2009/11/19 代数学幾何学 B

# 30 分遅刻..

# 同値関係の話があったらしい..

[定義]

集合 A の任意の二つの要素の間の関係で、次の三つの性質がある関係を同値関係と呼ぶ。

	x 〜 x			(反射律)
	x 〜 y -> y 〜 x	(対称律)
	x 〜 y, y 〜 z -> y 〜 z	(推移律)

[定義]
	\~x = { y \in A | x 〜 y }
とし、
	A/〜 = { \~x | x \in A }
としたとき、これを商集合と呼ぶ。

例 1 : 座標系のない空間(平面)
	二点の対 (P,Q) を 矢印 PQ とみなす。
		A^3 (^2) = { PQ | P, Q は空間(平面)の点 }
		# これはまだ、ベクトルではなく、単なる矢印
	として、これに次のような同値関係を導入する

		PQ 〜 P'Q' <-> 向きと長さが同じ

	これの商集合を考えると、それはベクトル空間となる。

	# 高校までは、「向きと長さが同じ」なら、「始点が異っても同じベクトル」
	# と考えていたが、暗黙の内に、商集合を仮定していた

	ベクトル空間は、同値類を利用して定義することができる。


[問] M_{m,n} : { m,n 型行列全体 }

	A -->*--> B の時 A 〜 B とすると、これは同値関係

	proof)
		1) A --> A なので、 A 〜 A
		2) A 〜 B とすると、 A --> B なので、逆に B --> A なので、 B 〜 A
		3) A 〜 B, B 〜 C とすると、
			A --> B, B --> C なので、A --> C
			よって、 A 〜 C

	# じゃ、どのくらいあるか ?

		A --> Fmn(r) なので A 〜 Fnm(r) すなわち rank A = r

	ここで、異なる r は、 0 <= r <= min{m,n} なので、
	ようするに rank が等しいものどうしにわけたことになっている。
	よって、
		min{m.n} + 1 種類
	ある。


[写像]
	T : A --> B

	a の T による全逆像を考える

		T~{-1}(a) = { x \in A | Tx = a }

	[例 2]
		A = B = R で、Tx = x^2 を考える
			# これは、全射でも単射でもない。

		# 全逆像を考えると..

			a>0 T^{-1}(a) = { \sqrt{a}, -\sqrt{a} }
			a=0 T^{-1}(a) = { 0 }
			a<0 T^{-1}(a) = {}

			# 全逆像の要素は複数の時も、1 の時も 0 の時もある

	一般に、
		T(A) ( = { T(x) | x \in A } ) : A の T による像
	を考えると、
		T(A) \sub B
	である。

[定義]
	T(A) = B の時、T は、全射 ( 上への写像 ) とよぶ

[定義]
	上への写像かつ一対一の時、全単射と呼ぶ

[定義]
	I_A : A ---> A : 恒等写像
	      \in   \in
	      x |--> x = I_A(x)

[定義]
	T : A -> B, S : B -> A が、
		S T = I_A
		T S = I_B
	を満す場合に、S は T の 逆写像と呼び T^{-1} で表す。

[定理]
	T : A --> B が逆写像を持つ <-> T は全単射

# 注意
#	T^{-1} は、さきほど、全逆像と同じ記号
#	逆写像が存在すれば、
#		T^{-1}(y) = x		逆写像
#		T^{-1}(y) = {x}		全逆像
#	となり、ほとんど同じなので、きにせずに、そのまま利用する。

[例 3]
	det : M_n(C) -> C
	      M_n(R) -> R

	( a 0 .. 0 ) -> a
	  0 1 .. 0
	  0   \  0
	  0 .. 0 1

なので、全射だが、n > 1 の時に、単写にならない

	det^{-1}(0) は、正則でない行列全体になる


[例 4] ( 自然な射影 (写像) )
	A どの同値関係 〜 と商集合 \~A を考える
	x \in A に対して、 \~x \in \~A を与える関数 P を考える

