# 大幅に遅刻

章末問題

4.
  | x_0     x_1 .. x_{n-1} |
  | x_{n-1} x_0 .. x_{n-2} |
  |             ..         |
  | x_1     x_2 .. x_0     |

= \Pi_{\alpha^n = 1} (x_0 + \alpha^1 x_1 + .. + \alpha^{n-1} x_{n-1})

proof)

	P = x_0 + \alpha^1 x_1 + .. + \alpha^{n-1} x_{n-1}
	とする。

	第 j 列の α^{j-1} 倍を第一列に加える ( j = 2, .., n )
	すると、
		(j,1) の要素が、\aplha^{j-1} P
	となる。

	すなわち、この式は、P で割切れる。
	よって、この式は、右辺で割切れる。

	左辺と右辺の次数は同じ n なので、次に x_0^n の係数を求めると、
		左辺は対角要素の積
		不変は、全ての項目から x_0 を取り出す
	ので
		共に 1
	となるので、
		左辺 = 右辺

5.
  |  x  i  1 -i |
  | -i  x  i  1 |
  |  1 -i  x  i |
  |  i  1 -i  x |

# これは、4. と同じ形なので、4. を使ってもよいが、ここでは直接計算してみる。

第 1 列に第 2, 3, 4 列を加える

  | x+1  i  1 -i |
= | x+1  x  i  1 |
  | x+1 -i  x  i |
  | x+1  1 -i  x |

        | 1  i  1 -i |
= (x+1) | 1  x  i  1 |
        | 1 -i  x  i |
        | 1  1 -i  x |

        | 1  i    1   -i  |
= (x+1) | 0 x-i  i-1  1+i |
        | 0 -2i  x-1  2i  |
        | 0 1-i -i-1  x+i |


        | x-i  i-1  1+i |
= (x+1) | -2i  x-1  2i  |
        | 1-i -i-1  x+i |

# ここまでで、あとはサラスをつかってもよいが、もう少し工夫する

1 列目に 3 列目を加えると..

        | x+1  i-1  1+i |
= (x+1) |  0   x-1  2i  |
        | x+1 -i-1  x+i |

          | 1  i-1  1+i |
= (x+1)^2 | 0  x-1  2i  |
          | 1 -i-1  x+i |

          | 1 i-1  1+i |
= (x+1)^2 | 0 x-1  2i  |
          | 0 -2i  x-1 |

= (x+1)^2 | x-1  2i  |
          | -2i  x-1 |

= (x+1)^2 (x^2-3x+1-4)

= (x+1)^3 (x-3)

6.

点 A_k ( x_k, y_k ) ( k=1,..,n )

	x_1, .., x_n が相異なる

	y = a_0 ~ a_1 x + .. + a_{n-1} x^{n-1}

を考え、

	y_1 = a_0 ~ a_1 x_1 + .. + a_{n-1} x_1^{n-1}
	y_2 = a_0 ~ a_1 x_2 + .. + a_{n-1} x_2^{n-1}
	...
	y_n = a_0 ~ a_1 x_n + .. + a_{n-1} x_n^{n-1}

を満す a_1, .., a_n が、ただ 1 つのあることを示す。

これが一つであるためには、係数行列が正則であればよい、ところが、
この正則行列を求めると、

ヴァンデルモンドの行列式(の転置)になっているので、差積となる。
各々の x_i は相異なるので、この差積は 0 にならない。

行列式の値が 0 でないので、係数行列は、正則であり、上記の連立方程式の解は
一意となる。

10.
 A:成分が全て整数 ( 整数行列 )
   A：正則, A^{-1}: 整数行列 <=> |A| = \pm 1

proof)
	(=>)
		A      が整数行列より |A|      は整数
		A^{-1} が整数行列より |A^{-1}| は整数
			# 行列式は要素の積と和、差であり、
			# 整数全体の集合は、積と和、差に関して閉じている
	一方、
		|A^{-1}| |A| = |AA~{-1}| = |E| = 1
	よって
		|A^{^1}| = 1 / |A|
	ところが |A^{^1}| も |A| も整数なので、この式を満すのは、
		|A| = \pm 1
	の時だけである。

	(<=)
		|A|\ne 0 より、|A| は正則

			A^{-1} = (1/|A|) \~A

		\~A の要素は、A の要素の一部の行列式なので、
			A が整数行列ならば、\~A も整数行列

		一方、|A| = \pm 1 なので結局、A^{-1} も整数行列

11. σ \in S_n とする

	Aσ = ( σ(j), j ) が 1 で他が 0 の行列とする

	Aσ = ( e_{σ(1)} e_{σ(2)} .. e_{σ(n)} )

イ) Aσ は直交行列
	proof)
		実は明か、 {}^tA A = E を示せばよい。

			{}^tA A = ( ( e_{σ(i)}, e_{σ(j)} ) )

		となるが、
			( e_{σ(i)}, e_{σ(j)} ) = δ(i,j)
		すなわち、
			与式 = ( δ(i,j) ) = E
		となる。

ロ) A_σ A_τ = A_(στ}

	proof)
		(左辺) = A_σ ( e_{τ(1)} e_{τ(2)} .. e_{τ(n)} )
		      =  ( A_σ e_{τ(1)} A_σ e_{τ(2)} .. A_σ e_{τ(n)} )
		      =  (  e_{σ(τ(1))} A_σ e_{σ(τ(2))} .. A_σ e_{σ(τ(n))} )
		      = A_(στ}
		      = (右辺)

ハ) sgn σ = \pm 1 <=> |A_σ| = \pm 1

	det A_σ = ( e_{σ(1)} e_{σ(2)} .. e_{σ(n)} )
		 = sgn σ ( e_1} e_2 .. e_n )
			# 定理 [2.3]
		= sgn σ

==

来週からは、第 4 章
	一般の n 次元空間
	係数も複素数の場合がでてくる

再来週は、小テストだが、範囲は、行列式まで