# 遅刻した、電車が遅れた

例をいくつか
	漸化式をみたす、数列全体
	線型微分方程式の解の全体

==

# 線型写像

[定義] V, V' : K-線型空間
	T : V -> V'
が、

	T(x+y) = T(x) + T(y)
	T(c x) = c T(x)
		(x,y \in V, c \in K)
を満す時、
	T は V から V' への線型写像
という。

	# 以前にも線型写像をやった。以前は、ベクトルと行列だったが、今回は
	# 一般の線型空間であることに注意

	特に V = V' の時、T を V の線型変換と呼ぶ

[定理]
	T : V -> V' (線型)
	S : V' -> V'' (線型)
		=> S・T : V -> V'' (線型)

	proof)
		# 線型写像であることを示すには、定義をみたしていることを示すのが基本となる

		x, y \in V, c \in K とする。

		(S・T)(x+y) = S(T(x+y))
			    = S(T(x)+T(y))
			    = S(T(x))+S(T(y))
			    = (S・T)(x)+(S・T)(y)

		# 定数倍も同様

[定義] φ ; V -> V' (線型写像) が、一対一、上への写像の時、
		φ は V から V' の上への同型写像
		φ は V から V' との(間の)同型対応
	と呼ぶ。
		# 「上への」は、必要。なぜなら「中への」同型写像もあるので..

	同型対応があるとき、V と V'は、同型であり

		V \~= V'

	で表す。

[定理] 同型は、同値関係である

	1) V \~= V
	2) V \~= V' -> V' \~= V
	3) V \~= V', V' \~= V'' -> V \~= V''

	proof)
		[2)]
			V \~= V より
			\exist φ s.t. V -> V' (線型、全単写)
			 φ は全単写なので、φ^{-1} が存在する
			# が線型かどうかは別らない
			# そこで、線型であることそしめす。

			x', y' \in V' とし、x = φ^{-1}(x'),  y = φ^{-1}(y')
			とする。
			すると、

				φ^{-1}(x'+y')
					= φ^{-1}(φ(x)+φ(y))
					= φ^{-1}(φ(x+y))
						# φ は線型なので
					= x + y	
						# φ^{-1} は φ の逆写像
					= φ^{-1}(x') + φ^{-1}(y')
				よって、和が分られる。

				# 定数倍も同様

		[3)]
			V \~= V より
			\exist φ s.t. V -> V' (線型、全単写)
			V' \~= V'' より
			\exist φ' s.t. V' -> V'' (線型、全単写)
		よって、
			φ'・φ : V' -> V'' (線型、全単写)

[定理]
	φ が 線型、全単射 => φ^{-1} も線型、全単射


[例 11]

	φ : M_{m,n](K) ------------> K^{mn}

		\in			\in

		A=(a_1,..,a_n)		( a_1 )
					  a_2
					  ..
					  a_n

	とると、これは同型写像 ( 線型、全単射 )

よって、

	φ : M_{m,n](K) \~= K^{mn}

	# 「同型」を言いたい場合は、「同型対応をつくって」示す

[例 12]
	V^3 ----> R^3
	\in       \in
	v |----> ( x )	# V^3 に座標をいれる
		   y
		   z

	これも同型写像

==

[線型独立]
	# 次元とか基底につながらる大事な話

	V: K-線型空間
		a_1, .., a_n \in V
	の時、
		c_1 a_1 + .. + c_n a_n ( c_i \in K )
	を、
		a_1, .., a_n の線型結合
	とよび、

		c_1 a_1 + .. + c_n a_n = 0
	を
		a_1, .., a_n の線型関係
	と呼ぶ。
		# これは c_1, .., c_n の連立方程式になっている

	ここで、この線型関係を満す、c_1, .., c_n は

		c_1 = c_2 = .. = c_n = 0

	とすることによって、常に成立させることができる。
	これを
		自明な解
	この自明な解によってつくられる線型関係を、
		自明な関係
	呼ぶ。

	もし、自明な解いがいの解がない場合、

		a_1, .., a_n は線型独立

	だといい、そうでない時、( 自明でない解があるとき )

		a_1, .., a_n は線型従属

	と呼ぶ。

[例] e_1, .., e_n \in K^n は独立
[例] V^2 で、同一直線上にない二つのベクトルは、独立
	同一直線上にある v, v' の間では、 v = kv' が成立するので、従属になる
[例] V^3 で、同一平面上にない三つのベクトルは、独立
	同一平面上にある v, v', v'' の間では、 v = αv' + βv'' が成立するので、従属になる

[定理 3.1] a_1, .., a_n が線型従属
	<=> a_1, .., a_n のある一個が、他の線型結合で表わせる。

	# 「線型従属であることを示す」場合に、この「下の形を示す」場合も多く、
	# また、「線型従属であること」を、この「下の形を示す」で利用することが多い。

	proof)
		(=>)
			c_1 a_1 + .. + c_n a_n = 0
		が自明でない解をもつので、ある c_p は 0 でない。
		そこで、そのような p に対応して、

			a_p = - c_1/c_p a_1 - .. - c_n\c_p a_p
				( p の項目はふくまれない )

		が成立するが、これは、求める形 ( a_p が他の要素の線型和 )

		(<=)

			a_p = b_1 a_1 + .. + b_n a_n
				( p の項目はふくまれない )

		よって

			0 = b_1 a_1 + .. + (-1) a_p + .. + b_n a_n

		よって、(-1) となる自明でない解をもっている。


[定理 3.2] a_1, .., a_n が線型独立
	a が a_1, .., a_n の線型和で表させない
		=> a, a_1, .., a_n も線型独立

		# 独立なものを一つ増やすことができる。

	# 「線型独立」を示すには、定義にもどって、「線型関係をつくる、
        #  自明な解しかない」ことを示す。


	proof)

		c_1 a_1 + .. + c_n a_n + c a = 0

	を考える。
	ここで、
		c \ne 0 とすると、
			a = - c_1/c a_1 - .. - c_n/c a_n
		とできるので、
			a が a_1, .., a_n の線型和でかけてしまうことになる。
			これは、仮定に反する
		よって、
			c = 0
		そこで、これを元の式にいれると

			c_1 a_1 + .. + c_n a_n + 0 a = 0

		よって、
			c_1 a_1 + .. + c_n a_n = 0
		ここで、
			a_1, .., a_n が独立
		なので、これは自明な解しかない。
			c_1 = .. = c_n = 0

	よって、元の式も自明な解しかない。

		c_1 = .. = c_n = c = 0
 

[定理 3.3]
	c が b_1, .., b_n の線型結合
	各 b_i が a_1, .., a_k の線型結合
		=> c も a_1, .., a_k の線型結合

	proof)
		c = \sum_{i=1}^n c_i b_i ( c_i \in K )
		b_i = \sum_{j=1}^k b_ij a_i ( b_ij \in K )
	よって、
		c = \sum_{i=1}^n (\sum_{j=1}^k c_i b_ij) a_i 
	となる
		\sum_{j=1}^k c_i b_ij \in K
	なので、これは、c が a_i の線型和で表されたことになる。

# これらは、来週やる定理や、それ以後でも利用するのよく覚えておくこと