		P は全射はあきらか ( P x = \~x なので )
		P は単写になることはあるが、それは特別な場合

	# 単写になるのは、同値な要素がない場合 ( つまり、関係自身に意味がない ) 場合

[例 5]
	T ： C^n --> C^m : 線型写像
	     R^n --> R^m

	T に対応する行列を A とする。

	# 後で定義するが、 T (A) の次元を rank A で定める

	これは、一般には、全射でも単写でもない


		rank A = m <-> 全射
		T^{-1}(0) = 0 <-> 単写

		# ここで 0 に矢印がないは、以下で述べるように
		# 線型空間の要素は、「矢印に思えないもの」が沢山あるので...


==

# ここから、一般のベクトル空間の話

[定義] 集合 V が、(I), (II) を満す時、V を線型(ベクトル)空間という


	(I) # 足し算の公理 : 足し算があり、それが足し算らしい
	x, y \in V に対して 和 ( x + y \in V ) が定まり、以下を満す

結合法則		(1) (x+y)+z = x+(y+z)
交換法則		(2) x+y = y+x
零元の存在	(3) \exist! z \in V s.t. \forall x \in V [ x + z0 = z + x = x ]
			この z を単位元と呼び、0 で表す
逆元の存在	(4) \foral x \in V [ \exist! x' \in V s.t. x + x' = x' + x = 0 ]
			この x' を x の逆元と呼び -x で表す


	(II) # スカラー倍の公理
	a \in C に対応して x \in V の a 倍 ( a x ) という要素が定まり、以下を満す

		(5) (a+b)x = ax + bx
		(6) a(x+y) = ax + ay
		(7) a(bx) = (ab)x
		(8) 1x = x

	# ここまでの話で、「向き」とか、「長さ」というものは関係ない

	# C を R とすれば、実ベクトル空間になる。以下 C または R を K で表す。


# 以下、いくつか線型空間の例を示すが、これらは今後も何度かでてくる


[例 1] V = { 0 }	# 要素が 1 個の集合で、この要素はなんでもよい

	まず、和と定数倍を考えるが、V の要素が一つしかなく、結果も V の要素でなければ
	ならないので、
		0 + 0 = 0
		a 0 = 0
	と决める。すると、(I), (II) を満すのは容易に確かめられる。


[例 2] V^3, V^2 : 実線型空間
	# 当然満す。

[例 3] K^n : K-線型空間
	# 当然満す。
	特に n = 1 の時には、K 自身になるが、これも線型空間

[例 4] M_m,n(K) : K-線型空間
	普通に、行列の和と行列の定数倍を考えれば、線型空間

	# これは、行列なので、ベクトルとは思えないが、これもベクトル空間になっている
	#	「行列」の向きや、長さって何 ? => ベクトルは別に矢印である必要がないので、考えなくてもよい


[例 5] A \in M_m,n(K) としたとき、
	V = { x \in K^n | Ax=0 } \sub K^n
とすれば、V は、K-線型空間になる。

	V に、和とスカラー倍を定義する必要があり、それは、そのまま K^n の和とスカラー
	倍を利用したいが、これは、単純ではない。なぜなら、

		x, y \in V の時に、 x + y \in V とは限らない

	しかし、実際には、
		A(x+y) = Ax + Ay = 0 + 0 = 0
		A(cx) = cAx = c0 = 0
	となるので、問題ない。

	後は、(I), (II) のチェックだが、(I), (II) は、K^n で成立するので、
	K^n の部分集合 V でも、そのまま成立する。

	## これは、Ax の左が 0 だから上手く行く

	# このように元の集合がベクトル空間の時、その部分集合でも、元の集合の演算を
	# を採用して、ベクトル空間にする事が多い。



[例 6] # 矢印らしくない例

	V = { f(x) | K-係数多項式 }
		和、定数倍を、関数の係数の和、定数倍で定義すれば、演算が入る
		0 元は、0 とすると、(I), (II) を満す

	他にも、

		V' ( \sub V ) = { f(x) \in V | n 次元以下 }
	とすると、ベクトル空間となる

[例 7] # これも矢印らしくない例

		V = { T | A -> K } ( A は集合 )

	T, S \in V に対して
		(T+S)(x) = T(x) + S(x)
		(cT)(x) = c(T(x))
	とすれば、K-線型空間

	## これは、T の値域が R, C なので上手く行く
	## 勝手な集合を値域を考える時は、だめ


	V' { T | T:[a,b] -> R: 連続 }
		これは、実線型空間

# 次の例の 9 と 10 は、今後も何度も出てくるので、次回詳しくやる