# おおはばに遅刻

基底の定義と存在 ( いくらでもある ) が示されている。

[系 3.5] V \ne {0} の時、基底が存在する

基底の種類は沢山あるが、基底に含まれるベクトルの個数は、一定であることがわかり、その個数が
実は次元となる。

# 以下、次元の存在証明のための準備

[定理 3.6]
	V \~= V'
	\phi : V -> V' : 同型対応
	a_1, .., a_n \in V : 線型独立 (従属)
=>
	\phi(a_1), .., \phi(a_n) \in V' : 線型独立 (従属)

	proof)
		c_1 a_1 + .. + c_n a_n = 0 ... (1)
	と
		c_1 \phi(a_1) + .. + c_n \phi(a_n) = 0 ... (2)
	を考えると、これは、\phi と \phi^{-1} によって、移りあうので、同値
	すなわち、

		(1) が独立(従属) <=> (1)が自明解を持つ(持たない)

					^
					|
					v

		(2) が独立(従属) <=> (2)が自明解を持つ(持たない)


[定理 3.7]
	V が n 個のベクトルからなる基底を持つ
		=> V \~= K^n
	proof)
		<e_1,..,e_n> \in V を V の基底とすると、

		\phi :   V ---------------------------> K^n
			\in				\in
			x = x_1 e_1 + .. + x_n e_n -> ( x_1 )
					   		x_2
							..
							x_n

		は線型で、一対一、上への写像なので、同型対応。
		よって、
			V \~= K^n

[定理 3.8]
	K^n において、n 個より多くのベクトルは、線型従属
		特に m\ne n -> K^m \not\~= K^n
	proof)
		a_1, .., a_m \in K^n (m>n) とする。

	これらの線型関係

		x_1 a_1 + .. + x_m a_m = 0

	を考えると、これは、m 変数の n 連立方程式になり、その係数行列 A は (n,m) 型
	の行列になる。

		rank A = min{ m, n } = n

	なので、

		解の自由度 = m - rank A = m - n > 0

	となり、自明な解以外の解を持つ。
	すなわち、

		a_1, .., a_m

	は、従属。

	さらに、
		K^m \~= K^n
	とすると、
		同型対応 \phi : K^m -> K^n
	が存在する。
	すると、
		K^m の基底 e_1,..,e_m \in K^m
	に対して、
		\phi(e_1), .., \phi(e_m}
	は独立。
	よって、[3.6] より
		m =< n
	一方、逆に、\phi^{-1} を考えれば、同様にして
		m >= n
	よって、
		m=n
	すなわち、
		同型 <=> m=n
	これの対偶をとって
		m \ne n <=> K^m \~= K^n

[定理 3.9]
	V が n 個のベクトルからなる基底をもてば、
	n 個より多くのベクトルは従属
	特に、 V の任意の基底は、n 個のベクトルになる。

	proof)
		[3.7] より V \~= K^n
	一方、
		m 個の基底が別にとれたとすると、
		[3.7] より V \~= K^m
	\~= は同値関係なので、
		K^n \~= K^m
	[3.8] より、
		m = n

[定義] V の基底の含むベクトルの個数を「V の次元」と呼び dim V で表す。
	V = { 0 } の時は、特に dim V = 0 と定義する。


# 無限の場合の基底にかんしては、むずかしいので省略

# 以前にやった、例の次元をそれぞれ考えてみる。

	dim V^2 = 2
	dim V^3 = 2
	dim K^n = n

# 次元を示す方法 ( 二つある )
#	一つは、具体的に、基底を作ること
#	もう一つは、次元が判っている ( 例えば K^n ) と同型であることを示すこと

	dim M_{m,n} = mn

	proof)
		<E_ij> : E_ij は i,j 成分のみ 1 で、他は 0 とすると基底になる
		これの個数は mn 個なので、次元は nm

		<別解>
			M_{m,n} \~= K^{mn}
		だったので、
			dim M_{m,n} = dim K^{mn} = mn


	V = { x \in K^n | Ax = 0 } の時、 dim V = n - rank A

	V = { f(x) | 多項式 }
		1, x, x^2, .., x^n, .. ; 無限個が独立
			=> dim V = 無限

	特に、
		V_n = { f(x) \in V | f(x) は n 次以下 }
	とすると、
		<1, x, .., x^n>
	が基底になるので、
		dim V_n = n + 1

	V = { T : A -> K } とする
		#A を A の元の個数とすると、
			#A が無限なら V も無限次元
	[例]
		A = {0.1}
					  1 ( x = \alpha )
			T_{\alpha}(x) = { 
					  0 ( x \ne \alpha )
		とすれば、
			<T_{\alpha}(x)> : \alpha \in [0,1]
		は独立。

		#A = n すなわち、A = { a_1, .., a_n } とすると
			<T_{a_1}, .., T_{a_n}>
		が、基底。
			proof)
				T(a_i) = b_i (\forall i)
			の時、
				T = \sum_{i=1}^n b_i T_{a_i}
		よって、
			dim V = n

		# この例では、A の濃度と、V の次元が一致することになる
		# A = [0,1] の時は、無限次元で、しかも連続無限になっている

	V = { {a_i} : 実数列 }
		e_0 = { 1, 0, 0, ... }
		e_1 = { 0, 1, 0, ... }
		e_2 = { 0, 0, 1, ... }
			..
	とすれば、すべて独立なので、dim V = 無限

	V_0 = { {a_i} : 実数列で収束する }
		の時、 V_0 \sub V であるが、さらに、上の e_i \in V_0 なので、
			dim V_0 = 無限

	V_1 = { {a_i} \in V | n 次漸化式を満す }
		漸化式で定義されるので、最初の n 個を决めれば自動的に残りも決る。
		すなわち、独立なのは、
			e_1, .., e_n
		までで、これが基底になるので、
			dim V_1 = n

	# 一箇所だけ 1 にして、残りは 0 にして基底を作るというテクニックはよく利用する


V の二つの基底
	E=<e_1,..,e_n>
	F=<f_1,..,f_n>
を考えると、

	x_1 e_1 + .. + x_n e_n = x = y_1 f_1 + .. + y_n f_n

				V 
			       / \
			  φ  /	  \ φ'
			     /	   \
			    /	    \
			   /	     \

			  K^n <-----  K^n 

		     \in    φ・φ'^{-1}  \in

		     x_1	P	   y_1
		    (x_2)  <------------| (y_2)
		     ..			   ..
		     x_n		   y_n

	E から F への行列 P
		φ・φ'^{-1} に対応する正則行列 P 
	これは、
		y ( F で表現した係数ベクトル ) から,
		 x ( E　で表現した係数ベクトル ) への変換
	であることに注意
		# E から F への行列 P なのに、
		# 	x = Py
		# となっている [直観と逆順]

	# [注意] これは、計算できるようにしておく !!!