= \sum_{j=1}^m \bar{a_ji} a_ji
       			= \sum_{j=1}^m |a_ji|^2
		となり非負。

		A^*A も同様

==

行列の部分は、まだ、後一章のこっているのだが、その部分は、夏休みあけにすることにして
今日は、章末問題を解く

P 71.4

	A = ( 1     x  )
		 ..
	      x     1

	これの rank を計算する。

	# 色々なやりかたがあるが、ここでは工夫した方法でやってみる

	一行目に他の行を全て加える

	---> ( 1 + (n-1) x ..	     1 + (n-1) x )
	          x            1     x
			         .
	
		  x		     1

	ここで、場合わけする

	(x \ne \frac{1}{n-1} の時)
		1 + (n-1) x で一行目をわると
			
	---> (    1     ..  1 )
	          x   1     x
			 .
	          x         1

	i 行から 1 行目の x 倍をひく


	---> (    1     ..   1 )
	          0   1-x     0
			 .
	          0         1-x

		ここで、更に場合わけして
			rank A = n ( x \ne 1 )
			       = 1 ( x = 1 )
		となる。

  	(x = \frac{1}{n-1} の時)

	---> (    0          0 )
	          x     1    x
			   .
	
		  x	     1

	一列目を x でわり

	---> (    0          0 )
	          1     1    x
			   .
	
		  1	     1

	i 列から 1 列目の x 倍をひく

	---> (    0          0 )
	          1   1-x    0
			   .
	
		  1	     1-x


	よって、
		rank A = n - 1

	答

			   1   ( x = 1 )
		rank A =  n-1  ( x = -\frac{1}{n-1}
		           n   ( それ以外 )


問 ( P.72, 11 )
	P + n 次正方行列 {}^tPP = E
		-> P + E : 正則

	イ)
		A = ( P-E ) ( P + E )^{-1}
	とすれば、
		{}^tA = -A
			# ( A は交代行列 )
	proof)
		{}^tA   = {}^t(( P-E ) ( P + E )^{-1})
			= ( {}^tP - {}^tPP )^{-1} ( {}^tP + {}^tPP )^{-1})
			= ( P + E )^{-1} {}^tP P ( E - P )
			= - ( P + E )^{-1} ( P - E )
			= - ( P - E ) ( P + E )^{-1} 
				# ここの交換には注意が必要。行列は一般に交換できない
				# しかし、この場合はやっても大丈夫
				# (P-E)(P+E) = P^2 - E^2 = (P+E)(P-E)
				# よって、両辺から (P+E)^{-1} をかけると
				# ( P + E )^{-1} ( P - E ) = ( P - E ) ( P + E )^{-1} 
				# となる
			= -A


	ロ) E - A は正則
	proof)
		E - A = (P+E)(P-E)^{-1} - (P-E)(P-E)^{-1}
		      = 2E((P-E)^{-1})
		      = 2(P+E)^{-1}
	よって、
		(E-A) = 1/2 (P+E)

==

試験範囲

	小テストの範囲は、内積まで

	期末テストの範囲は、前期試験
		内積の前まで
			連立一次方程式の解放
			メインは基本変形
				rank、逆行列、連立方程式
				その上に、中間の問題がでている
				中間の後に少しやっているので、それも少しでる

			[注意] 連立ほうてい式はベクトル形式
			章末は 1 と 2 が出来るようにしておく