代数学幾何学 B (2009/10/22) 

# 前回、行列式の定義とその性質をやった

[定義] (行列式)

det(x_1,..,x_n) = \sum_{σ\in S_n} sgn σ x_{1,σ(1)} .. x_{n,σ(n)}


[性質]
	n 重線型性、交代性 を満す

# じゃあ、逆に、n 重線型性、交代性 を満す場合はどうなる ?
# 実は、ほとんど、行列式と同じ

[定理 2.6]
	F(x_1,..,x_n) が n 重線型性、交代性 を満たせば
		F(x_1,..,x_n) = F(e_1,..,e_n) det(x_1,..,x_n)
	となる。

	# つまり、行列式に、定数 (F(e_1,..,e_n)) を掛けたものになる

	proof)
			x_1j
		x_j = ( x_2j ) = \sum_{i=1}^n x_{ij}e_i
		        ...
			x_nj

	とすると、

		F(x_1,..,x_n)
		= F(\sum_{i_1=1}^n x_{i_1j}e_i_1, .., \sum_{i_n=1}^n x_{i_nj}e_i_n)

	であるが、n 重線型性を利用して、外に出すと

		= \sum_{i_1=1}^n .. \sum_{i_n=1}^n x_{i_1j} .. x_{i_nj} F( e_i_1, .., }e_i_n)

	ところが、交代性があるので、F(e_i_1,..,e_i_n) の中に同じものがあれば 0 になる。
	よって、足し算して意味があるのは、i_1 から i_n が全て異なる、すなわち、

		σ = (  1   ..  n  ) \in S_n
		       i_1 .. 1_n

	の時のみ。
	よって、

		= \sum_{σ \in S_n} x_{σ(1)1} .. x_{σ(n)n} F( e_{σ(1)}, .., e_{σ(n)} )

	ここで、再び、交代性を利用すると
		F( e_{σ(1)}, .., e_{σ(n)} ) = sgn σ F(e_1, .., e_n)
	となるので、

		= \sum_{σ \in S_n} x_{σ(1)1} .. x_{σ(n)n} sgn σ F(e_1, .., e_n)

	となる。ところが、F(e_1, .., e_n) が共通なので前に出すと、

		= F(e_1, .., e_n) \sum_{σ \in S_n} sgn σ x_{σ(1)1} .. x_{σ(n)n} 

	となるが、後は、実は、転置行列の行列式の定義になっている。

		= F(e_1, .., e_n) | {}^t A |

	しかし、すでに、転置行列と元の行列の行列式は同じ値なので、

		= F(e_1, .., e_n) |A|
		= F(e_1, .., e_n) det ( x_1, .., x_n )

	となる


[例 4] (バンデルモンドの行列式)

	# バンデルモンドの行列式は、いろんな所で、出てくる


	F(x_1,..,x_n)

		|     1         1     ..     1     |
		|    x_1       x_2    ..    x_n    |
	 =	|   x_1^2     x_2^2   ..   x_n^2   |
		|                     ..           |
		| x_1^{n-1} x_2^{n-1} .. x_n^{n-1} |

	 = Δ(x_1,..,x_n) = \pi_{i<j} (x_j-x_i)

	proof)
		F で、x_i = x_j とすると、F の i 列目と j 列目が同じなので、
		F = 0 となる。
		すなわち、因数定理より F は ( x_j - x_i ) で割切れる。
		したがって、
			F は Δで割切れる
		ことが分かわる。

		次に次数を求めると、F も Δ も nC2 次式である。
		すなわち、

			F は Δ の定数倍

		である。

		最後に、
			1 x_2 x_3^2 .. x_n~[n-1}
		の項目を求めると、
			共に 1
				F の場合は、対角成分を取る場合
				Δの場合は、左側の項目だけを取る場合
		となる。

		よって、
			F = Δ
		となる。

	# この事実は、どこかで使うので、覚えておくと良い


[定理 2.7]
	|AB| = |A| |B|
		# 積の行列式は分けてよい。

	# この定理は非常に重要な定理
	# 2 次の時は、成分でやった。 3 次の時には、大変なので、省略した
	# 今回は一般的な話なので、もう成分ではやりたくない
	# そこで、工夫する

	proof)
		B = X = ( x_1, .,, x_n )
	とし、
		F(x_1,..,x_n) = det(A x_1, .., A x_n)
	とすると、これは
		|A X|
	に等しい。
	一方、この F は n 重線型性と交代性を満す。
	よって、定理 2.6 より

		F(x_1, .., x_n) = F(e_1, .., e_n) det(x_1,..,x_n)

	すなわち、

		|AX| = det(A e_1,..,A e_n) |X|

	ところが、
		A e_i = a_i
	なので、

		det(A e_1,..,A e_n) = |A|

	すなわち、

		|AX| = |A| |X|

	# 問 6 で、2.6 を利用せずに証明することが要求されている

	(別解)

		A = ( a_ij ), X = ( x_ij )
	とすると、
		AX = ( \sum_{k=1}^n a_ik x_kj )
	となる。
	よって、

		|AX| = \sum_{σ\in S_n} sgn σ \sum_{k_1=1}^n a_{1 k_1} x_{k_1 σ(1)} \sum_{k_2=1}^n a_{1 k_2} x_{k_2 σ(1)} .. \sum_{k_n=1}^n a_{1 k_n} x_{k_n σ(1)}

	となる。a_{i k_i} を前に出すと、

		|AX| = \sum_{k_1=1}^n \sum_{k_2=1}^n .. \sum_{k_n=1}^n
			a_{1 k_1} a_{2 k_2} .. a_{n k_n}
			\sum_{σ\in S_n} sgn σ  x_{k_1 σ(1)} x_{k_2 σ(1)} .. x_{k_n σ(1)}

