[復習]

# 先々週に学んだが、今日も利用するし、重要なので、復習しておく

基底の取り換え E -> F の行列 A


線型空間 V があり、E, F が基底の時、

	    x_1
	   (x_2)
	    ..	\in	
	    x_n	 K^n
	   	/^
	       / |
	x \in V  | T_P = \phi \psi^{-1}
	       \ |
	        \|
		 k^n
	    y_1	\in 
	   (y_2)
	    ..
	    y_n

この時、

	x = P y

となる、行列 P を求めたい。

一般に、
	P = ( p_ij )
とすると、

	f_j = p_1j e_1 + p_2j e_2 + .. + p_nj e_n

となる。


[例]

	V=P_2(K) の時
		E = <1, x, x^2>
		F = <(x+1)^2,x+1,1>


	f_1 = (x+1)^2 = 1 + 2 x + x^2 = 1 e_1 + 2 e_2 + 1 e_3
	f_2 =  x+1    = 1     x       = 1 e_1 + 1 e_2 + 0 e_3
	f_3 =   1     = 1             = 1 e_1 + 0 e_2 + 0 e_3

ここで求めた、係数を縦に並べたもの


	      1  1  1
	P = ( 2  1  0 )
	      1  0  0

	# 必ず、縦に並べる。毎年、横に並べる学生がいる。

==

# 逆の話もある

[定理] E と P から F を定めると、F は基底になる。

	# 基底を同型対応で写すと、基底になる

==

# 今日の内容は、線型写像の話
# 線型写像の話は以前にもやった
#
#	T : K^n -> K^m : 線型写像
#
#	\exist A : (m,n) 型 s.t. T=T_A
#
#	T : V -> V' の時も同様な話が成立するのでは ?
#

# 一般の線型空間上の、線型写像の例を考える

[例 1]
	V = P_n(K) の時、

		(T_b f)(x) = f(x+b)

	とすると、これは線型写像。

		T_b : V -> V : 線型

		# 平行移動

	proof)
		(T_b (f+g))(x) = (f+g)(x+b)
			       = f(x+b) + g(x+b)
			       = (T_b f)(x) + (T_b g)(x)

		(T_b (c f))(x) = (c f)(x+b)
			       = c ( f(x+b) )
			       = c (T_b f)(x)

	# 実は、これは、線型写像なので、それに対応する行列がある。それを後で求める。

[例 2]

	V = { {x_n} | x_{n+1} + a_{k-1} x_{n+k-1} + .. + a_0 x_0 = 0 }

		T : V  --------> V
		   \in          \in
		   {x_n} |--> {x_{n+1}}	: 要素を一つずらす
		    ||	 	||
	    {x_0, x_1, ..}    { x_1, x_2, .. }

[例 3]

	V = { y=f(x) | y^{(n+1)} + a_{k-1} y^({n+k-1}) + .. + a_0 y = 0 }

		D : V  --------> V
		   \in          \in
		    y |--------> y' : 微分する

# これらの線型変換に対応する行列を考える

	T : V -> V' : 線型
	V の 基底 (E:\phi)
	V' の 基底 (E':\phi')


   x = x_1 e_1 + .. + x_n e_n |-> Tx = x' = x_1' e_1' + ... + x_m e_m'
			T
		V -------------> V'
		|		 |
		|		 |
		| \phi 		 | \phi'
		|		 |
		|		 |
	 x_1	v		 v     x_1'       x_1
	(x_2)	K^n -----------> K^m  (x_2') = T (x_2)
	 ..			        ..        ..
	 x_n			       x_m'       x_n
		 \phi' T \phi^{-1}
 			||
		T_A ( \exist A : (m,n) 型 )

			この A を基底 (E,\phi), (E',\phi) に対する T の行列と呼ぶ

				# A は E, E' が変れば変る


# この A をどうやって求めるか ?

先と同様、x = e_j の場合を考えると、

	T e_j = a_1j e_1' + .. + a_mj e_m'

となるので、この関係を利用して、求められる。

# Text では、もっと、まとめて求める方法が紹介されているが、この方法が間違いが少くて良い

[例 4] V = P_2(K)
	T_b : V -> V
	E = E' = <1,x,x^2>	# 変換の場合は、基底を同じにする事が多い

	T_b(e_1)(x) = 1         = 1   e_1 + 0  e_2 + 0 e_3
	T_b(e_2)(x) = x + b     = b   e_1 + 1  e_2 + 0 e_3
	T_b(e_3)(x) = (x + b)^2 = b^2 e_1 + 2b e_2 + 1 e_3

よって、

	      1 b b^2
	A = ( 0 1 2b )
	      0 0 1

[例 5] V, T は、[例 2] と同じもの
	基底 E = E' = <e_0, .., e_{k-1}>
とすると、

e_0     = { 1, 0, .., 0,     -a_0, .. }, T e_0     =         -     a_0 e_{k-1}
e_1     = { 0, 1, .., 0,     -a_1, .. }, T e_1     = e_0     -     a_1 e_{k-1}
		..
e_{k-1} = { 0, 0, .., 1, -a_{k-1}, .. }, T e_{k-1} = e_{k-2} - a_{k-1} e_{k-1}

となるので、


	        0    1    0  ..   0
	A = (   0    0    1  ..   0      )
	                     \
	                      \
                               \
	        0    0    0  ..   1
	      -a_0 -a_1 -a_2 .. -a_{n-1}

となる。

[例 6] V, T は、[例 2] と同じもの
	基底 E = E' = <f_0, .., f_{k-1}> で

		f_i^{(j)} = \delta_{i,j} ( j = 0, .., k-1 )

	# 初期値を决めると、解が一意に与えられるという事は微分方程式論をやって解る

	とすると、

		(D f_i)^{(j)} = f_i^{(j+1)} = \delta_{i,j}

	j=n の時が決まっていないので、それを求めると、

		D f_i = f_{i-1} - a_i f_{k-1}

	となる。

	これをまとめると、

				1  ( j = i + 1)
		D f_i	= {	0  ( それ以外 )
			      -a_i ( j=k-1 )
	となる。

	これは、[例 5] と全く、同じ形なので、行列も、同じ行列になる。

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講義の内容は、いまやっている章まで
	=> 一般の内積は、入らない ( が、C^n の内積は範囲 )