# 一時間も遅刻

# 部分空間と、次元の話をしていたようだ

問 1 V = K^n
イ)
	V_1 = ( x \in V | x_1 + x_2 + .. + x_n = 0 }
は部分空間
	# だいたい、「足して０」は、部分空間になる

proof)
	          x_1 + y_1
	x + y = ( x_2 + y_2 )
		  ...
	          x_n + y_n

		α x_1
	α x = ( α x_2 )
		  ...
		α x_n

となるが、

	(x_1+y_1) + .. + (x_n+y_n)
	=	(x_1 + .. + x_n) + (y_1 + .. + y_n)
	=	0 + 0
	=	0

	α x_1 + .. + α x_n
	=	α (x_1 + .. + x_n)
	=	α 0
	=	0

よって、
	x+y, α x \in V_1

また、
	V^n の基底を <e_1,..,e_n>
の時、
	<e_i - e_n, .., e_i - e_n>
を考えれば、これが V_1 の基底になるので
	dim V_1 = n-1

ロ) 1 <= p <= n
	V_2 = { x \in V | x_{p+1} = .. = x_n = 0}

proof)
	x, y \in V_2, α \in K に対して、
		p+1 <= j <= n
	の時、
		x_j + y_j = 0 + 0 = 0
		α x_j = α 0 = 0
	なので、
		x + y, α x \in V

	また、<e_1, .., e_p> が基底となるので、 dim V_2 = p

ハ)
	V_3 = { x \in V | x_1^2 + .. + x_n^2 = 1 }


	# 球面上の点
	# 「=1」は普通、無理
	#	スカラ倍が閉じてないといけないので、0 でないとだめ

	は、部分空間でない。

	proof)
		      1
		x = ( 0 ) \in V_3 であるが、0 x = 0 \not\in V_3 なので、駄目
		      0

二)
	V_4 = { x \in | ( a x ) = 0 } は部分空間

	proof)
		(a x) = {}^ta \bar{x} = 0
	ここで、
		{}^ta = A
	とおけば、
		V_4 = { x \in | A x = 0 }
	とお同じとなるが、これが部分空間になることはすでにやった。

問 2: V = M_nn(K)
イ) V_1 = { X \in V | X は正則 } は部分空間でない
	proof)
		1 \in V であるが、 0 1 = 0 \not\in V なので、

   V_1' =  { X \in V | X は正則でない } は部分空間でない
	proof)

		( 1 0 ) + ( 0 0 ) = ( 1 0 )
		  0 0       0 1       0 1

		  \in       \in	      \not\in

		   V_1'	     V_1'       V_1'


ロ) V_2 = { X \in V | AX = XB } は部分空間
proof)
	X, Y \in V, α \in K に対して

		A(X+Y)  =	AX + AY
			=	BX + BY
			=	B(X +Y)
		A(α X)	=	α (AX)
			=	α(XB)
			=	(α X)B

ハ) V_3 = { X \in V | \exist k \in N s.t. V^k = 0 } は部分空間でない
	proof)
		V = M_2(K)
	の時

		( 1 0 ) + ( 0 0 ) = ( 1 0 )
		  0 0       0 1       0 1

		  \in       \in	      \not\in

		   V_1'	     V_1'       V_1'


ニ) V_4 = { X \in V | X の成分が整数 } は部分空間でない
proof)
	1 \in V_4 だが、1/2 1 \not\in V_4 なので..

# 基底の取り換え行列が出せるように !! (試験に出す !!)