	この後の部分は、

		| x_{k_1 1} ... x_{k_1 n} |
		| x_{k_2 1} ... x_{k_2 n} |
		|           ...           |
		| x_{k_n 1} ... x_{k_n n} |

	となるが、これは、

		0		( k_1, .., k_n の中に同じものがある )
		sgn τ |X|	τ = (  1   2  ..  n  )
				       k_1 k_2 .. k_n

	となる。

	# この証明のポイントは上記の形に気が附くかどうか

	よって、0 でない項目を取り出すと、


		= \sum_{τ \in S_n} a_{1τ(1)} a_{2τ(2)} ..  a_{nτ(n)} sgn τ |X|

		= |A| |X|


# 行列式の性質を利用すると、行列式が簡単に求めることができる場合をみつけることができる
# 以下の定理は、そのような場合

[定理 2.8]

	A = ( A_11 | A_12 ),  ( A_11 |  O   ) 
	      -----+------      -----+------
	        O  | A_22	A_21 | A_22

	の時、
		|A| = |A_11| |A_22}

	# 0 が沢山あると、行列式が簡単になる
	## 0 がなければ、基本変形で殖やせばよい

	proof)
		# 転置の行列式が同じなので、一方を証明すれば、同時に他方も示される

	A_11 : m 次、 A_22 : n 次 とする

	まず A_22 が E_n の場合を考えると、
		これは
			|A_11|
		となるが
			|A_11| = |A_11| |E| = |A_11| |A_22|
		と、考えれば、元の式が成立している。

	一般の場合 A_22 = X = ( x_1, .., x_n ) とすると、

			|A| = | A_11 O | = F(x_1,..,x_n)
			      | A_21 X |

		となり、これは、実は、n 重線型性も、交代性も満す。
		よって、定理 2.6 より、

			F(x_1,..,x_n) = F(e_1,..,e_n) |X|

		ところが、
			F(e_1,..,e_n) = | A_11 O | = |A_11| ( 前半 )
				        | A_21 E |

		よって、
			|A| = |A_11| |A_22|
		となる


[系 2.9]
	イ)
		| a_11 a_12 .. a_1n |
		|  0   a_22 .. a_2n |
		|           ..      |
		|  0   a_n2 .. a_nn |

		=	| a_11 | a_12 .. a_1n |
			| -----+------------- |
			|  0   | a_22 .. a_2n |
			|      |     ..       |
			|  0   | a_n2 .. a_nn |

		=  a_11 | a_22 .. a_2n |
		        |      ..      |
		        | a_n2 .. a_nn |

	# さらに一般的に

	ロ) ( 上三角行列 )

		| a_11 a_12 .. a_1n |
		|  0   a_22 .. a_2n | = a_11 a_22 .. a_nn
		|  0    0   ..      |
		|  0    0   .. a_nn |


	下三角行列も転置すれば、どうように計算できる。
	以前に対角行列の場合をやったが、そこまでしなくても、計算できる。


[定義] (小行列式)

	A : (m,n) から p 個の列と p 個の行を取り出してつくった
	p 次正方行列の行列式を A の p 次行列式という

	p 次行列式は、 mCp nCp 個ある。


[定理 2.8] (m,n) 型行列 A の階数は、 A の 0 でない小行列式の最大次数に等しい

	# もし rank A = r であれば、A から 0 でない r 次の小行列式が取り出せるが
	# r+1 次の小行列式はとりだせない

	proof)
		A の 0 でない小行列式の最大次数を s(A) とする
			# すなわち、任意の A に対して s(A) = rank A を示したい

		A |--> F(r) = ( E_r O )
			         O  O

		となるが、

			s( F(r) ) = r
				# 左上の部分が E_r で |E_r| = 1 なので、
				# r 次の 0 でない小行列式は作れる
				# 一方、r + 1 次の小行列式をつくると、どうしても
				# 0 だけの行が入るので、その値は 0 となる
				# よって、s ( F(r) ) = r である。

		となる。

			# rank は基本変形で変らなないので、
			# s も基本変形で変らないことを示せばよい。

		(1) P(i,j) では、s は変らない
		(2) Q(i;c) では、s は変らない
		(3) R(i,j;c) で s は変るか ?
			A の 第 i 列に、第 j 列目を加えて B になったとする
				# A と B では i 列だけが変っている
			A の s(A) 次小行列式で 0 でないものを Δ とし、対応する B の小行列式をΔ' とする。

				第 i 列が含まれていない場合は
					Δ = Δ' なので s(A) = s(B)
				第 i 列と j 列が共に含まれている場合
					Δ = Δ' なので s(A) = s(B)
				第 i 列がはいっていて j 列がはいっていない場合
					A で 第 i 列を、第 j 列に置き換えた小行列式を
					  	Δ1、B の対応する行列式 を Δ1'
					とすると、
						Δ1 = Δ1'
					ここで	
						Δ' = Δ + cΔ1
					なので、
						Δ = Δ' - cΔ1
					ここで、
						Δ \ne 0
					なので、
						Δ' と cΔ1 のどちらかは 0 でない
					よって、
						s(B) >= s(A)
					ところが、
						A から B に基本変形ができる
					なら、
						B から A に基本変形ができる
					すなわち、
						s(B) <= s(A)
					よって
	
						s(B) = s(A)
		以上により、基本変形を加えても s の値がかわらないので、

			s(A) = rank A

==

次回は、休み。
次々回、実際の行列式の具体的な計算を行う。
その後くらいにそろそろ中間テストをやるので...