行列式の展開

[定義] A : n 次行列
	第 i 行 第 j 列を除いてできる n-1 次小行列を A の 第 (i,j) 小行列とよび、
		Δ_{i,j}
	で表す。

	それに符号 (-1)^{i+j) を掛けたものを A の i,j 余因子と呼び、
		\~a_{i,j}
	で表す。


[定理 3.1]
	|A| = a_1j \~a_1j + a_2j \~a_2j + .. + a_nj \~a_nj
		( 第 j 列に関する展開 )
	|A| = a_i1 \~a_i1 + a_i2 \~a_i2 + .. + a_in \~a_in
		( 第 i 行に関する展開 )

	proof)
		(j=1 の時)

		  a_11	     a_11        0	       0
		( a_21 ) = (  0   ) + ( a_21 ) + .. (  0   )
		  ..         ..		 ..	       ..
		  a_n1        0		 0	      a_n1

		なので、行列式の多重線型性より、

		|A| = | a_11 a_12 .. a_1n |
		      |  0   a_22 .. a_2n |
		      |  ..               |
		      |  0   a_n2 .. a_nn |

		    + |  0   a_12 .. a_1n |
		      | a_21 a_22 .. a_2n |
		      |  ..               |
		      |  0   a_n2 .. a_nn |

		    + ..

		    + |  0   a_12 .. a_1n |
		      |  0   a_22 .. a_2n |
		      |  ..               |
		      | a_1n a_n2 .. a_nn |

		これを行の交換を利用して、0 でない項目が一番上になるようにすると

		    = | a_11 a_12 .. a_1n |
		      |  0   a_22 .. a_2n |
		      |  ..               |
		      |  0   a_n2 .. a_nn |

		    - | a_21 a_22 .. a_2n |
		      |  0   a_12 .. a_1n |
		      |  ..               |
		      |  0   a_n2 .. a_nn |

		    + ..

		    + (-1)^{n-1}
		      | a_1n a_n2 .. a_nn |
		      |  0   a_12 .. a_1n |
		      |  ..               |
		      |  0   a_{n-1}2 .. a_{n-1}n |

		よって、

		    = a_11 Δ_11 - a_21 Δ_21 + .. + (-1)^{n-1} a_1n Δ_1n
		    = a_11 \~a_11 + a_21 \~a_21 + .. + a_1n \~a_1n

		(一般の場合)
			# j=1 の場合に還元する

		j 行目を一行ずつ上に移動して、一番上にもってくる

		|A| = (-1)^{j-1} | a_1j a_2j .. a_nj |
			         | a_11 a_21 .. a_n1 |
				 |           ..      |
			         | a_1n a_2n .. a_nn |

		j=1 の場合を適用すると、

		    = (-1)^{j-1} ( a_1j Δ_1j - a_2j Δ_2j + .. + (-1)^{n-1} a_jn Δ_jn )

		    = a_j1 \~a_j1 + a_21 \~a_21 + .. + a_jn \~a_jn

		となる。

	これで、行に関してできたが、転置することによって、列に関してもできる。

# この方法を利用して、行列式を計算してみる

[例]
	|  3 -2  5  1 |
	|  1  3  2  5 |
	|  2 -5 -1  4 |
	| -3  2  3  2 |

	# これを、直接、展開してもよいが、そうすると、項の個数がグンと増える
	# もし、0 の要素があれば、項の個数を減らすことができる
	# もし、0 の要素がないなら、基本変形を利用して、作ってしまえ !!

	(2,1) を軸に、列を掃き出す

	= 	|  0 -11 -1 -14 |
		|  1   3  2   5 |
		|  0 -11 -5  -6 |
		|  0  11  9  17 |

	1 列目で展開すると

	= 	(-1)^(1+2)
		|  -11 -1 -14 |
		|  -11 -5  -6 |
		|   11  9  17 |

	# ここで、あとは、サラスの方法を利用すればよいのだが、
	# 練習だと思って、更に進める

	1 列目から 11 で括りだす
	= 	(-11)
		|  -1 -1 -14 |
		|  -1 -5  -6 |
		|   1  9  17 |

	..

