部分空間

V の部分集合 W (\sub V) が、和とスカラー倍で閉じている
	=> W は V の部分空間

[定理 4.1]
	W_1, W_2 が V の部分空間
		=> W_1 \cup W_2 が V の部分空間
	proof)
		x, y \in W_1 \cup W_2, a \in K に対して、
		和、
			x, y \in W_1 より x + y \in W_1
			x, y \in W_2 より x + y \in W_2
		よって
			x, y \in W_2 \cup W_2

		スカラー倍、
			x \in W_1, a \in K より a x \in W_1
			x \in W_2, a \in K より a x \in W_2
		よって
			a x \in W_1 \cup W_2

	# 積集合は、部分空間になる
	# しかし、和集合は、部分空間になるとは限らない
	# そこで、和集合に相当するものを考える

[定理 4.2]
	S \sub V に対して、
		{ c_1 x_1 + .. + c_n x_n | x_1 .. x_n \in S, k_i \in K }
	を考えるとこれは、V の部分空間
	# proof) 明かなので省略
	これを S から生成される ( によって、張られる ) 部分空間と呼び
		<S>_K
	で表す。
		# 基底を表す記号と紛らわしいが _K が付いているので区別できる

[定理 4.3]
	W_1, W_2 が V の部分空間の時
		W_1 + W_2 = { x_1 + x_2 | x_1 \in W_1, x_2 \in W_2 }
	は部分空間である。
		W_1 + W_2 を、 W_1 と W_2 の和と呼ぶ

[定理]
	W_1 + W_2 = <W_1 \cup W_2>


[定理 4.4]
	T: V -> V' が線型写像の時、

		V の T による像
			T(V) = Im T
		は V' の部分空間

		0' \in V' : ゼロ元の逆像
			T^{-1}(0') = { x \in V | Tx = 0' } = Ker T
		は、 V の部分空間で、T の核と呼ぶ。

[定理]
	{ x \in K^n | Ax = 0 } は、 Kar T_A なので、部分空間

[定理 4.5]
	dim V = dim T^{-1}(0') + dim T(V) = dim Ker T + dim Im T
	proof)
		T^{-1}(0') の基底 <e_1, .., e_r> を取ると、これは、V でも
		線型独立なので、これを拡大して、V の <e_1,..,e_r,,e_{r+1}..,e_n> が
		作れる。
			<T e_{r+1},.., T e_n> 
		が、Im T の基底であることを示せばよい。

		# 基底であることを示すには、独立と、張る事の二点を示せばよい。

		<張る事>
			x \in V とすると、
		x = x_1 e_1 + .. + x_r e_r + x_{r+1} e_{r+1} + .. + x_n e_n
			とできる。
			ここで、
				T (x) \in Im T
			は、
		T(x_1 e_1 + .. + x_r e_r + x_{r+1} e_{r+1} + .. + x_n e_n)p
			=
		x_1 T(e_1) + .. + x_r T(e_r) + x_{r+1} T(e_{r+1}) + .. + x_n T(e_n)
			= x_{r+1} T(e_{r+1}) + .. + x_n T(e_n)
			となって、
				<T e_{r+1},.., T e_n> 
			が、Im T を張ることが判った。


		<独立性>
			線型関係
		x'= T(x) = c_{r+1} T (e_{r+1}) + .. + c_n T(e_n) = 0'
			を考えると、
			T(x) = 0'
		なので、これは、Ker T に含まれる。
		一方、
			T(x) = T( c_{r+1} e_{r+1} + .. + c_n e_n )
		よって、
			x = c_1 e_1 + .. + c_1 e_r 
			  = c_{r+1} e_{r+1} + .. + c_n e_n
		よって、
			(-c_1) e_1 + .. + (-c_1) e_r + c_{r+1} e_{r+1} + .. + c_n e_n = 0
		よって、
			-c_1 = .. = -c_r = c_{r+1} = .. = c_n

	# この公式は大変重要なので、覚えておくこと !!!

[定理 4.6]
	W_1, W_2 が V の部分空間の時
	1) W_1 \sub W_2 => dim W_1 < dim W_2
	2) W_1 \sub W_2, dim W_1 = dim W_2 => W_1 = W_2

	proof)
		1) W_1 の基底 <e_1, .., e_r> は W_2 で独立なので、それを拡大すれば、W_2 の基底 <e_1, .., e_t> が作れるので r <= t
		2) r = t より、<e_1, .., e_r> は W_2 の基底でもある
			したがって、 
				W_2 \sub W_1
			よって、
				W_2 = W_1

[定理 4.7]
	dim W_1 + dim W_2 = dim (W_1 + W_2) + dim ( W_1 \cap W_2 )