	このように、基本変形をおこなって、0 の要素を作り、展開で次元を下げる。

[注意] 問題が具体的な数の時には、一つの要素を残し他は 0 にしたが、これ
に拘る必要はない。定理 3.1 は、別に 0 でなくても利用できる ( が、項が増
えるというだけ )。
未知数を含む場合、0 にしようとすると、未知数を含む式で割り算が必要にな
る場合がある。すると、割る数が 0 かどうかの場合分けが必要になるので、却っ
て面倒。その場合は、無理に 0 にせず。そのまま展開した方が楽な事が多い。

# この展開のもう一つの応用

[定理 3.2]
	a_1j \a_1l + .. a_nj \a_nl = δ_{jl} |A|
	a_ii \a_k1 + .. a_ni \a_nk = δ_{ik} |A|

	proof)
		j=l の時は、 
			左辺は |A| = 1 |A| = δ_{jj} |A|
		j\ne l の時は、 
			左辺は det( a_1, ,,., a_j, .., a_j, .., a_n )
			これは同じ列を含むので、0 すなわち、
			左辺 = 0 = 0 |A| = δ_{jl} |A|

[定義]
	\~a_{ji} を (i,j) 成分とする n 次行列を A の余因子行列とよび
		\~A 
	で表す。

				     \~a_11 \~a_21 .. \~a_n1 
		\~A = ( \~a_ji ) = ( \~a_12 \~a_22 .. \~a_n2 )
				 	           ..
				     \~a_1n \~a_2n .. \~a_nn 

	\~AA の (l,j) 成分を考えると

		a_1j \a_1l + .. a_nj \a_nl = δ_{jl} |A|

	となる。すなわち、[定理 3.2] より、

		δ_{jl} |A|

	に等しい。

	これより、

		\~AA = ( δ_{ij} |A| ) = |A| ( δ_{ij} ) = |A| E

	となる。

	同様に、	A\~A の (i,k) 成分を考えると
		a_ii \a_k1 + .. a_ni \a_nk = δ_{ik} |A|
	となるので、
		A\~A = |A| E
	となる。

# 上記の結果をまとめたものが次の系

[系 3.3]
	\~AA = A\~A = |A| E

[系 3.4]
	A : 正則 <-> |A| \ne 0

この時、

	A^{-1} = |A|^{-1} \~A

	proof)
		(|A|^{-1} \~A) A = A (|A|^{-1} \~A) = E

# これは行列式の計算だけから、逆行列を計算するもう一つの方法になっている
# ただ、一般には、これまでに学んだ、基本変形で計算した方がよい
# これを利用するのは特別な場合で、未知数を含んでいる場合など

# これの応用として、連立方程式の解を求める公式がある。

連立方程式

	Ax = b

で、A が正則行列の時、

	x = A^{-1}b

となる、ただ一つの解を持つ。

	A = ( a_ij )

	      x_1
	x = ( x_2 )
	      ..
	      x_n

	      b_1
	b = ( b_2 )
	      ..
	      b_n

とすると、

	  x_1		     \~a_11 \~a_21 .. \~a_n1
	( x_2 ) = |A|^{-1} ( \~a_12 \~a_22 .. \~a_n2 )
	  ..				   ..
	  x_n		     \~a_1n \~a_2n .. \~a_nn


			     b_1 \~a_11 b_2 \~a_21 .. b_n \~a_n1
		= |A|^{-1} ( b_1 \~a_12 b_2 \~a_22 .. b_n \~a_n2 )
					    	   ..
			     b_1 \~a_1n b_2 \~a_2n .. b_n \~a_nn


ここで、

	|A_1| =  b_1 \~a_11 b_2 \~a_21 .. b_n \~a_n1

とすると、

		  b_1 a_12 .. a_1n
	A_1 =	( b_2 a_22 .. a_2n )
			   ..
		  b_n a_n2 .. a_nn

	これは、元の行列 A の 1 列目を b に書換えたものになっている。
	同様に、

		  a_11 a_12 .. b_1 .. a_1n
	A_j =	( a_12 a_22 .. b_2 .. a_2n )
			   ..
		  a_1n a_n2 .. b_n .. a_nn
			        ↑
			       j 列目

	# A の j 列目を b に置き換えたもの。


となる。

# これをまとめたものが次のクラーメルの公式

[定理 3.5] (クラーメルの公式)

	連立方程式
		Ax = b	
	の解は、

		      |A_j|
		x_j = -----
		       |A|

	である。

# ここでも、答が、行列式だけから計算できるが、やっぱり、
# 一般には、基本変形の方が楽。
# ただ、やっぱり、未知数を含む場合は、その限ではない。

[例] a, b, c は相異なる

	    x +     y +     z =  1
	 a  x +  b  y +  c  z =  d
	a^2 x + b^2 y + c^2 z = d^2

これの係数行列を考えると

	       1   1   1
	A = (  a   b   c  )
	      a^2 b^2 c^2

ここで、文字を含むので、クラーメルを考える。クラーメルをするには、
まず、正則かどうかを確認する必要があるが、

	     |  1   1   1  |
	|A| =|  a   b   c  | = Δ(a,b,c) = (c-b)(c-a)(b-a)
	     | a^2 b^2 c^2 |

はヴァンデルモンド ( なので、差積になり、問題の条件より 0 にならない )。
よって、クラーメルが使える。

		|  1   1   1  |
	|A_1| = |  d   b   c  | = Δ(d,b,c)
		| d^2 b^2 c^2 |

		|  1   1   1  |
	|A_2| = |  a   d   c  | = Δ(a,d,c)
		| a^2 d^2 c^2 |

		|  1   1   1  |
	|A_3| = |  a   b   d  | = Δ(a,b,d)
		| a^2 b^2 d^2 |

となり、いずれもヴァンデルモンド。よって、


		 (c-d)(b-d)
	x_1 =    ----------
		 (c-a)(b-a)

		 (a-d)(c-d)
	x_2 =    ----------
		 (a-b)(c-b)

		 (b-d)(a-d)
	x_3 =    ----------
		 (b-c)(a-c)

となる。

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章末問題

# 全部の列を足すと、同じなるパターンがある。
# 	=> この場合は、一列目に、他の列を全て加える


問1 ロ)


	|  x  a_1 a_2 .. a_n |
	| a_1  x  a_2 .. a_n |
	|                    |
	| a_1 a_2     ..  x  |

## やりかたとして、多項式の性質を利用する場合と、行列式の展開を利用するやりかたの
## 二通りがある。

# まずは、行列の展開で考える

	一列目に二列目以後を加えると、一列目には、共通の
		x + a_1 + a_2 + a_n
	がでてくる。

# この「共通因子を外へ出す」という作業は、今回はやらなくてもよいので、省略しても
# よいが、これが必要な場合もある。

	そこで、その部分を括りだすと、1 が並ぶ

			|  1  a_1 a_2 .. a_n |
( x + a_1 + a_2 + a_n )	|  1   x  a_2 .. a_n |
		 	|                    |
			|  1  a_2     ..  x  |

	2 列目から 1 列目の a_1 倍を引く
	3 列目から 1 列目の a_2 倍を引く
		..
	n+1 列目から 1 列目の a_{n} 倍を引く

とすると、下三角行列になる

			|  1     0     0   ..   0     |
( x + a_1 + a_2 + a_n )	|  1   x -a_1  0   ..   0     |
		 	|     
			|  1  a_2-a_1     ..  x -a_n  |


よって、対角要素の積で

	( x + a_1 + a_2 + a_n )(x-a_1) .. (x-a_n)

となる。

# これから、「与式 = 0」という方程式の解が、
#	-( a_1 + a_2 + a_n )
#	a_1
#	a_2
#	..
#	a_n
# であることが解る。逆にこれを利用するという方法でも解ける。

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11/26 日に中間テストの予定

来週は、3 章の行列式を終りにして、4 章に入るが、試験の範囲は、3 章の行列式までとする。

とりあえず、「普通の計算」は出来るように !!!