# cf. この公式は、集合の要素数の公式と同じ形になっている
#	集合 A の要素の個数を #A で表すと、
#		#A + #B = #(A \cup B) + #(A \cap B)
#	となった。


	proof)
		dim (W_1 \cup W_2) = r
		dim W_1 = r + s
		dim W_2 = r + t
	とすると、
		dim (W_1 + W_2) = r + s + t
	であることを示せばよい。

	W_1 \cup W_2 の基底を <a_1, .., a_r> とし、これを拡大して、
	W_1, W_2 の基底がそれぞれ、次の様に作れる
		W_1 の基底 <a_1, .., a_r, b_1, .., b_s>
		W_2 の基底 <a_1, .., a_r, c_1, .., c_t>

	x \in W_1 + W_2 とすると、
		x = x_1 + x_2, x_1 \in W_1, x_2 \in W_2
	となる。
	よって、
		x_1 = \sum p_i  a_i + \sum q_j b_j	
		x_2 = \sum p_i' a_i + \sum r_k c_j
	となるので、
		x = x_1 + x_2 = \sum (p_i+p_i') a_i + \sum q_j b_j + \sum r_k c_j
	すなわち、線型和。

	x \in W_1 + W_2 = \sum p_i a_i + \sum q_j b_j + \sum r_k c_j = 0

	とすると、
		\sum p_i a_i + \sum q_j b_j = - \sum r_k c_j
	となる。
	ところが、左辺は、W_1 の元で、右辺は W_2 の元なので、この式は、W_1 \cup W_2 の要素
	よって、
		- \sum r_k c_j = \sum p_i' a_i
	となる。
	よって、
		\sum p_i' a_i + \sum r_k c_j = 0
	ところが、a_i, c_j は独立なので、
		p_i' = r_k = 0
	よって、
		\sum p_i a_i + \sum q_j b_j = 0
	よって、
		p_i = b_j = 0
	すなわち、
		a_i, b_j, c_k は独立


[定義] (直和)
	V = W_1 + W_2 でかつ、V の元 x の表現 ( x_1 + x_2 ) が一通りである場合、
	V は、W_1 と W_2 の直和であると呼び、
	V = W_1 \prod W_2 で表現する。

[定理 4.8]
	V = W_1 + W_2 において、以下は同値
		1) V = W_1 \prod W_2
		2) W_1 \cup W_2 = { 0 }
		3) dim V = dim W_1 + dim W_2

	proof)
		定理 4.7 より
			2) <=> 3)
	[2) => 1)]
		W_1 \cap W_2 = {0}
	とする。
		x = x_1 + x_2 = y_1 + y_2
	とすれば、
		x_1 - y_1 = x_2 - y_2
	ところが左辺は、W_1 の要素で、右辺は、W_2 の要素であるので、これは
		W_1 \cap W_2
	の要素。ところが、それは 0 だけなので、
		x_1 - y_1 = x_2 - y_2 = 0
	すなわち、
		x_1 = y_1
		x_2 = y_2
	となる。

	[1) => 2)]	# 対偶で示す
		W_1 \cap W_2 \ne { 0 }
	とすると、
		a \in W_1 \cap W_2 \ne 0
	が取れる。
	この時、V の元 0 が、
		0 = 0 + 0 = a + (-a)
	と二通りで、表すことができるので、直和ではない。


# 二つだけでなく、n 個の直和も定義できる

[定義] W_1, .., W_n が V の部分空間で、 V の任意の元が、W_1, .., W_n の元の
線型和で表現されるとき、

	V = W_1 + .. + W_n

で表す。

[定理]
	dim V \le dim W_1 + .. +　dim W_n
	

特に、表現が一意の時、

	V = W_1 \prod .. \prod W_n

で表す。

[定理 4.9] 以下は同値
	1) V = W_1 \prod W_2 .. \prod W_n
	2) W_i \cap U_i = { 0 } (U_i = W_1 + .. + W_{i-1} + W_{i+1} + .. + W_n)
	3) dim V = dim W_1 + .. + dim W_n
proof)
	# k に関する帰納法で示す
	k=2 の時) [定理 4.8]
	k>2 の時)
		1) => 3)
			U_i = W_1 \prod .. \prod W_{i-1} \prod W_{i+1} \prod .. \prod W_n
		とすろと、
			V = W_i \prod U_i
		よって、
			dim V = dim W_1 + .. + dim W_n

		3) => 2)

	# ごめん、証明が追えなかった...


最初の定理の公式と、4.7 の二つめの公式が特に重要で、更に、和空間の定義もおぼえおくように